빅오 표기법 알고리즘의 시간 복잡도나 공간 복잡도를 설명하기 위해 컴퓨터 과학에서 사용되는 강력한 도구입니다. 이는 최악의 성능 측면에서 다양한 알고리즘의 효율성을 비교하는 표준화된 방법을 제공합니다. 이해 빅오 표기법 효율적인 알고리즘을 분석하고 설계하는 데 필수적입니다.
이 튜토리얼에서는 빅오 표기법 , 그 중요성, 그리고 이를 사용하여 알고리즘의 복잡성을 분석하는 방법 빅오 .
내용의 테이블
- Big-O 표기법이란 무엇입니까?
- Big-O 표기법의 정의:
- Big O 표기법이 중요한 이유는 무엇입니까?
- 빅오 표기법의 속성
- 일반적인 Big-O 표기법
- Big O 표기법을 결정하는 방법은 무엇입니까?
- 런타임 분석의 수학적 예
- 런타임 분석의 알고리즘 예
- 작업 횟수와 실행 시간이 포함된 알고리즘 클래스
- Big O 표기법, Big Ω(Omega) 표기법, Big θ(Theta) 표기법 비교
- 빅오 표기법에 대해 자주 묻는 질문
Big-O 표기법이란 무엇입니까?
빅오 , 일반적으로 의 순서 , 을 표현하는 방법이다. 상한 알고리즘의 시간 복잡도를 분석하기 때문에 최악의 경우 알고리즘 상황. 그것은 제공합니다 상한 입력 크기 측면에서 알고리즘에 소요되는 시간입니다. 다음과 같이 표시됩니다. O(f(n)) , 어디 에프(엔) 크기 문제를 해결하기 위해 알고리즘이 수행하는 작업(단계) 수를 나타내는 함수입니다. N .
빅오 표기법 알고리즘의 성능이나 복잡성을 설명하는 데 사용됩니다. 구체적으로 다음을 설명합니다. 최악의 시나리오 측면에서 시간 또는 공간 복잡성.
중요 포인트:
- 빅오 표기법 정확한 값이 아닌 함수의 점근적 동작만 설명합니다.
- 그만큼 빅오 표기법 다양한 알고리즘이나 데이터 구조의 효율성을 비교하는 데 사용할 수 있습니다.
Big-O 표기법의 정의:
두 가지 함수가 주어지면 에프(엔) 그리고 g(n) , 우리는 이렇게 말합니다 에프(엔) ~이다 O(g(n)) 상수가 존재하는 경우 c> 0 그리고 N 0 >= 0 그렇게 f(n) <= c*g(n) 모든 n>= n 0 .
더 쉽게 말하면, 에프(엔) ~이다 O(g(n)) 만약에 에프(엔) 다음보다 더 빨리 자라지 않는다 c*g(n) 모든 n>= n에 대해0여기서 c와 n0상수입니다.
Big O 표기법이 중요한 이유는 무엇입니까?
Big O 표기법은 알고리즘의 최악의 시간 복잡도나 효율성 또는 데이터 구조의 최악의 공간 복잡도를 설명하는 데 사용되는 수학적 표기법입니다. 이는 다양한 알고리즘과 데이터 구조의 성능을 비교하고 입력 크기가 증가함에 따라 어떻게 작동할지 예측하는 방법을 제공합니다.
Big O 표기법은 여러 가지 이유로 중요합니다.
- Big O 표기법은 알고리즘의 효율성을 분석하는 데 도움이 되기 때문에 중요합니다.
- 방법을 설명하는 방법을 제공합니다. 실행 시간 또는 공간 요구 사항 입력 크기가 증가함에 따라 알고리즘이 증가합니다.
- 프로그래머가 다양한 알고리즘을 비교하고 특정 문제에 대해 가장 효율적인 알고리즘을 선택할 수 있습니다.
- 알고리즘의 확장성을 이해하고 입력 크기가 커짐에 따라 알고리즘의 성능을 예측하는 데 도움이 됩니다.
- 개발자가 코드를 최적화하고 전반적인 성능을 향상시킬 수 있습니다.
빅오 표기법의 속성:
다음은 Big O 표기법의 몇 가지 중요한 속성입니다.
1. 반사성:
임의의 함수 f(n)에 대해 f(n) = O(f(n)).
예:
f(n) = n2, 그러면 f(n) = O(n2).
2. 이행성:
f(n) = O(g(n)) 및 g(n) = O(h(n))이면 f(n) = O(h(n))입니다.
예:
f(n) = n삼, g(n) = n2, h(n) = n4. 그러면 f(n) = O(g(n)) 및 g(n) = O(h(n))입니다. 따라서 f(n) = O(h(n))입니다.
