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삼각법이나 미적분학을 공부하거나 준비하고 있다면 단위원에 익숙해져야 합니다. 단위원은 사인, 코사인, 각도의 탄젠트를 계산하는 데 사용되는 필수 도구입니다. 하지만 어떻게 작동하나요? 그리고 그것을 사용하려면 어떤 정보를 알아야 합니까?

이번 글에서는 단위원이 무엇인지, 왜 알아야 하는지 설명합니다. 또한 단위원 사용법을 기억하는 데 도움이 되는 세 가지 팁도 제공합니다.

추천 이미지: 구스타프 /위키미디어

단위원: 기본 소개

단위원은 반지름이 1인 원입니다. 이는 원의 중심점에서 원의 가장자리를 따라 임의의 점까지 그려진 직선의 경우 해당 선의 길이가 항상 1과 같다는 것을 의미합니다. (이는 또한 원의 지름이 2와 같다는 것을 의미합니다. 직경은 반경 길이의 두 배와 같습니다.)

일반적으로, 단위원의 중심점은 x축과 y축이 교차하는 지점 또는 좌표 (0, 0)입니다.

단위원 또는 삼각원이라고도 알려진 것은 알아두면 유용합니다. 이를 통해 0°와 360°(또는 0과 2π 라디안) 사이의 모든 각도의 코사인, 사인 및 탄젠트를 쉽게 계산할 수 있습니다.

위 다이어그램에서 볼 수 있듯이 임의의 각도에서 반경을 그리면(이미지에서 ∝로 표시됨) 직각 삼각형이 생성됩니다. 이 삼각형에서 코사인은 수평선이고 사인은 수직선입니다. 다시 말해서, 코사인 =x 좌표 및 사인 = y 좌표. (삼각형의 가장 긴 선, 즉 빗변은 반지름이므로 1과 같습니다.)

이 모든 것이 왜 중요한가요? 다음을 사용하여 삼각형의 변의 길이를 구할 수 있다는 것을 기억하세요. 피타고라스 정리, 즉 $a^2+b^2=c^2$ (여기서 ㅏ 그리고 비 는 삼각형의 변의 길이이고, 씨 빗변의 길이입니다.)

각도의 코사인은 수평선의 길이와 같고 사인은 수직선의 길이와 같으며 빗변은 1과 같다는 것을 알고 있습니다. 따라서 다음과 같이 말할 수 있습니다. 단위원의 직각삼각형 공식은 다음과 같습니다.

$$cos^2θ+sin^2θ=1^2$$

^2=1$이므로 이 방정식을 다음과 같이 단순화할 수 있습니다.

$$cos^2θ+sin^2θ=1$$

주의하세요 이 값은 음수일 수 있습니다. 형성된 각도와 x 및 y 좌표가 속하는 사분면에 따라 달라집니다(나중에 자세히 설명하겠습니다).

다음은 단위원의 모든 주요 각도(도 및 라디안)에 대한 개요입니다.

단위원 — 도

단위원 — 라디안

하지만 삼각형이 형성되지 않으면 어떻게 될까요? 살펴보자 각도가 0°이면 어떻게 됩니까? x축을 따라 수평 직선이 만들어집니다.

이 선에서 x 좌표는 1이고 y 좌표는 0입니다. 우리는 다음을 알고 있습니다. 코사인은 x 좌표와 같고 사인은 y 좌표와 같습니다. 그래서 우리는 이것을 쓸 수 있습니다:

• $cos0°=1$
• $sin0°=0$

만약 각도는 90°이고 y축을 따라 완벽한 수직선을 만듭니다.

여기서 x 좌표는 0이고 y 좌표는 1이라는 것을 알 수 있습니다. 이는 사인과 코사인에 대해 다음 값을 제공합니다.

• $cos90°=0$
• $sin90°=1$

이 슬로건은 수학 애호가가 아닌 경우에도 적용됩니다.

