이번 글에서는 푸리에 변환 분석, 즉 회로 분석에서의 푸리에 변환에 대해 공부하겠습니다. 푸리에 변환은 기본적으로 신호를 구성 주파수 성분으로 분해하는 수학적 연산입니다. 간단히 말해서 신호를 시간 영역에서 주파수 영역으로 변환합니다. 시간 영역은 신호를 시간의 함수로 나타내고, 주파수 영역은 신호를 주파수의 함수로 나타냅니다.

푸리에 변환

푸리에 변환은 회로가 다양한 주파수에서 어떻게 반응하는지 확인할 수 있으므로 다양한 종류의 회로 동작을 분석하는 놀랍고 강력한 도구입니다. 이는 다음과 같은 다양한 종류의 작업에 유용합니다.

• 임의의 입력 신호에 대한 회로의 응답 분석: 이는 오디오 신호나 비디오 신호와 같은 광범위한 입력 신호를 처리할 수 있는 회로를 설계하는 데 쉽게 사용할 수 있습니다.
• 회로의 공진 주파수 식별: 공진 주파수는 회로가 신호를 증폭시키는 주파수입니다. 이 정보는 필터나 발진기와 같이 특정 주파수에서 작동해야 하는 회로를 설계하는 데 사용될 수 있습니다.
• 신호에서 원치 않는 주파수 성분을 제거하기 위한 필터 설계: 필터는 주로 신호에서 잡음이나 간섭을 제거하거나 특정 신호에서 특정 주파수 성분을 추출하는 데 사용될 수 있습니다.
• 회로의 안정성 이해: 안정적인 회로는 단순히 진동하거나 발산하지 않는 회로입니다. 푸리에 변환은 회로의 주파수 응답을 관찰하여 회로의 안정성을 분석하는 데 사용할 수 있습니다.

푸리에 변환은 신호 처리, 이미지 처리, 양자역학 등 다양한 분야에서도 사용됩니다.

이 기사에서는 회로 분석의 푸리에 변환과 관련된 다음 주제를 논의합니다.

• 푸리에 변환의 유형
• 푸리에 변환의 속성
• 회로 분석에 푸리에 변환 적용

또한 개념을 올바른 방식으로 이해하는 데 도움이 되는 예시와 그림을 설명합니다.

진화의 이유 이해

푸리에 변환은 19세기 초 프랑스의 유명한 수학자 장바티스트 조세프 푸리에(Jean-Baptiste Joseph Fourier)에 의해 처음 개발되었습니다. 그는 편미분 방정식인 열전도 방정식을 푸는 데 깊은 관심을 보였습니다. 푸리에는 초기 온도 분포를 구성 사인파와 코사인파로 간단히 분해함으로써 방정식을 풀 수 있다는 것을 깨달았습니다.

푸리에 변환은 이후 회로 분석을 포함한 물리학 및 공학의 광범위한 문제에 적용되었습니다. 회로 분석에서는 푸리에 변환을 사용하여 임의의 입력 신호에 대한 회로의 응답을 분석할 수 있습니다.

푸리에 변환의 효과

푸리에 변환은 회로 분석에 많은 중요한 영향을 미칩니다. 첫 번째로 임의의 입력 신호에 대한 회로의 응답을 분석할 수 있습니다. 둘째, 회로의 공진 주파수를 식별할 수 있습니다. 그 다음에는 신호에서 원치 않는 주파수 성분을 제거하는 데 사용되는 필터를 설계할 수 있습니다.

푸리에 변환 공식

신호 x(t)의 푸리에 변환은 X(f)로 표시되며 다음과 같이 정의됩니다.

X(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) e^{-j2pi ft} dt>

여기서 f는 Hertz 매개변수의 주파수입니다.

푸리에 변환 공식에 사용되는 표기법은 다음과 같습니다.

• x(t)는 시간 영역 신호입니다.
• X(f)는 주파수 영역 신호입니다.
• j는 허수 단위입니다.
• e −j2πft는 복소 지수 함수입니다.

푸리에 변환의 유형

푸리에 변환에는 주로 두 가지 유형이 있습니다.

• 연속 푸리에 변환 (CFT)
• 이산 푸리에 변환 (DFT) .

연속 푸리에 변환(CFT)

CFT는 기본적으로 언제든지 어떤 값도 취할 수 있는 신호인 연속시간 신호에 대해 정의됩니다.

신호 x(t)의 연속 푸리에 변환(CFT)은 다음과 같이 정의될 수 있습니다.

