고유값과 고유벡터는 다음과 관련된 스칼라 및 벡터량입니다. 행렬 선형 변환에 사용됩니다. 변환을 적용해도 변하지 않는 벡터를 고유벡터라고 하며, 고유벡터에 붙은 스칼라 값을 고유값 . 고유벡터는 일련의 선형 방정식과 연관된 벡터입니다. 행렬의 경우 고유벡터를 특성 벡터라고도 하며 정사각 행렬의 고유벡터를 찾을 수 있습니다. 고유벡터는 행렬과 미분방정식의 다양한 문제를 해결하는 데 매우 유용합니다.

이 기사에서는 고유값, 행렬의 고유벡터 및 기타 예제에 대해 알아봅니다.

내용의 테이블

• 고유값이란 무엇입니까?
• 고유벡터란 무엇입니까?
• 고유벡터 방정식
• 고유값과 고유벡터란 무엇입니까?
• 고유벡터를 찾는 방법?
• 고유벡터의 유형
• 오른쪽 고유벡터
• 왼쪽 고유벡터
• 정사각 행렬의 고유벡터
• 2 × 2 행렬의 고유벡터
• 3 × 3 행렬의 고유벡터
• 고유공간
• 고유값의 적용
• 고유값과 고유벡터를 사용하여 행렬 대각선화하기
• 고유벡터에 대한 해결된 예
• 고유벡터에 대한 FAQ

고유값이란 무엇입니까?

고유값은 선형 변환의 고유벡터와 연관된 스칼라 값입니다. 아이겐(Eigen)이라는 단어는 '특징'을 의미하는 독일어에서 유래되었습니다. 따라서 이는 고유 벡터가 해당 방향으로 늘어나는 요인을 나타내는 특성 값입니다. 고유값이 음수인 경우를 제외하고는 벡터 방향의 변화를 포함하지 않습니다. 고유값이 음수이면 방향이 반대가 됩니다. 고유값 방정식은 다음과 같이 주어진다.

꺼짐 = λv

char java의 문자열

어디,

• A는 행렬이고,
• v는 연관된 고유벡터이고,
• λ는 스칼라 고유값입니다.

고유벡터란 무엇입니까?

정사각 행렬에 대한 고유벡터는 정사각 행렬에 곱할 때 스케일러에 벡터의 배수를 제공하는 0이 아닌 벡터 값으로 정의됩니다. 즉, 조건을 지정하는 경우 행렬 A에 대한 고유벡터를 v로 정의합니다. 꺼짐 = λv

위의 경우 스케일러 배수 λ를 정사각 행렬의 고유값이라고 합니다. 행렬의 고유벡터를 찾기 전에 항상 정사각 행렬의 고유값을 먼저 찾아야 합니다.

임의의 정사각 행렬 A에 대해 n × n 차 고유벡터는 n × 1 차 열 행렬입니다. 행렬 A의 고유 벡터를 Av = λv로 찾으면 v를 행렬 A의 오른쪽 고유 벡터라고 합니다. 행렬 곱셈은 본질적으로 교환적이지 않기 때문에 항상 오른쪽에 곱해집니다. 일반적으로 고유벡터를 찾으면 그것은 항상 올바른 고유벡터입니다.

다음 관계식을 사용하여 정사각 행렬 A의 왼쪽 고유 벡터를 찾을 수도 있습니다. vA = vl

여기서 v는 왼쪽 고유벡터이고 항상 왼쪽에 곱해집니다. 행렬 A가 n × n 차수인 경우 v는 1 × n 차수 열 행렬입니다.

고유벡터 방정식

고유벡터 방정식은 모든 정사각 행렬의 고유벡터를 찾는 데 사용되는 방정식입니다. 고유벡터 방정식은 다음과 같습니다.

꺼짐 = λv

어디,

• ㅏ 는 주어진 정사각 행렬이고,
• ~에 는 행렬 A의 고유벡터이고,
• 엘 스케일러 배수입니다.

고유값과 고유벡터란 무엇입니까?