단위원을 알아야 하는 이유

위에서 언급했듯이 단위원은 다음과 같은 이유로 도움이 됩니다. 이를 통해 사인, 코사인, 탄젠트(모든 각도 또는 라디안)를 쉽게 풀 수 있습니다. 수학 숙제를 위해 특정 삼각값을 풀어야 하거나 미적분 공부를 준비하는 경우 단위원 차트를 알아두면 특히 유용합니다.

하지만 단위원을 아는 것이 정확히 어떻게 도움이 될까요? 수학 시험에서 다음 문제가 주어졌다고 가정해 보겠습니다. ~ 아니다 계산기를 사용하여 문제를 해결할 수 있습니다.

$$sin30°$$

어디서부터 시작하나요? 이번에는 단위원 차트를 다시 살펴보겠습니다. 모든 주요 각도(도 및 라디안 모두) 및 해당 좌표:

짐벨크 /위키미디어

압도당하지 마세요! 당신이 풀고 있는 것은 $sin30°$뿐이라는 것을 기억하세요. 이 차트를 보면 알 수 있죠 y 좌표는 30°에서 /2$와 같습니다. 그리고 y 좌표는 사인과 같으므로 답은 다음과 같습니다.

$$sin30°=1/2$$

하지만 각도 대신 라디안을 사용하는 문제가 발생하면 어떻게 될까요? 이를 해결하는 과정은 여전히 ​​동일합니다. 예를 들어 다음과 같은 문제가 발생한다고 가정해 보겠습니다.

$$cos{{3π}/4}$$

다시 위의 차트를 사용하면 ${3π}/4$(135°와 동일)의 x 좌표(또는 코사인)가 $-{√2}/2$임을 알 수 있습니다. 이 문제에 대한 우리의 대답은 다음과 같습니다.

$$cos({3π}/4)=-{√2}/2$$

위의 단위원 차트를 참고용으로 사용하면 이 모든 작업이 매우 쉽습니다. 그러나 대부분(전부는 아닐지라도)은 그렇지 않으며 이러한 유형의 수학 문제는 두뇌만을 사용하여 답해야 합니다.

그러면 단위원을 어떻게 기억할 수 있나요? 계속해서 최고의 팁을 읽어보세요!

단위원을 기억하는 방법: 3가지 필수 팁

이 섹션에서는 삼각원을 기억하는 데 필요한 주요 수학 문제에 쉽게 사용할 수 있는 최고의 팁을 제공합니다.

포스트잇으로 단위원을 연습하는 것은 권장하지 않지만, 이제 시작입니다.

#1: 공통 각도와 좌표를 기억하세요

단위원을 효과적으로 사용하려면 다음을 수행해야 합니다. 가장 일반적인 각도(도 및 라디안)와 해당 x 및 y 좌표를 기억합니다.

위의 다이어그램은 x축과 y축의 해당 좌표점 외에도 도와 라디안의 모든 주요 각도를 포함하므로 살펴보는 데 유용한 단위 원형 차트입니다.

다음은 동일한 정보를 표 형식으로 나열한 차트입니다.

이제 이 모든 좌표와 각도를 외워도 좋지만, 이것은 다음과 같습니다. 많이 기억해야 할 것들.

다행히도 단위원의 가장 중요한 부분을 기억하는 데 도움이 되는 방법이 있습니다.

위의 좌표를 보면 모든 점(0°, 90°, 270°, 360° 제외)의 명확한 패턴을 알 수 있습니다. 세 가지 값(양수 또는 음수)을 번갈아 사용합니다.

• /2$
• ${√2}/2$
• ${√3}/2$

각 값은 다음에 해당합니다. 코사인과 사인 모두에 대한 짧은, 중간 또는 긴 선:

이러한 길이의 의미는 다음과 같습니다.

