이진 인덱스 트리: 범위 업데이트 및 범위 쿼리

배열 arr[0..N-1]이 주어졌습니다. 다음 작업을 수행해야 합니다.

업데이트(l r val) : [l r]의 배열에 있는 모든 요소에 'val'을 추가합니다.
getRangeSum(l r) : [l r]에서 배열의 모든 요소의 합을 찾습니다.

처음에 배열의 모든 요소는 0입니다. 쿼리는 순서에 관계없이 가능합니다. 즉, 범위 합계 이전에 많은 업데이트가 있을 수 있습니다.

예:

입력: N = 5 // {0 0 0 0 0}
쿼리: 업데이트: l = 0 r = 4 val = 2
업데이트 : l = 3 r = 4 val = 3
getRangeSum : l = 2 r = 4

산출: 범위 [2 4]의 요소 합은 12입니다.
설명: 첫 번째 업데이트 후 배열은 {2 2 2 2 2}가 됩니다.
두 번째 업데이트 후 배열은 {2 2 2 5 5}가 됩니다.

순진한 접근 방식: 문제를 해결하려면 아래 아이디어를 따르십시오.

에서 이전 게시물 BIT를 사용한 범위 업데이트 및 포인트 쿼리 솔루션에 대해 논의했습니다.
rangeUpdate(l r val) : 인덱스 'l'의 요소에 'val'을 추가합니다. 인덱스 'r+1'에 있는 요소에서 'val'을 뺍니다.
getElement(index) [or getSum()]: BIT를 사용하여 빠르게 얻을 수 있는 0부터 인덱스까지의 요소 합계를 반환합니다.
getSum() 쿼리를 사용하여 rangeSum()을 계산할 수 있습니다.
rangeSum(l r) = getSum(r) - getSum(l-1)
자바스크립트 샘플 코드 예

간단한 솔루션 에서 논의된 솔루션을 사용하는 것입니다. 이전 게시물 . 범위 업데이트 쿼리도 동일합니다. 범위 합계 쿼리는 범위의 모든 요소에 대해 가져오기 쿼리를 수행하여 수행할 수 있습니다.

효율적인 접근 방식: 문제를 해결하려면 아래 아이디어를 따르십시오.

접두사 합계를 사용하여 범위 합계를 얻습니다. 접두사 합계를 신속하게 수행할 수 있도록 업데이트가 수행되었는지 확인하는 방법은 무엇입니까? 접두사 합이 [0 k]인 상황을 고려하십시오(여기서 0<= k < n) is needed after range update on the range [l r]. Three cases arise as k can possibly lie in 3 regions.

사례 1 : 0< k < l
업데이트 쿼리는 합계 쿼리에 영향을 주지 않습니다.
사례 2 : 내가<= k <= r
예를 들어 보겠습니다. 범위 [2 4]에 2를 추가하면 결과 배열은 다음과 같습니다. 0 0 2 2 2
k = 3인 경우 [0 k]의 합 = 4
이 결과를 얻는 방법은 무엇입니까?
l의 val을 추가하기만 하면 됩니다.^일k에 대한 인덱스^일색인. 업데이트 쿼리 후 합계는 'val*(k) - val*(l-1)'만큼 증가합니다.

사례 3 : k > r
이 경우 l에서 'val'을 추가해야 합니다.^일r에 대한 인덱스^일색인. 업데이트 쿼리로 인해 합계가 'val*r – val*(l-1)'만큼 증가합니다.

관찰:

사례 1: 합계는 업데이트 전과 동일하게 유지되므로 간단합니다.

사례 2: 합계는 val*k - val*(l-1)만큼 증가했습니다. 우리는 'val'을 찾을 수 있습니다. 이는 i를 찾는 것과 비슷합니다.^일요소 범위 업데이트 및 포인트 쿼리 기사 . 따라서 범위 업데이트 및 포인트 쿼리에 대해 하나의 BIT를 유지합니다. 이 BIT는 k에서 값을 찾는 데 도움이 됩니다.^일색인. 이제 val * k는 추가 항 val*(l-1)을 처리하는 방법으로 계산됩니다.
이 추가 기간을 처리하기 위해 우리는 또 다른 BIT(BIT2)를 유지 관리합니다. l에서 val * (l-1) 업데이트^일따라서 BIT2에서 getSum 쿼리가 수행되면 결과가 val*(l-1)로 제공됩니다.