A가 정사각 행렬 n × n 차수이면 아래에 설명된 방법에 따라 정사각 행렬의 고유 벡터를 쉽게 찾을 수 있습니다.

우리는 고유벡터가 방정식 Av = λv를 사용하여 주어진다는 것을 알고 있으며, A의 차수와 동일한 차수의 단위 행렬, 즉 n × n에 대해 다음 방정식을 사용합니다.

(A-λI)v = 0

위의 방정식을 풀면 λ의 다양한 값을 λ로 얻을 수 있습니다.₁, 내가₂, ..., 내가_N이러한 값을 고유값이라고 하며 각 고유값과 관련된 개별 고유벡터를 얻습니다.

위 방정식을 단순화하면 n × 1 차 열 행렬인 v를 얻게 되며 v는 다음과 같이 작성됩니다.

v = egin{bmatrix} v_{1} v_{2} v_{3} . . v_{n} end{bmatrix}

고유벡터를 찾는 방법?

다음 정사각 행렬의 고유 벡터는 아래 단계를 사용하여 쉽게 계산할 수 있습니다.

1 단계: 방정식 det |(A – λI| =0을 사용하여 행렬 A의 고유값을 찾습니다. 여기서 I는 행렬 A와 비슷한 차수의 단위 행렬입니다.

2 단계: 2단계에서 얻은 값은 다음과 같이 명명됩니다.₁, 내가₂, 내가_삼….

3단계: 고유값 λ와 연관된 고유벡터(X)를 찾습니다.₁방정식을 사용하여 (A – λ₁나) X = 0

4단계: 3단계를 반복하여 다른 나머지 고유값 λ와 연관된 고유벡터를 찾습니다.₂, 내가_삼….

다음 단계를 따르면 주어진 정사각 행렬과 관련된 고유 벡터가 제공됩니다.

고유벡터의 유형

정사각 행렬에 대해 계산된 고유벡터는 다음과 같은 두 가지 유형이 있습니다.

• 오른쪽 고유벡터
• 왼쪽 고유벡터

오른쪽 고유벡터

주어진 정방행렬에 우변부터 곱해진 고유벡터를 우고유벡터라고 합니다. 다음 방정식을 사용하여 계산됩니다.

의 _{아르 자형} = λV _{아르 자형}

어디,

• ㅏ n×n 차의 정사각 행렬이 주어지며,
• 엘 는 고유값 중 하나이고,
• 안에 _{아르 자형} 열 벡터 행렬입니다.

V의 가치_{아르 자형}이다,

old{V_{R} = egin{bmatrix} v_{1} v_{2} v_{3} . . v_{n} end{bmatrix}}

왼쪽 고유벡터

주어진 정방행렬에 왼쪽부터 곱해진 고유벡터를 왼쪽 고유벡터라고 합니다. 다음 방정식을 사용하여 계산됩니다.

안에 _엘 A = V _엘 엘

어디,

• ㅏ n×n 차의 정사각 행렬이 주어지며,
• 엘 는 고유값 중 하나이고,
• 안에 _엘 행 벡터 행렬입니다.

V의 가치_엘이다,

안에 _엘 = [v ₁ , 안에 ₂ , 안에 _삼 ,…, 안에 _N ]

정사각 행렬의 고유벡터

n × n 차 정사각 행렬의 고유벡터를 쉽게 찾을 수 있습니다. 이제 다음 정사각형 행렬을 찾아보겠습니다.

• 2 × 2 행렬의 고유벡터
• 3 × 3 행렬의 고유벡터.

2 × 2 행렬의 고유벡터

2×2 행렬의 고유벡터는 위에서 언급한 단계를 사용하여 계산할 수 있습니다. 같은 예는 다음과 같습니다.