짧은 수평선 또는 수직선= /2$ 중간 수평선 또는 수직선= ${√2}/2$ 긴 수평선 또는 수직선= ${√3}/2$

예를 들어, $cos{π/3}$를 풀려고 한다면 이 각도(60°와 동일)가 다음을 의미한다는 것을 즉시 알아야 합니다. 단위원 위의 짧은 수평선. 그러므로, 해당 x 좌표는 /2$와 같아야 합니다. ($π/3$가 좌표계의 첫 번째 사분면에 점을 생성하므로 양수 값입니다).

마지막으로, 위 표의 모든 각도를 기억하는 것이 도움이 되지만, 기억해야 할 가장 중요한 각도는 다음과 같습니다.

• 30° / $p/
• 45° / $p/4$
• 60° / $p/3$

잘못 연결할 경우 잠재적으로 사망에 이를 수 있는 케이블과 마찬가지로 음극과 양극을 다루십시오.

#2: 무엇이 부정적인지, 무엇이 긍정적인지 알아보기

삼각 문제에 대한 올바른 값을 찾으려면 양수 및 음수 x, y 좌표를 구별할 수 있는 것이 중요합니다. 참고로, ~ 안에 단위원의 좌표가 양수인지 음수인지는 다음에 따라 달라집니다. 점이 어느 사분면(I, II, III 또는 IV)에 속하는지:

다음은 특정 각도(도 또는 라디안)가 있는 사분면을 기준으로 좌표가 양수인지 음수인지를 보여주는 차트입니다.

예를 들어, 수학 시험에서 다음과 같은 문제가 주어졌다고 가정해 보겠습니다.

$$cos210°$$

문제를 해결하려고 시도하기 전에 답이 다음과 같다는 것을 인식할 수 있어야 합니다. 음수 각도 210°는 제3사분면(x 좌표는 언제나 부정적인).

이제 팁 1에서 배운 요령을 사용하여 210°의 각도가 생성된다는 것을 알아낼 수 있습니다. 긴 수평선. 그러므로 우리의 대답은 다음과 같습니다.

$$cos210°=-{√3}/2$$

#3: 탄젠트를 푸는 방법을 알아두세요

마지막으로, 삼각원과 사인, 코사인에 대한 이 모든 정보를 사용하는 방법을 아는 것이 중요합니다. 각도의 탄젠트를 구합니다.

삼각법에서 각도 θ(도 또는 라디안 단위)의 탄젠트를 찾으려면 다음을 수행하면 됩니다. 사인을 코사인으로 나눕니다.

$$ anθ={sinθ}/{cosθ}$$

예를 들어, 다음 문제에 답하려고 한다고 가정해 보겠습니다.

$$ an300°$$

첫 번째 단계는 사인과 코사인의 방정식을 설정하는 것입니다.

$$ an300°={sin300°}/{cos300°}$$

이제 탄젠트를 풀려면 사인을 찾아야 합니다. 그리고 300°의 코사인. 300°가 4사분면에 속한다는 것을 빨리 인식할 수 있어야 합니다. 코사인, 즉 x 좌표는 양수이고 사인, 즉 y 좌표는 음수입니다.

너도 그걸 바로 알아야 해 각도 300°가 만들어내는 짧은 수평선과 긴 수직선. 따라서 코사인(가로선)은 /2$와 같고 사인(세로선)은 $-{√3}/2$(이 점은 사분면 IV에 있으므로 음의 y 값)과 같습니다. .

이제 탄젠트를 찾으려면 연결하고 해결하기만 하면 됩니다.

$$ an300°={-{√3}/2}/{1/2}$$

$$ an300°=-√3$$

수학 능력을 더욱 연습할 시간입니다!

단위원 연습문제 세트

이제 단위원의 모양과 사용 방법을 알았으니 몇 가지 연습 문제를 통해 배운 내용을 테스트해 보겠습니다.