X(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) e^{-j2pi ft} dt>

여기서 f는 주파수(Hz)입니다.

CFT 공식에 사용되는 표기법은 다음과 같습니다.

• x(t)는 시간 영역 신호입니다.
• X(f)는 주파수 영역 신호입니다.
• j는 허수 단위입니다.
• e −j2πft는 복소 지수 함수입니다.

CFT의 파생

CFT는 주기 신호의 푸리에 계열에서 쉽게 파생될 수 있습니다. 주기 T를 갖는 주기 신호 x(t)의 푸리에 급수는 다음과 같이 계산됩니다.

x(t) = sum_{n=-infty}^{infty} c_n e^{j2pi nfrac{t}{T}}>

여기 Cn 신호의 푸리에 계수입니다.

CFT는 주기 T가 무한대에 가까워짐에 따라 단순히 푸리에 급수의 극한을 취함으로써 얻을 수 있습니다. 이 한계에서 푸리에 계수는 주파수의 연속 함수가 되고 푸리에 급수는 CFT가 됩니다.

이산 푸리에 변환(DFT)

DFT는 특정 시간에 특정 값만 취할 수 있는 신호인 이산시간 신호에 대해 정의됩니다.

이산시간 신호 x[n]의 이산 푸리에 변환(DFT)은 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

X[k] = sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2pi kn/N}>

여기서 k는 주파수 인덱스이고 N은 특정 신호 신호의 길이입니다.

DFT 공식에 사용되는 표기법은 다음과 같습니다.

봄 시즌

• x[n]은 이산시간 신호입니다.
• X[k]는 주파수 영역 신호입니다.
• j는 허수 단위입니다.
• e −j2πkn/N
• 는 복소 지수 함수입니다.

DFT 유도

간단히 말해서 CFT는 기본적으로 다음과 같이 정의됩니다. 연속시간 신호 , DFT는 다음과 같이 정의됩니다. 이산시간 신호 . DFT는 이산시간 신호에서 작동하는 대부분의 전자 회로와 마찬가지로 회로 분석에서 주로 푸리에 변환 유형으로 사용됩니다.

이산시간 신호 x[n]의 DFT는 X[k]로 표시되고 다음과 같이 정의됩니다.

X[k] = sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2pi kn/N}>

여기서 k는 주파수 인덱스이고 N은 신호의 길이입니다.

DFT는 이산 주파수에서 CFT를 간단히 샘플링하여 CFT에서 파생될 수 있습니다.

X[k] = X(f = k/N)>

다이어그램을 사용한 푸리에 변환의 예

다음 예제 회로를 고려해 보겠습니다.

간단한 RC 회로

여기서 회로에 대한 입력은 구형파이고 출력은 필터링된 구형파입니다. 입력 구형파의 푸리에 변환은 고조파 주파수의 일련의 임펄스입니다. 출력 구형파의 푸리에 변환은 고조파 주파수에서 일련의 감쇠된 임펄스입니다.

다음은 입력 및 출력 신호의 푸리에 변환을 보여주는 다이어그램입니다.

푸리에 변환 입력 출력

속성

푸리에 변환에는 다음을 포함하는 여러 가지 중요한 속성이 있습니다.

• 실수 신호의 푸리에 변환은 공액 대칭입니다.
• 신호의 선형 조합의 푸리에 변환은 개별 신호의 푸리에 변환의 선형 조합입니다.
• 시간 이동 신호의 푸리에 변환은 주파수 이동 신호입니다.
• 주파수 편이된 신호의 푸리에 변환은 시간 편이된 신호입니다.

형질

신호의 푸리에 변환에는 다음과 같은 특징이 있습니다.

• 신호의 푸리에 변환 크기는 신호의 주파수 성분의 진폭을 나타냅니다.
• 신호의 푸리에 변환 위상은 신호의 주파수 성분의 위상을 나타냅니다.

응용

푸리에 변환은 다음을 포함하여 회로 분석에 수많은 응용 프로그램을 가지고 있습니다.

• 임의의 입력 신호에 대한 회로의 주어진 응답을 분석합니다.
• 회로의 공진 주파수를 식별합니다.
• 신호에서 원치 않는 주파수 성분을 제거하는 필터를 설계합니다.

장점과 단점

푸리에 변환의 장점과 단점 중 일부는 다음과 같습니다.

vlc로 유튜브 다운로드

장점:

• 푸리에 변환은 회로의 주파수 응답을 분석하는 가장 강력한 도구입니다.
• 신호에서 원치 않는 주파수 성분을 제거하기 위해 필터를 설계하는 데 사용할 수 있습니다.