사례 3: 사례 3의 합은 'val*r - val *(l-1)'만큼 증가되었으며 이 항의 값은 BIT2를 사용하여 얻을 수 있습니다. 추가하는 대신 'val*(l-1) - val*r'을 뺍니다. 사례 2에서 했던 것처럼 val*(l-1)을 추가하고 모든 업데이트 작업에서 val*r을 빼서 BIT2에서 이 값을 얻을 수 있기 때문입니다.

preg_match

쿼리 업데이트

업데이트(BITree1 l val)
업데이트(BITree1 r+1 -val)
UpdateBIT2(BITree2 l val*(l-1))
업데이트BIT2(BITree2 r+1 -val*r)

범위 합계

getSum(BITTree1 k) *k) - getSum(BITTree2 k)

문제를 해결하려면 아래 단계를 따르십시오.

주어진 함수 constructorBITree()를 사용하여 두 개의 이진 인덱스 트리를 만듭니다.
주어진 범위에서 합계를 찾으려면 주어진 범위와 이진 인덱스 트리를 매개변수로 사용하여 rangeSum() 함수를 호출하세요.
- [0 X] 범위의 합계를 반환하는 함수 sum을 호출합니다.
- 합계(R) - 합계(L-1) 반환
  - 이 함수 내에서 [0 X]에서 배열의 합계를 반환하는 getSum() 함수를 호출합니다.
  - 반환 getSum(Tree1 x) * x - getSum(tree2 x)
  - getSum() 함수 내에서 0과 동일한 정수 합계를 생성하고 인덱스를 1만큼 증가시킵니다.
  - 인덱스가 0보다 크면 합계를 Tree[index]로 늘립니다.
  - 인덱스를 트리의 상위 노드로 이동하려면 (index & (-index))만큼 인덱스를 줄입니다.
  - 반환 금액
주어진 범위의 합계를 인쇄합니다.

다음은 위의 접근 방식을 구현한 것입니다.

C++

// C++ program to demonstrate Range Update // and Range Queries using BIT #include    using namespace std; // Returns sum of arr[0..index]. This function assumes // that the array is preprocessed and partial sums of // array elements are stored in BITree[] int getSum(int BITree[] int index) {  int sum = 0; // Initialize result  // index in BITree[] is 1 more than the index in arr[]  index = index + 1;  // Traverse ancestors of BITree[index]  while (index > 0) {  // Add current element of BITree to sum  sum += BITree[index];  // Move index to parent node in getSum View  index -= index & (-index);  }  return sum; } // Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given // index in BITree. The given value 'val' is added to // BITree[i] and all of its ancestors in tree. void updateBIT(int BITree[] int n int index int val) {  // index in BITree[] is 1 more than the index in arr[]  index = index + 1;  // Traverse all ancestors and add 'val'  while (index <= n) {  // Add 'val' to current node of BI Tree  BITree[index] += val;  // Update index to that of parent in update View  index += index & (-index);  } } // Returns the sum of array from [0 x] int sum(int x int BITTree1[] int BITTree2[]) {  return (getSum(BITTree1 x) * x) - getSum(BITTree2 x); } void updateRange(int BITTree1[] int BITTree2[] int n  int val int l int r) {  // Update Both the Binary Index Trees  // As discussed in the article  // Update BIT1  updateBIT(BITTree1 n l val);  updateBIT(BITTree1 n r + 1 -val);  // Update BIT2  updateBIT(BITTree2 n l val * (l - 1));  updateBIT(BITTree2 n r + 1 -val * r); } int rangeSum(int l int r int BITTree1[] int BITTree2[]) {  // Find sum from [0r] then subtract sum  // from [0l-1] in order to find sum from  // [lr]  return sum(r BITTree1 BITTree2)  - sum(l - 1 BITTree1 BITTree2); } int* constructBITree(int n) {  // Create and initialize BITree[] as 0  int* BITree = new int[n + 1];  for (int i = 1; i <= n; i++)  BITree[i] = 0;  return BITree; } // Driver code int main() {  int n = 5;  // Construct two BIT  int *BITTree1 *BITTree2;  // BIT1 to get element at any index  // in the array  BITTree1 = constructBITree(n);  // BIT 2 maintains the extra term  // which needs to be subtracted  BITTree2 = constructBITree(n);  // Add 5 to all the elements from [04]  int l = 0 r = 4 val = 5;  updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r);  // Add 10 to all the elements from [24]  l = 2 r = 4 val = 10;  updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r);  // Find sum of all the elements from  // [14]  l = 1 r = 4;  cout << 'Sum of elements from [' << l << '' << r  << '] is ';  cout << rangeSum(l r BITTree1 BITTree2) << 'n';  return 0; }

