예각, 둔각, 이등변형, 정삼각형…삼각형의 경우 다양한 종류가 있지만 '특별한' 것은 소수에 불과합니다. 이러한 특수 삼각형은 일관되고 예측 가능한 측면과 각도를 가지며 기하학이나 삼각법 문제를 빠르게 해결하는 데 사용할 수 있습니다. 그리고 30-60-90 삼각형('3690'으로 발음)은 실제로 매우 특별한 유형의 삼각형입니다.
이 가이드에서는 30-60-90 삼각형이 무엇인지, 왜 작동하는지, 그리고 이에 대한 지식을 언제(그리고 어떻게) 활용하는지 안내해 드립니다. 그럼 시작해 보겠습니다!
30-60-90 삼각형이란 무엇입니까?
30-60-90 삼각형은 항상 30도, 60도, 90도의 각도를 갖는 특별한 직각삼각형(직각삼각형은 90도 각도를 포함하는 모든 삼각형)입니다. 특수 삼각형이기 때문에 항상 서로 일관된 관계에 있는 변 길이 값도 갖습니다.
기본 30-60-90 삼각형 비율은 다음과 같습니다.
30° 각도 반대쪽: $x$
60° 각도 반대쪽: $x * √3$
90° 각도 반대쪽: x$
예를 들어, 30-60-90도 삼각형의 변 길이는 다음과 같습니다.
2, 2√3, 4
7, 7√3, 14
√3, 3, 2√3
반복자 자바 맵
(긴 변이 3인 이유는 무엇인가요? 이 삼각형에서 가장 짧은 변($x$)은 $√3$이므로 긴 변의 경우 $x√3 = √3 * √3 = √9 = 3$이 됩니다. 그리고 빗변은 가장 짧은 다리의 2배, 즉 √3$)
등등.
30° 각도 반대쪽이 항상 가장 작습니다. , 30도가 가장 작은 각도이기 때문입니다. 60° 각도 반대쪽이 중간 길이가 됩니다. , 60도가 이 삼각형의 중간 크기 각도이기 때문입니다. 그리고 마지막으로 90° 각도 반대쪽이 항상 가장 큰 변(빗변)이 됩니다. 90도가 가장 큰 각도이기 때문입니다.
다른 유형의 직각 삼각형과 유사해 보일 수 있지만 30-60-90 삼각형이 특별한 이유는 다른 모든 측정값을 찾는 데 세 가지 정보만 필요하기 때문입니다. 두 각도 측정값과 한 변의 길이(어느 변이든 상관 없음)의 값을 아는 한 삼각형에 대해 알아야 할 모든 것을 알 수 있습니다.
예를 들어, 30-60-90 삼각형 공식을 사용하여 아래 삼각형의 나머지 정보 공백을 모두 채울 수 있습니다.
실시예 1
우리는 이것이 빗변이 다리 중 하나의 길이의 두 배인 직각삼각형임을 알 수 있습니다. 이는 이것이 30-60-90 삼각형이어야 하고 주어진 작은 변이 30° 반대편에 있음을 의미합니다.
따라서 더 긴 다리는 60° 각도 반대쪽에 있어야 하며 크기는 * √3$ 또는 √3$입니다.
실시예 2
라키 사완트
우리는 이것이 주어진 측정값인 30°를 가진 직각삼각형임을 알 수 있기 때문에 이것이 30-60-90 삼각형임에 틀림없다는 것을 알 수 있습니다. 표시되지 않은 각도는 60°여야 합니다.
18은 60° 각도의 반대 측이므로 $x√3$와 같아야 합니다. 가장 짧은 다리의 크기는 /√3$여야 합니다.
(분모에 근호/제곱근이 포함될 수 없으므로 변 길이는 실제로 /{√3} * {√3}/{√3} = {18√3}/3 = 6√3$입니다.)
빗변은 (18/√3)$가 됩니다.