3. 상수 인자:
임의의 상수 c> 0 및 함수 f(n) 및 g(n)에 대해 f(n) = O(g(n))이면 cf(n) = O(g(n))입니다.
예:
f(n) = n, g(n) = n2. 그러면 f(n) = O(g(n))입니다. 따라서 2f(n) = O(g(n))입니다.
4. 합계 규칙:
f(n) = O(g(n)) 및 h(n) = O(g(n))이면 f(n) + h(n) = O(g(n))입니다.
예:
f(n) = n2, g(n) = n삼, h(n) = n4. 그러면 f(n) = O(g(n)) 및 h(n) = O(g(n))입니다. 따라서 f(n) + h(n) = O(g(n))입니다.
5. 제품 규칙:
f(n) = O(g(n)) 및 h(n) = O(k(n))이면 f(n) * h(n) = O(g(n) * k(n)) .
예:
f(n) = n, g(n) = n2, h(n) = n삼, k(n) = n4. 그러면 f(n) = O(g(n)) 및 h(n) = O(k(n))입니다. 따라서 f(n) * h(n) = O(g(n) * k(n)) = O(n5).
6. 구성 규칙:
f(n) = O(g(n)) 및 g(n) = O(h(n))이면 f(g(n)) = O(h(n))입니다.
예:
f(n) = n2, g(n) = n, h(n) = n삼. 그러면 f(n) = O(g(n)) 및 g(n) = O(h(n))입니다. 따라서 f(g(n)) = O(h(n)) = O(n삼).
눈 대 얼음
일반적인 Big-O 표기법:
Big-O 표기법은 알고리즘의 시간 및 공간 복잡도를 측정하는 방법입니다. 최악의 시나리오에서 복잡성의 상한을 설명합니다. 다양한 유형의 시간 복잡성을 살펴보겠습니다.
1. 선형 시간 복잡도: Big O(n) 복잡도
선형 시간 복잡도는 알고리즘의 실행 시간이 입력 크기에 따라 선형적으로 증가함을 의미합니다.
예를 들어, 다음과 같은 알고리즘을 고려해보세요. 특정 요소를 찾기 위해 배열을 탐색합니다. :
코드 조각 bool findElement(int arr[], int n, int key) { for (int i = 0; i < n; i++) { if (arr[i] == key) { return true; } } return false; }> 2. 로그 시간 복잡도: Big O(log n) 복잡도
로그 시간 복잡도는 알고리즘의 실행 시간이 입력 크기의 로그에 비례한다는 것을 의미합니다.
예를 들어, 이진 검색 알고리즘 로그 시간 복잡도를 갖습니다.
코드 조각 int binarySearch(int arr[], int l, int r, int x) { if (r>= l) { int mid = l + (r - l) / 2; if (arr[mid] == x) return mid; if (arr[mid]> x) return binarySearch(arr, l, mid - 1, x); return BinarySearch(arr, mid + 1, r, x); } -1을 반환합니다; }> 3. 2차 시간 복잡도: Big O(n2) 복잡성
2차 시간 복잡도는 알고리즘의 실행 시간이 입력 크기의 제곱에 비례한다는 것을 의미합니다.
예를 들어, 간단한 버블 정렬 알고리즘 2차 시간 복잡도를 가집니다.
코드 조각 void bubbleSort(int arr[], int n) { for (int i = 0; i < n - 1; i++) { for (int j = 0; j < n - i - 1; j++) { if (arr[j]>arr[j + 1]) { swap(&arr[j], &arr[j + 1]); } } } }> 4. 3차 시간 복잡도: Big O(n삼) 복잡성
3차 시간 복잡도는 알고리즘의 실행 시간이 입력 크기의 세제곱에 비례한다는 것을 의미합니다.
예를 들어, 순진한 행렬 곱셈 알고리즘 3차 시간 복잡도를 갖습니다.
코드 조각 void multiply(int mat1[][N], int mat2[][N], int res[][N]) { for (int i = 0; i < N; i++) { for (int j = 0; j < N; j++) { res[i][j] = 0; for (int k = 0; k < N; k++) res[i][j] += mat1[i][k] * mat2[k][j]; } } }> 5. 다항식 시간 복잡도: Big O(n케이) 복잡성
다항식 시간 복잡도는 입력 크기의 다항식 함수로 표현될 수 있는 알고리즘의 시간 복잡도를 의미합니다. N . 빅에서 영형 표기법으로, 시간 복잡도가 다음과 같은 경우 알고리즘은 다항식 시간 복잡도를 갖는다고 합니다. 에 케이 ) , 어디 케이 는 상수이며 다항식의 차수를 나타냅니다.