Java

// Java program to demonstrate Range Update // and Range Queries using BIT import java.util.*; class GFG {  // Returns sum of arr[0..index]. This function assumes  // that the array is preprocessed and partial sums of  // array elements are stored in BITree[]  static int getSum(int BITree[] int index)  {  int sum = 0; // Initialize result  // index in BITree[] is 1 more than the index in  // arr[]  index = index + 1;  // Traverse ancestors of BITree[index]  while (index > 0) {  // Add current element of BITree to sum  sum += BITree[index];  // Move index to parent node in getSum View  index -= index & (-index);  }  return sum;  }  // Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given  // index in BITree. The given value 'val' is added to  // BITree[i] and all of its ancestors in tree.  static void updateBIT(int BITree[] int n int index  int val)  {  // index in BITree[] is 1 more than the index in  // arr[]  index = index + 1;  // Traverse all ancestors and add 'val'  while (index <= n) {  // Add 'val' to current node of BI Tree  BITree[index] += val;  // Update index to that of parent in update View  index += index & (-index);  }  }  // Returns the sum of array from [0 x]  static int sum(int x int BITTree1[] int BITTree2[])  {  return (getSum(BITTree1 x) * x)  - getSum(BITTree2 x);  }  static void updateRange(int BITTree1[] int BITTree2[]  int n int val int l int r)  {  // Update Both the Binary Index Trees  // As discussed in the article  // Update BIT1  updateBIT(BITTree1 n l val);  updateBIT(BITTree1 n r + 1 -val);  // Update BIT2  updateBIT(BITTree2 n l val * (l - 1));  updateBIT(BITTree2 n r + 1 -val * r);  }  static int rangeSum(int l int r int BITTree1[]  int BITTree2[])  {  // Find sum from [0r] then subtract sum  // from [0l-1] in order to find sum from  // [lr]  return sum(r BITTree1 BITTree2)  - sum(l - 1 BITTree1 BITTree2);  }  static int[] constructBITree(int n)  {  // Create and initialize BITree[] as 0  int[] BITree = new int[n + 1];  for (int i = 1; i <= n; i++)  BITree[i] = 0;  return BITree;  }  // Driver Program to test above function  public static void main(String[] args)  {  int n = 5;  // Contwo BIT  int[] BITTree1;  int[] BITTree2;  // BIT1 to get element at any index  // in the array  BITTree1 = constructBITree(n);  // BIT 2 maintains the extra term  // which needs to be subtracted  BITTree2 = constructBITree(n);  // Add 5 to all the elements from [04]  int l = 0 r = 4 val = 5;  updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r);  // Add 10 to all the elements from [24]  l = 2;  r = 4;  val = 10;  updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r);  // Find sum of all the elements from  // [14]  l = 1;  r = 4;  System.out.print('Sum of elements from [' + l + ''  + r + '] is ');  System.out.print(rangeSum(l r BITTree1 BITTree2)  + 'n');  } } // This code is contributed by 29AjayKumar