예: 행렬 A =에 대한 고유값과 고유벡터 찾기 egin{bmatrix} 1 & 2 5& 4 end{bmatrix}

해결책:

고유값을 λ로 표현하고 고유벡터를 v =로 표현하면egin{bmatrix} a end{bmatrix}

그런 다음 고유벡터는 다음 방정식을 사용하여 계산됩니다.

|A- λI| = 0

egin{bmatrix}1 & 2 5& 4end{bmatrix} -λegin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix} = egin{bmatrix}0 & 0 0& 0end{bmatrix}

egin{bmatrix} 1 – λ& 2 5& 4 – λ end{bmatrix} = 0

(1- )(4- ) – 2.5 = 0

⇒ 4 – λ – 4λ + λ²– 10 = 0

⇒ 나는²-5l -6 = 0

⇒ 나는²-6λ + λ – 6 = 0

⇒ λ(λ-6) + 1(λ-6) = 0

⇒ (λ-6)(λ+1) = 0

λ = 6 및 λ = -1

따라서 고유값은 6과 -1입니다. 그러면 각각의 고유벡터는 다음과 같습니다.

λ = 6인 경우

(A-λI)v = 0

⇒egin{bmatrix}1 – 6& 2 5& 4 – 6end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}-5& 2 5& -2end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒ -5a + 2b = 0

⇒ 5a – 2b = 0

위의 방정식을 단순화하면,

5a=2b

필요한 고유벡터는 다음과 같습니다.

egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}25end{bmatrix}

λ = -1의 경우

(A-λI)v = 0

⇒egin{bmatrix}1 – (-1)& 2 5& 4 – (-1)end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}2& 2 5& 5end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒ 2a + 2b = 0

⇒ 5a + 5b = 0

스리데비

위의 방정식을 단순화하면,

a = -b

필요한 고유벡터는 다음과 같습니다.

egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix} 1-1end{bmatrix}

그러면 주어진 2 × 2 행렬의 고유벡터는 다음과 같습니다.egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}25end{bmatrix}, egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}1-1end{bmatrix}

이들은 두 가지 가능한 고유 벡터이지만 이러한 고유 벡터의 해당 배수 중 상당수는 다른 가능한 고유 벡터로 간주될 수도 있습니다.

3 × 3 행렬의 고유벡터

3×3 행렬의 고유벡터는 위에서 언급한 단계를 사용하여 계산할 수 있습니다. 같은 예는 다음과 같습니다.

예: 행렬 A =에 대한 고유값과 고유벡터 찾기 egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

해결책:

고유값을 λ로 표현하고 고유벡터를 v =로 표현하면egin{bmatrix} ac end{bmatrix}

그런 다음 고유벡터는 다음 방정식을 사용하여 계산됩니다.

|A- λI| = 0

egin{bmatrix}2 & 2 & 2 2 & 2 & 2 2 & 2 & 2end{bmatrix} -λegin{bmatrix}1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 1end{bmatrix} = egin{bmatrix}0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0end{bmatrix}

egin{bmatrix} 2 – λ & 2 & 2 2 & 2 – λ & 2 2 & 2 & 2- λend{bmatrix} = 0

위의 행렬식을 단순화하면 다음과 같습니다.

⇒ (2-l)(l²) + 2분²+ 2분²= 0

베드페이지 같은 사이트

⇒ (-l^삼) + 6분²= 0

⇒ 나는²(6 – λ) = 0

⇒ λ = 0, λ = 6

λ = 0인 경우

(A – λI) v = 0

⇒egin{bmatrix}2 – 0& 2& 2 2& 2 – 0&22 & 2 & 2-0end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}2& 2& 2 2& 2 &22 & 2 & 2end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

위의 방정식을 단순화하면 다음과 같습니다.

2a + 2b + 2c = 0

⇒ 2(a+b+c) = 0

⇒ a+b+c = 0

b = k라고 하자₁그리고 c = k₂

에이 + 케이₁+ 케이₂= 0

a = -(케이₁+ 케이₂)

따라서 고유벡터는 다음과 같습니다.