(분모에는 근호를 사용할 수 없으므로 최종 답은 실제로 다리 길이의 2배인 √3$ => √3$가 됩니다.)
실시예 3
이번에도 두 가지 각도 측정값(90° 및 60°)이 제공되므로 세 번째 측정값은 30°가 됩니다. 이것은 30-60-90 삼각형이고 빗변이 30이므로 가장 짧은 다리는 15이고 긴 다리는 15√3입니다.
마법의 8구를 참고할 필요가 없습니다. 이 규칙은 항상 유효합니다.
작동 이유: 30-60-90 삼각형 정리 증명
그런데 왜 이 특별한 삼각형이 그런 식으로 작동하는 걸까요? 이러한 규칙이 합법적인지 어떻게 알 수 있나요? 30-60-90 삼각형 정리가 어떻게 작동하는지 정확히 살펴보고 이러한 변의 길이가 항상 일정한 이유를 증명해 보겠습니다.
먼저 직각삼각형에 대해서는 잠시 잊어버리고 다음을 살펴보겠습니다. 정삼각형.
정삼각형은 모든 변과 모든 각도가 동일한 삼각형입니다. 삼각형의 내각의 합은 항상 180°이고 0/3 = 60$이기 때문에, 정삼각형은 항상 세 개의 60° 각도를 갖습니다.
이제 가장 높은 각도에서 삼각형의 밑면까지 높이를 낮추겠습니다.
우리는 지금 두 개의 직각과 두 개의 합동(동등한) 삼각형을 만들었습니다.
그것들이 등삼각형인지 어떻게 알 수 있나요? 우리는 높이를 낮췄기 때문에 등변 삼각형, 우리는 밑변을 정확히 반으로 나누었습니다. 새 삼각형도 한 변의 길이(높이)를 공유하며 각각의 빗변 길이는 동일합니다. 3개의 변 길이를 공통(SSS)으로 공유하기 때문에 이는 삼각형은 합동이다.
참고: 두 삼각형은 변-변-변 길이(SSS)의 원리에 기초할 뿐만 아니라 변-변-변 측정(SAS), 각도-변-변(AAS) 및 각도-변에 기초하여 합동입니다. 측면 각도(ASA). 원래? 그들은 가장 확실히 합동입니다.
이제 두 개의 새로운 삼각형의 합동성을 입증했으므로 위쪽 각도가 각각 30도와 같아야 함을 알 수 있습니다. 왜냐하면 각 삼각형은 이미 90°와 60°의 각도를 갖고 있고 합이 180°가 되어야 하기 때문입니다. 이는 다음을 의미합니다. 우리는 두 개의 30-60-90 삼각형을 만들었습니다.
그리고 우리는 정삼각형의 밑변을 반으로 자른다는 것을 알고 있기 때문에 30-60-90 삼각형 각각의 30° 각(가장 짧은 변)의 반대쪽 변이 정확히 빗변 길이의 절반이라는 것을 알 수 있습니다. .
따라서 원래 변의 길이를 $x$라고 하고 이등분한 길이를 $x/2$라고 부르겠습니다.
이제 우리에게 남은 일은 두 삼각형이 공유하는 중간 변의 길이를 찾는 것입니다. 이를 위해 간단히 피타고라스의 정리를 사용할 수 있습니다.
$a^2 + b^2 = c^2$
$(x/2)^2 + b^2 = x^2$
$b^2 = x^2 - ({x^2}/4)$
$b^2 = {4x^2}/4 - {x^2}/4$
자바는 현재 시간을 얻습니다
$b^2 = {3x^2}/4$
$b = {√3x}/2$
그래서 우리는 $x/2, {x√3}/2, x$를 남깁니다.
이제 삶을 더 쉽게 만들고 모든 분수를 피하기 위해 각 측정값에 2를 곱해 보겠습니다. 그렇게 하면 다음과 같은 결과가 남습니다.