다항식 시간 복잡도를 갖는 알고리즘은 입력 크기가 증가함에 따라 실행 시간이 합리적인 속도로 증가하므로 일반적으로 효율적인 것으로 간주됩니다. 다항식 시간 복잡도가 있는 알고리즘의 일반적인 예는 다음과 같습니다. 선형 시간 복잡도 O(n) , 2차 시간 복잡도 O(n 2 ) , 그리고 3차 시간 복잡도 O(n 삼 ) .
6. 지수적 시간 복잡도: Big O(2N) 복잡성
지수적 시간 복잡도는 입력 데이터 세트에 추가할 때마다 알고리즘의 실행 시간이 두 배로 늘어난다는 것을 의미합니다.
예를 들어, 문제는 세트의 모든 하위 세트 생성 기하급수적으로 시간 복잡도가 높습니다.
코드 조각 void generateSubsets(int arr[], int n) { for (int i = 0; i < (1 << n); i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { if (i & (1 << j)) { cout << arr[j] << ' '; } } cout << endl; } }> 계승 시간 복잡도: Big O(n!) 복잡도
계승 시간 복잡도는 알고리즘의 실행 시간이 입력 크기에 따라 계승적으로 증가함을 의미합니다. 이는 데이터 세트의 모든 순열을 생성하는 알고리즘에서 흔히 볼 수 있습니다.
다음은 배열의 모든 순열을 생성하는 계승 시간 복잡도 알고리즘의 예입니다.
코드 조각 void permute(int* a, int l, int r) { if (l == r) { for (int i = 0; i <= r; i++) { cout << a[i] << ' '; } cout << endl; } else { for (int i = l; i <= r; i++) { swap(a[l], a[i]); permute(a, l + 1, r); swap(a[l], a[i]); // backtrack } } }> 가장 일반적인 Big O 표기법 예제를 플로팅하면 다음과 같은 그래프가 표시됩니다.
Big O 표기법을 결정하는 방법은 무엇입니까?
빅오 표기법 설명하는 데 사용되는 수학적 표기법입니다. 점근적 행동 입력이 무한히 커짐에 따라 함수의 크기가 커집니다. 이는 알고리즘과 데이터 구조의 효율성을 특성화하는 방법을 제공합니다.
Big O 표기법을 결정하는 단계:
1. 주요 용어를 식별하십시오.
- 함수를 검토하고 입력 크기가 증가함에 따라 성장 차수가 가장 높은 항을 식별합니다.
- 상수 인자나 저차항은 무시하세요.
2. 성장 순서 결정:
- 지배항의 성장 순서에 따라 Big O 표기법이 결정됩니다.
3. Big O 표기법을 작성합니다.
- Big O 표기법은 O(f(n))으로 작성됩니다. 여기서 f(n)은 주요 항을 나타냅니다.
- 예를 들어 지배항이 n^2인 경우 Big O 표기법은 O(n^2)가 됩니다.
4. 표기법 단순화(선택 사항):
- 어떤 경우에는 빅오 브랜딩 n은 상수 인수를 제거하거나 보다 간결한 표기법을 사용하여 단순화할 수 있습니다.
- 예를 들어, 오(2n) 다음과 같이 단순화될 수 있다 에).
예:
함수: f(n) = 3n삼+ 2n2+ 5n + 1
- 주요 용어: 3n삼
- 성장 순서: 입방체(n삼)
- 빅오 표기법: O(n삼)
- 단순화된 표기법: O(n삼)
런타임 분석의 수학적 예:
아래 표는 입력 크기(n)가 증가함에 따라 다양한 순서의 알고리즘에 대한 런타임 분석을 보여줍니다.
| N | 로그(n) | N | n * 로그(n) | n^2 | 2^n | N! |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 10 | 1 | 10 | 10 | 100 | 1024 | 3628800 |
| 이십 | 2,996 | 이십 | 59.9 | 400 | 1048576 | 2.432902e+1818 |
런타임 분석의 알고리즘 예:
아래 표는 런타임 복잡성을 기준으로 알고리즘을 분류하고 각 유형에 대한 예를 제공합니다.