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-(k_{1}+k_{2}) k_{1}k_{2}end{bmatrix}

k를 복용₁= 1과 k₂= 0

고유벡터는,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-1 1end{bmatrix}

k를 복용₁= 0 및 k₂= 1

고유벡터는,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-1 01end{bmatrix}

λ = 6인 경우

(A – λI) v = 0

⇒egin{bmatrix}2 – 6& 2& 2 2& 2 -6&22 & 2 & 2-6end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}-4& 2& 2 2& -4 &22 & 2 & -4end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

위의 방정식을 단순화하면,

-4a +2b +2c = 0

⇒ 2 (-2a + b + c) = 0

⇒ -2a = – (b + c)

⇒ 2a = b + c

b = k라고 하자₁그리고 c = k₂, 그리고 k를 취하면₁=k₂= 1,

문자열을 int로

우리는 얻습니다,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}1 11end{bmatrix}

따라서 고유벡터는 다음과 같습니다.

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}1 11end{bmatrix}

고유공간

우리는 행렬의 고유공간을 행렬의 모든 고유벡터의 집합으로 정의합니다. 고유공간의 모든 벡터는 서로 선형독립입니다.

행렬의 고유공간을 찾으려면 다음 단계를 따라야 합니다.

1 단계: 주어진 정사각 행렬의 고유값을 모두 구합니다.

2 단계: 각 고유값에 대해 해당 고유벡터를 찾습니다.

3단계: 모든 고유벡터(예: A)의 집합을 가져옵니다. 이렇게 형성된 결과 집합을 다음 벡터의 고유공간이라고 합니다.

주어진 3 × 3 행렬 A의 위 예에서 이렇게 형성된 고유공간은 다음과 같습니다.egin{bmatrix}0 0end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 0-1end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 -1end{bmatrix} }

고유값의 적용

고유값의 일반적인 응용 분야는 다음과 같습니다.

선형대수학

대각화: 고유값은 행렬을 대각화하여 계산을 단순화하고 선형 시스템을 보다 효율적으로 해결하는 데 사용됩니다.

행렬 지수화: 고유값은 행렬의 지수화를 계산하는 데 중요한 역할을 합니다.

양자 역학

슈뢰딩거 방정식: 해밀턴 연산자의 고유값은 양자 시스템의 에너지 수준에 해당하며 가능한 상태에 대한 정보를 제공합니다.

진동 및 구조 분석:

기계적 진동: 고유값은 진동 시스템의 고유 주파수를 나타냅니다. 구조 분석에서는 구조의 안정성과 거동을 이해하는 데 도움이 됩니다.

통계

공분산 행렬: 다변량 통계에서 고유값은 공분산 행렬 분석에 사용되어 데이터의 확산 및 방향에 대한 정보를 제공합니다.

컴퓨터 그래픽

주성분 분석(PCA): 고유값은 PCA에서 데이터 세트의 주성분을 찾아 필수 정보를 유지하면서 차원을 줄이는 데 사용됩니다.

제어 시스템

시스템 안정성: 시스템 매트릭스의 고유값은 제어 시스템의 안정성을 결정하는 데 중요합니다. 안정성 분석은 시스템 응답이 제한되어 있는지 확인하는 데 도움이 됩니다.

고유값과 고유벡터를 사용하여 행렬 대각선화하기

고유값과 고유벡터는 대각행렬을 찾는 데 사용됩니다. ㅏ 대각행렬 는 다음과 같이 쓸 수 있는 행렬입니다.

A = XDX ^-1

어디,

• 디 단위 행렬의 1을 고유값으로 대체하여 구성된 행렬입니다.
• 엑스 는 고유벡터로 구성된 행렬입니다.

다음 예를 통해 대각행렬의 개념을 이해할 수 있습니다.

예: 행렬 A = 대각선화 egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

해결책:

우리는 이미 A의 고유값과 고유벡터를 풀었습니다. = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

A의 고유값은 λ = 0, λ = 0, λ = -8입니다.

A의 고유벡터는 다음과 같습니다.egin{bmatrix}0 0end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 0-1end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 -1end{bmatrix}

따라서,

디 =egin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -8end{bmatrix}

엑스 =egin{bmatrix}0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0end{bmatrix}

X의 역함수는 다음과 같이 쉽게 찾을 수 있습니다.