Python3

# Python3 program to demonstrate Range Update # and Range Queries using BIT # Returns sum of arr[0..index]. This function assumes # that the array is preprocessed and partial sums of # array elements are stored in BITree[] def getSum(BITree: list index: int) -> int: summ = 0 # Initialize result # index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1 # Traverse ancestors of BITree[index] while index > 0: # Add current element of BITree to sum summ += BITree[index] # Move index to parent node in getSum View index -= index & (-index) return summ # Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given # index in BITree. The given value 'val' is added to # BITree[i] and all of its ancestors in tree. def updateBit(BITTree: list n: int index: int val: int) -> None: # index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1 # Traverse all ancestors and add 'val' while index <= n: # Add 'val' to current node of BI Tree BITTree[index] += val # Update index to that of parent in update View index += index & (-index) # Returns the sum of array from [0 x] def summation(x: int BITTree1: list BITTree2: list) -> int: return (getSum(BITTree1 x) * x) - getSum(BITTree2 x) def updateRange(BITTree1: list BITTree2: list n: int val: int l: int r: int) -> None: # Update Both the Binary Index Trees # As discussed in the article # Update BIT1 updateBit(BITTree1 n l val) updateBit(BITTree1 n r + 1 -val) # Update BIT2 updateBit(BITTree2 n l val * (l - 1)) updateBit(BITTree2 n r + 1 -val * r) def rangeSum(l: int r: int BITTree1: list BITTree2: list) -> int: # Find sum from [0r] then subtract sum # from [0l-1] in order to find sum from # [lr] return summation(r BITTree1 BITTree2) - summation( l - 1 BITTree1 BITTree2) # Driver Code if __name__ == '__main__': n = 5 # BIT1 to get element at any index # in the array BITTree1 = [0] * (n + 1) # BIT 2 maintains the extra term # which needs to be subtracted BITTree2 = [0] * (n + 1) # Add 5 to all the elements from [04] l = 0 r = 4 val = 5 updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r) # Add 10 to all the elements from [24] l = 2 r = 4 val = 10 updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r) # Find sum of all the elements from # [14] l = 1 r = 4 print('Sum of elements from [%d%d] is %d' % (l r rangeSum(l r BITTree1 BITTree2))) # This code is contributed by # sanjeev2552

// C# program to demonstrate Range Update // and Range Queries using BIT using System; class GFG {  // Returns sum of arr[0..index]. This function assumes  // that the array is preprocessed and partial sums of  // array elements are stored in BITree[]  static int getSum(int[] BITree int index)  {  int sum = 0; // Initialize result  // index in BITree[] is 1 more than  // the index in []arr  index = index + 1;  // Traverse ancestors of BITree[index]  while (index > 0) {  // Add current element of BITree to sum  sum += BITree[index];  // Move index to parent node in getSum View  index -= index & (-index);  }  return sum;  }  // Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given  // index in BITree. The given value 'val' is added to  // BITree[i] and all of its ancestors in tree.  static void updateBIT(int[] BITree int n int index  int val)  {  // index in BITree[] is 1 more than  // the index in []arr  index = index + 1;  // Traverse all ancestors and add 'val'  while (index <= n) {  // Add 'val' to current node of BI Tree  BITree[index] += val;  // Update index to that of  // parent in update View  index += index & (-index);  }  }  // Returns the sum of array from [0 x]  static int sum(int x int[] BITTree1 int[] BITTree2)  {  return (getSum(BITTree1 x) * x)  - getSum(BITTree2 x);  }  static void updateRange(int[] BITTree1 int[] BITTree2  int n int val int l int r)  {  // Update Both the Binary Index Trees  // As discussed in the article  // Update BIT1  updateBIT(BITTree1 n l val);  updateBIT(BITTree1 n r + 1 -val);  // Update BIT2  updateBIT(BITTree2 n l val * (l - 1));  updateBIT(BITTree2 n r + 1 -val * r);  }  static int rangeSum(int l int r int[] BITTree1  int[] BITTree2)  {  // Find sum from [0r] then subtract sum  // from [0l-1] in order to find sum from  // [lr]  return sum(r BITTree1 BITTree2)  - sum(l - 1 BITTree1 BITTree2);  }  static int[] constructBITree(int n)  {  // Create and initialize BITree[] as 0  int[] BITree = new int[n + 1];  for (int i = 1; i <= n; i++)  BITree[i] = 0;  return BITree;  }  // Driver Code  public static void Main(String[] args)  {  int n = 5;  // Contwo BIT  int[] BITTree1;  int[] BITTree2;  // BIT1 to get element at any index  // in the array  BITTree1 = constructBITree(n);  // BIT 2 maintains the extra term  // which needs to be subtracted  BITTree2 = constructBITree(n);  // Add 5 to all the elements from [04]  int l = 0 r = 4 val = 5;  updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r);  // Add 10 to all the elements from [24]  l = 2;  r = 4;  val = 10;  updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r);  // Find sum of all the elements from  // [14]  l = 1;  r = 4;  Console.Write('Sum of elements from [' + l + '' + r  + '] is ');  Console.Write(rangeSum(l r BITTree1 BITTree2)  + 'n');  } } // This code is contributed by 29AjayKumar