$x$, $x√3$, x$
그러므로 우리는 30-60-90 삼각형이 언제나 $x$, $x√3$ 및 x$(또는 $x/2$, ${√3x}/2$ 및 $x$)의 일관된 변 길이를 가집니다.
다행히도 우리는 이 모든 것 없이도 30-60-90 삼각형 규칙이 참임을 증명할 수 있습니다.
30-60-90 삼각형 규칙을 사용해야 하는 경우
30-60-90 삼각형 규칙을 알면 다양한 수학 문제, 즉 다양한 기하학 및 삼각법 문제에서 시간과 에너지를 절약할 수 있습니다.
기하학
30-60-90 삼각형을 제대로 이해하면 이러한 비율 규칙을 모르면 풀 수 없거나 최소한 '먼 길'을 해결하는 데 상당한 시간과 노력이 필요한 기하학 문제를 해결할 수 있습니다.
특별한 삼각형 비율을 사용하면 피타고라스 정리를 사용할 필요 없이 누락된 삼각형 높이 또는 다리 길이를 알아낼 수 있고, 누락된 높이 또는 밑변 길이 정보를 사용하여 삼각형의 면적을 찾고, 둘레를 빠르게 계산할 수 있습니다.
삽입 정렬 자바
질문에 답하기 위해 속도가 필요할 때마다 30-60-90 규칙과 같은 지름길을 기억하는 것이 도움이 될 것입니다.
삼각법
30-60-90 삼각형 비율을 기억하고 이해하면 계산기를 사용하거나 답을 소수점 형식으로 근사화할 필요 없이 많은 삼각법 문제를 해결할 수 있습니다.
30-60-90 삼각형은 각 각도에 대해 매우 간단한 사인, 코사인 및 탄젠트를 갖습니다(이러한 측정값은 항상 일관됩니다).
30°의 사인은 항상 /2$입니다.
60°의 코사인은 항상 /2$입니다.
다른 사인, 코사인, 탄젠트는 상당히 간단하지만, 이 두 가지는 가장 기억하기 쉽고 테스트에 나타날 가능성이 높습니다. 따라서 이러한 규칙을 알면 삼각법 측정값을 최대한 빨리 찾을 수 있습니다.
30-60-90 규칙을 기억하기 위한 팁
이러한 30-60-90 비율 규칙이 유용하다는 것을 알고 있지만 정보를 머리 속에 어떻게 유지합니까? 30-60-90 삼각형 규칙을 기억하는 것은 1:√3:2의 비율을 기억하는 문제이며, 가장 짧은 변의 길이는 항상 가장 짧은 각도(30°)의 반대쪽에 있고 가장 긴 변의 길이는 항상 가장 짧은 각도(30°)의 반대쪽에 있다는 것을 아는 것입니다. 가장 큰 각도(90°).
'라는 생각으로 비율을 외우는 사람들도 있습니다. $i x$, $o 2 i x$, $i x o √ o3$, '1, 2, 3'의 연속은 일반적으로 기억하기 쉽기 때문입니다. 이 기술을 사용할 때 주의할 점은 가장 긴 변이 실제로 x$라는 점을 기억하는 것입니다. ~ 아니다 $x$ 곱하기 $√3$.
비율을 기억하는 또 다른 방법은 다음과 같습니다. 1:루트 3:2 비율의 니모닉 말장난을 올바른 순서대로 사용하세요. 예를 들어, 'Jackie Mitchell은 Lou Gehrig을 삼진으로 삼았고 'Ruthy도 이겼습니다.'': 1, 루트 3, 2. (그리고 이는 진정한 야구 역사의 사실입니다!)
마음에 들지 않으면 자신만의 연상 장치를 사용해 보십시오. 노래에 맞춰 비율을 부르거나 '1, 3근, 2' 문구를 찾거나 비율 시를 생각해 보세요. 30-60-90 삼각형은 정삼각형의 절반이라는 점만 기억하고 기억하기 싫다면 거기에서 치수를 계산해 보세요.