단점:

• 푸리에 변환은 이해하고 사용하기가 훨씬 더 복잡할 수 있습니다.
• 푸리에 변환은 계산 비용이 더 많이 들 수 있습니다.

라플라스 변환과 푸리에 변환의 차이점

기본적으로 푸리에 변환은 라플라스 변환과 대부분 유사하지만 몇 가지 주요 차이점이 있습니다. 푸리에 변환은 연속시간 신호에 대해 정의되는 반면, 라플라스 변환은 연속시간 신호와 이산시간 신호 모두에 대해 정의됩니다. 또한 푸리에 변환은 과도 신호 분석에 적합하지 않은 반면 라플라스 변환은 유용합니다.

순방향 및 역방향 푸리에 변환

순방향 푸리에 변환은 신호를 시간 영역에서 주파수 영역으로 변환할 수 있습니다. 역 푸리에 변환은 신호를 주파수 영역에서 시간 영역으로 변환해야 합니다.

역 푸리에 변환은 다음과 같이 정의됩니다.

x(t) = int_{-infty}^{infty} X(f) e^{j2pi ft} df>

순방향 사인 변환 및 푸리에 코사인 변환

순방향 사인 변환과 순방향 코사인 변환은 기본적으로 푸리에 변환의 두 가지 변형입니다. 순방향 사인 변환은 다음과 같이 정의됩니다.

S(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) sin(2pi ft) dt>

순방향 코사인 변환은 다음과 같이 정의됩니다.

C(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) cos(2pi ft) dt>

순방향 사인 변환과 순방향 코사인 변환은 각각 짝수 대칭과 홀수 대칭을 갖는 신호를 분석하는 데 매우 유용합니다.

결론

전반적으로 푸리에 변환은 회로 분석에 가장 필수적인 도구입니다. 이는 회로가 다양한 주파수에 어떻게 반응하는지 이해할 수 있는 권한을 제공하며, 이는 전자 회로를 설계하고 분석하는 데 더욱 중요합니다. 푸리에 변환은 임의 입력 신호에 대한 회로의 응답 분석, 주어진 회로의 공진 주파수 식별, 신호에서 원치 않는 주파수 성분을 제거하기 위한 필터 설계, 신호의 안정성 이해 등을 포함하여 회로 분석에서 다양한 종류의 응용 프로그램을 사용합니다. 회로.

푸리에 변환은 신호 처리, 이미지 처리 및 양자 역학을 포함하는 다른 많은 분야에서도 사용됩니다. 다양한 응용 분야를 갖춘 매우 다재다능하고 강력한 도구입니다.

다음은 회로 분석에서 푸리에 변환의 중요성에 대한 몇 가지 추가 고려 사항입니다.

글꼴 크기 라텍스

• 푸리에 변환을 통해 선형 및 비선형 회로를 분석할 수 있습니다.
• 푸리에 변환은 시간 영역이나 주파수 영역에서 다양한 종류의 회로를 분석하는 데 사용할 수 있습니다.
• 푸리에 변환은 여러 입력과 출력이 있는 회로를 분석하는 데 사용할 수 있습니다.
• 푸리에 변환은 피드백 루프가 있는 회로를 분석하는 데 사용할 수 있습니다.

푸리에 변환은 광범위한 회로 문제를 분석하는 데 사용할 수 있는 강력한 도구입니다. 이는 모든 회로 엔지니어에게 필수적인 도구입니다.

자주 묻는 질문

1. 푸리에 변환과 라플라스 변환의 차이점은 무엇입니까?

Laplace는 CFT와 DFT 모두에 사용되지만 푸리에 변환에는 사용되지 않습니다.

2. 회로 분석에서 푸리에 변환이 중요한 이유는 무엇입니까?

푸리에 변환은 회로의 주파수 응답을 분석할 수 있기 때문에 회로 분석에서 더 중요합니다. 주파수 응답

3. 회로 분석에서 푸리에 변환의 응용 분야는 무엇입니까?

푸리에 변환은 다음과 같은 회로 분석의 다양한 작업에 사용될 수 있습니다.

임의의 입력 신호에 대한 회로의 응답을 분석합니다.

회로의 공진 주파수를 식별합니다.

신호에서 원치 않는 주파수 성분을 제거하는 필터를 설계합니다.

회로의 안정성을 이해합니다.