질문

1. $sin45°$
2. $cos240°$
3. $cos{5π}/3$
4. $ an{2π}/3$

답변

1. ${√2}/2$
2. $-1/2$
3. /2$
4. $-√3$

답변 설명

#1: $sin45°$

이 문제에서는 즉시 식별할 수 있어야 하는 두 가지 정보가 있습니다.

대답은 긍정적일 것이다.각도 45°는 I 사분면에 있고 각도의 사인은 y 좌표와 같기 때문입니다.

• 45° 각도가 만들어집니다. 중간 길이의 수직선 (그들을 위해)

45°는 양의 중간 길이 선을 나타내므로, 정답은 ${√2}/2$.

이를 파악하는 방법을 잘 모르겠다면 선의 길이가 짧은지, 중간인지, 긴지 결정하는 데 도움이 되는 다이어그램을 그려보세요.

#2: $cos240°$

위의 문제 #1과 마찬가지로 이 문제에 대해 신속하게 파악할 수 있는 두 가지 정보가 있습니다.

대답은 부정적일 것이다.각도 240°는 III 사분면에 있고 각도의 코사인은 x 좌표와 같기 때문입니다.

• 240° 각도가 만들어집니다. 짧은 수평선 (코사인의 경우)

240°는 음의 짧은 선을 나타내므로, 정답은 $-1/2$.

#3: $cos{5π}/3$

위의 문제와 달리 이 문제는 라디안 학위 대신. 이로 인해 문제를 해결하기가 더 까다로워 보일 수 있지만 실제로는 다른 두 문제와 동일한 기본 단계를 사용합니다.

먼저 각도 ${5π}/3$가 IV 사분면에 있으므로 x 좌표 또는 코사인은 다음과 같습니다. 양수. 당신은 또한 그것을 말할 수 있어야합니다${5π}/3$창조하다 짧은 수평선.

이는 다음을 결정하는 데 충분한 정보를 제공합니다. 그만큼 대답은 /2$.

#4: $ an{2π}/3$

이 문제는 사인이나 코사인 대신 탄젠트를 다루므로 우리 쪽에서는 수학이 좀 더 필요합니다. 우선, 회상해 보세요. 탄젠트를 찾는 기본 공식:

$$ an θ={sin θ}/{cos θ}$$

이제 우리가 받은 학위를 살펴보겠습니다. ${2π}/3$—그리고 이를 다음 방정식에 연결합니다.

$$ an {2π}/3={sin {2π}/3}/{cos {2π}/3}$$

이제 단위원에 대해 기억한 내용을 사용하여 사인과 코사인을 별도로 풀 수 있습니다. 각도 ${2π}/3$는 II 사분면에 있으므로, x 좌표(또는 코사인)는 음수이고 y 좌표(또는 사인)는 양수입니다.

다음으로, 수평선이 이루는 각도만으로 판단할 수 있어야 합니다. 짧은 줄, 그리고 수직선은 긴 줄. 즉, 코사인은 $-1/2$와 같고 사인은 ${√3}/2$와 같습니다.

이제 이러한 값을 알아냈으므로 우리가 해야 할 일은 이를 초기 방정식에 연결하고 접선을 구하는 것뿐입니다.

$$ an {2π}/3={{√3}/2}/{-1/2}$$

$$ an {2π}/3=-√3$$

무엇 향후 계획?

곧 SAT나 ACT에 응시할 예정이라면 수학 섹션에서 좋은 성적을 거두려면 몇 가지 삼각법을 알아야 합니다. SAT 및 ACT 시험에 대한 전문가 가이드를 살펴보고 시험 당일에 알아야 할 사항을 정확히 배울 수 있습니다!

단위원을 외우는 것 외에도 숫자를 연결하는 방법과 답변을 연결하는 방법을 배우는 것이 좋습니다. SAT와 ACT를 포함한 모든 수학 시험에서 사용할 수 있는 이 두 가지 유용한 전략에 대해 모두 알아보려면 가이드를 읽어보세요!