그러나 이러한 30-60-90 규칙을 기억하고 향후 기하학 및 삼각법 질문에 대비하여 해당 비율을 유지하는 것이 합리적입니다.
암기는 당신의 친구이지만, 당신은 그것을 실현할 수 있습니다.
예 30-60-90 질문
이제 30-60-90 삼각형의 방법과 이유를 살펴보았으므로 몇 가지 연습 문제를 풀어보겠습니다.
기하학
건설 작업자가 지면에서 30도 각도로 건물 측면에 기대어 40피트 높이의 사다리를 기울입니다. 지면은 수평이고 건물의 측면은 지면과 수직입니다. 사다리는 건물에서 가장 가까운 발까지 얼마나 멀리 도달합니까?
30-60-90의 특수 삼각형 규칙을 알지 못한 채 삼각형의 한 변만 측정할 수 있으므로 이 문제에 대한 해결책을 찾기 위해 삼각법과 계산기를 사용해야 합니다. 하지만 우리는 이것이 특별한 삼각형, 우리는 단 몇 초 안에 답을 찾을 수 있습니다.
건물과 지면이 서로 수직이라면 건물과 지면이 직각(90°)을 이룬다는 의미입니다. 사다리가 지면과 30° 각도로 만나는 것도 당연한 일입니다. 그러므로 남은 각도는 60°여야 하며 이는 30-60-90 삼각형이 된다는 것을 알 수 있습니다.
이제 우리는 이 30-60-90의 빗변(가장 긴 변)이 40피트라는 것을 알고 있습니다. 이는 가장 짧은 변이 그 길이의 절반이 된다는 것을 의미합니다. (가장 긴 변은 항상 가장 짧은 변의 두 배(x$)라는 점을 기억하십시오.) 가장 짧은 변은 30° 각도의 반대편이고 그 각도는 지면에서 사다리를 측정한 각도이므로 이는 다음을 의미합니다. 사다리 꼭대기가 지상 20피트 높이의 건물에 닿습니다.
우리의 최종 답은 20피트입니다.
삼각법
직각삼각형에서 sin Θ = /2$이고 가장 짧은 변의 길이가 8이라면, 빗변이 아닌 빠진 변의 길이는 얼마입니까?
30-60-90 규칙을 알고 있으므로 피타고라스 정리나 계산기 없이도 이 문제를 풀 수 있습니다.
우리는 이것이 직각삼각형이라고 들었고, 사인 30° = /2$라는 특별한 직각삼각형 규칙을 통해 알 수 있습니다. 따라서 누락된 각도는 60도여야 하며 이는 30-60-90 삼각형이 됩니다.
그리고 이것은 30-60-90 삼각형이고 가장 짧은 변이 8이라고 들었기 때문에 빗변은 16이어야 하고 빠진 변은 * √3$ 또는 √3$여야 합니다.
PD 병합
최종 답은 8√3입니다.
테이크아웃
기억하다 30-60-90 삼각형 규칙은 다양한 수학 문제를 빠르게 푸는 데 도움이 될 것입니다 . 하지만 이러한 규칙을 아는 것이 몸에 꼭 지니고 다닐 수 있는 편리한 도구이기는 하지만, 규칙 없이도 대부분의 문제를 해결할 수 있다는 점을 명심하세요.
$x$, $x√3$, x$ 및 30-60-90의 규칙을 자신에게 적합한 방식으로 추적하고 가능하면 똑바로 유지하려고 노력하십시오. 그러나 마음이 불안하면 당황하지 마십시오. 크런치 시간이 되면 공백이 생깁니다. 어느 쪽이든, 당신은 이것을 얻었습니다.
그리고 더 많은 연습이 필요하다면 계속해서 이것을 확인해 보세요 30-60-90 삼각형 퀴즈 . 즐거운 시험을 치르세요!