JavaScript

<script> // JavaScript program to demonstrate Range Update // and Range Queries using BIT // Returns sum of arr[0..index]. This function assumes // that the array is preprocessed and partial sums of // array elements are stored in BITree[] function getSum(BITreeindex) {  let sum = 0; // Initialize result    // index in BITree[] is 1 more than the index in arr[]  index = index + 1;    // Traverse ancestors of BITree[index]  while (index > 0)  {  // Add current element of BITree to sum  sum += BITree[index];    // Move index to parent node in getSum View  index -= index & (-index);  }  return sum; } // Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given // index in BITree. The given value 'val' is added to // BITree[i] and all of its ancestors in tree. function updateBIT(BITreenindexval) {  // index in BITree[] is 1 more than the index in arr[]  index = index + 1;    // Traverse all ancestors and add 'val'  while (index <= n)  {  // Add 'val' to current node of BI Tree  BITree[index] += val;    // Update index to that of parent in update View  index += index & (-index);  } } // Returns the sum of array from [0 x] function sum(xBITTree1BITTree2) {  return (getSum(BITTree1 x) * x) - getSum(BITTree2 x); } function updateRange(BITTree1BITTree2nvallr) {  // Update Both the Binary Index Trees  // As discussed in the article    // Update BIT1  updateBIT(BITTree1 n l val);  updateBIT(BITTree1 n r + 1 -val);    // Update BIT2  updateBIT(BITTree2 n l val * (l - 1));  updateBIT(BITTree2 n r + 1 -val * r); } function rangeSum(lrBITTree1BITTree2) {  // Find sum from [0r] then subtract sum  // from [0l-1] in order to find sum from  // [lr]  return sum(r BITTree1 BITTree2) -  sum(l - 1 BITTree1 BITTree2); } function constructBITree(n) {  // Create and initialize BITree[] as 0  let BITree = new Array(n + 1);  for (let i = 1; i <= n; i++)  BITree[i] = 0;    return BITree; } // Driver Program to test above function let n = 5;   // Contwo BIT let BITTree1; let BITTree2; // BIT1 to get element at any index // in the array BITTree1 = constructBITree(n); // BIT 2 maintains the extra term // which needs to be subtracted BITTree2 = constructBITree(n); // Add 5 to all the elements from [04] let l = 0  r = 4  val = 5; updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r); // Add 10 to all the elements from [24] l = 2 ; r = 4 ; val = 10; updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r); // Find sum of all the elements from // [14] l = 1 ; r = 4; document.write('Sum of elements from [' + l  + '' + r+ '] is '); document.write(rangeSum(l r BITTree1 BITTree2)+ '  
'); // This code is contributed by rag2127 </script>

산출

Sum of elements from [14] is 50

시간 복잡도 : O(q * log(N)) 여기서 q는 쿼리 수입니다.
보조 공간: 에)