| 유형 | 표기법 | 예제 알고리즘 |
|---|---|---|
| 대수 | O(로그 n) | 이진 검색 |
| 선의 | 에) | 선형 검색 |
| 초선형 | O(n 로그 n) | 힙 정렬, 병합 정렬 |
| 다항식 | 오(n^c) | Strassen의 행렬 곱셈, 버블 정렬, 선택 정렬, 삽입 정렬, 버킷 정렬 |
| 지수 | 오(c^n) | 하노이 타워 |
| 계승 | 에!) | 미성년자에 의한 행렬식 확장, 여행하는 세일즈맨 문제에 대한 무차별 대입 검색 알고리즘 |
작업 수와 실행 시간이 포함된 알고리즘 클래스:
다음은 컴퓨터에서 실행되는 알고리즘의 클래스와 실행 시간입니다. 초당 100만 작업(1초 = 10) 6 마이크로초 = 10 삼 밀리초) :
Big O 표기법 클래스 | 에프(엔) | n = 10에 대한 Big O 분석(작업 수) | 실행 시간(1명령/μ초) |
|---|---|---|---|
끊임없는 | 오(1) | 1 | 1μ초 |
대수적 | 오(로그인) | 3.32 | 3μ초 |
선의 | 에) | 10 | 10μ초 |
O(로그인) | O(로그인) | 33.2 | 33μ초 |
이차 | 에2) | 102 | 100μ초 |
큐빅 | 에삼) 안드로이드의 imessage 게임 | 10삼 | 1밀리초 |
지수 | 오(2N) | 1024 | 10밀리초 |
계승 | 에!) | 10! | 3.6288초 |
Big O 표기법, Big Ω(Omega) 표기법 및 Big θ(Theta) 표기법 비교:
다음은 Big O 표기법, Ω(Omega) 표기법, θ(Theta) 표기법을 비교한 표입니다.
| 표기법 | 정의 | 설명 |
|---|---|---|
| 빅오(O) | 모든 n ≥ n에 대해 f(n) ≤ C * g(n)0 | 알고리즘 실행 시간의 상한을 설명합니다. 최악의 경우 . |
| Ω(오메가) | 모든 n ≥ n에 대해 f(n) ≥ C * g(n)0 | 알고리즘 실행 시간의 하한을 설명합니다. 최선의 경우 . |
| θ(세타) | 씨1* g(n) ≤ f(n) ≤ C2* n ≥ n인 경우 g(n)0 | 알고리즘의 상한과 하한을 모두 설명합니다. 시간을 실행 . |
각 표기법에서:
- 에프(엔) 분석되는 함수, 일반적으로 알고리즘의 시간 복잡도를 나타냅니다.
- g(n) 경계를 이루는 특정 함수를 나타냅니다. 에프(엔) .
- C, C1, 그리고 C2 는 상수입니다.
- N 0 는 부등식이 유지되는 최소 입력 크기입니다.
이러한 표기법은 다음을 기반으로 알고리즘을 분석하는 데 사용됩니다. 최악의 경우(빅오) , 최상의 경우(Ω) , 그리고 평균 사례(θ) 시나리오.
Big O 표기법에 대해 자주 묻는 질문:
질문 1. 빅오 표기법이란 무엇인가요?
답변: Big O 표기법은 입력 크기에 비해 알고리즘이 어떻게 증가하는지에 대한 알고리즘 시간 복잡도의 상한을 설명하는 데 사용되는 수학적 표기법입니다.
질문 2. Big O 표기법이 왜 중요한가요?
답변: 최악의 시나리오에 초점을 맞추고 성능이 입력 크기에 따라 어떻게 확장되는지 이해함으로써 알고리즘의 효율성을 분석하고 비교하는 데 도움이 됩니다.
질문 3. Big O 표기법은 어떻게 계산되나요?
답변: Big O 표기법은 알고리즘에서 지배적인 작업을 식별하고 시간 복잡도를 n으로 표현하여 결정됩니다. 여기서 n은 입력 크기를 나타냅니다.
질문 4. Big O 표기법에서 O(1)은 무엇을 의미하나요?
답변: O(1)은 일정한 시간 복잡도를 나타내며, 입력 크기에 관계없이 알고리즘의 실행 시간이 변하지 않음을 나타냅니다.
질문 5. O(log n) 또는 O(n^2)와 같은 다양한 Big O 복잡성의 중요성은 무엇입니까?
답변: O(log n) 또는 O(n^2)와 같은 다양한 복잡성은 입력 크기가 증가함에 따라 알고리즘 성능이 어떻게 확장되는지를 나타내며 효율성과 확장성에 대한 통찰력을 제공합니다.
질문 6. Big O 표기법을 공간 복잡도에도 적용할 수 있나요?
답변: 예, Big O 표기법은 알고리즘의 공간 복잡성을 분석하고 설명하는 데에도 사용할 수 있으며 입력 크기에 비해 필요한 메모리 양을 나타냅니다.
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