엑스^-1=egin{bmatrix}0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0end{bmatrix}

더 읽어보기,

• 행렬의 기본 연산
• 단위 행렬
• 역행렬

고유벡터에 대한 해결된 예

예제 1: 행렬 A = egin{bmatrix}1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1end{bmatrix}의 고유벡터 찾기

해결책:

행렬의 고유값은 다음을 사용하여 구합니다.

|A – λI| = 0

egin{bmatrix}1-λ & 1 & 0 & 1-λ & 1 & 0 & 1-λend{bmatrix} = 0

(1 – l)^삼= 0

따라서 고유값은 다음과 같습니다.

λ = 1, 1, 1

모든 고유값이 동일하므로 3개의 동일한 고유벡터가 있습니다. (A – λI)v = O를 사용하여 λ = 1에 대한 고유벡터를 찾을 것입니다.

egin{bmatrix}1-1 & 1 & 0 & 1-1 & 1 & 0 & 1-1end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

egin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

위의 방정식을 풀면,

• a = K
• 와이 = 0
• z = 0

그러면 고유벡터는 다음과 같습니다.

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix}= egin{bmatrix}k 0end{bmatrix} = kegin{bmatrix}1 0end{bmatrix}

예 2: 행렬 A =의 고유벡터 찾기 egin{bmatrix}5 & 0 & 5 end{bmatrix}

해결책:

캣 팀프 높이

행렬의 고유값은 다음을 사용하여 구합니다.

|A – λI| = 0

egin{bmatrix}5-λ & 0 & 5-λ end{bmatrix} = 0

(5 – l)²= 0

따라서 고유값은 다음과 같습니다.

λ = 5.5

모든 고유값이 동일하므로 3개의 동일한 고유벡터가 있습니다. 우리는 다음을 사용하여 λ = 1에 대한 고유벡터를 찾을 것입니다.

(A – λI)v = O

egin{bmatrix}5-5 & 0 0 & 5-5end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

위의 내용을 간단히 말하면,

• a = 1, b = 0
• a = 0, b = 1

그러면 고유벡터는 다음과 같습니다.

egin{bmatrix}a bend{bmatrix}= egin{bmatrix}1 0end{bmatrix} , egin{bmatrix}0 1end{bmatrix}

고유벡터에 대한 FAQ

고유벡터란 무엇입니까?

우리는 모든 행렬의 고유 벡터를 행렬과 곱할 때 행렬의 스케일러 배수가 되는 벡터로 정의합니다.

고유벡터를 찾는 방법은 무엇입니까?

임의의 행렬 A의 고유벡터는 다음과 같이 표시됩니다. ~에 . 행렬의 고유벡터는 먼저 행렬의 고유값을 찾아 계산됩니다.

• 행렬의 고유값은 |A-λI| 공식을 사용하여 구합니다. = 0 여기서 λ는 고유값을 제공합니다.
• 고유값을 찾은 후 공식 Av = λv로 고유벡터를 찾았습니다. 여기서 v는 고유벡터를 제공합니다.

고유값과 고유벡터의 차이점은 무엇입니까?

임의의 정사각 행렬 A에 대해 고유값은 λ로 표시되며 |A – λI| 공식으로 계산됩니다. = 0. 고유값을 찾은 후 Av = λv로 고유벡터를 찾습니다.

대각화 가능 행렬이란 무엇입니까?

세 행렬의 곱으로 표현 가능한 모든 행렬을 XDX로 표현^-1여기서 대각화 가능 행렬 D를 대각 행렬이라고 합니다.

고유값과 고유벡터는 동일한가요?

아니요, 고유값과 고유벡터는 동일하지 않습니다. 고유값은 고유벡터를 찾는 데 사용되는 스케일러인 반면, 고유벡터는 행렬 벡터 변환을 찾는 데 사용되는 벡터입니다.

고유벡터가 0 벡터가 될 수 있나요?

고유값은 0이 될 수 있지만 고유벡터는 결코 0 벡터가 될 수 없습니다.

고유벡터 공식이란 무엇입니까?

모든 행렬의 고유벡터는 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.

꺼짐 = λv

어디,
엘 고유값은
~에 고유벡터는