규칙 2

표현식의 LHS와 RHS가 교환되면 부등식은 반전됩니다. 이를 역속성이라고 합니다.

• a> b이면 b
• 만약 ㅏ
• a ≥ b이면 b ≤ a입니다.
• a ≤ b이면 b ≥ a

규칙 3

부등식의 양쪽에 동일한 상수 k를 더하거나 빼면 부등식의 양쪽이 같습니다.

• a> b이면 a + k> b + k
• a> b이면 a – k> b – k

마찬가지로 다른 불평등에도 적용됩니다.

• 만약
• 만약
• a ≤ b이면 a + k ≤ b + k
• a ≤ b이면 a – k ≤ b – k
• a ≥ b이면 a + k ≥ b + k
• a ≥ b이면 a – k ≥ b – k

부등식의 방향은 상수를 더하거나 빼도 변하지 않습니다.

규칙 4

k가 부등식의 양쪽 변에 곱하거나 나누어지는 양의 상수이면 부등식의 방향에는 변화가 없습니다.

• a> b이면 ak> bk
• 만약
• a ≤ b이면 ak ≤ bk입니다.
• a ≥ b이면 ak ≥ bk입니다.

k가 부등식의 양쪽에 곱하거나 나누어지는 음의 상수이면 부등식의 방향이 반전됩니다.

• a> b이면 ak
• a> b이면 ak
• a ≥ b이면 ak ≤ bk입니다.
• a ≤ b이면 ak ≥ bk입니다.

규칙 5

모든 숫자의 제곱은 항상 0보다 크거나 같습니다.

• ㅏ²≥ 0

규칙 6

부등식의 양쪽에 제곱근을 취하면 부등식의 방향이 바뀌지 않습니다.

• a> b이면 √a> √b입니다.
• 만약
• a ≥ b이면 √a ≥ √b
• a ≤ b이면 √a ≤ √b입니다.

불평등 그래프

불평등은 하나 또는 두 개의 변수를 사용하거나 불평등 시스템을 가지고 있으며 두 개의 변수만 포함하는 경우 모두 데카르트 평면에 그래프로 표시할 수 있습니다. 한 변수의 부등식은 실제 선에 표시되고 두 변수는 데카르트 평면에 표시됩니다.

부등식의 간격 표기법

부등식 작성 간격에 대한 중요한 사항:

• (보다 크거나 같은 경우) ≥ ) 또는 이하 ( ≤ ), 최종 값이 포함되므로 닫거나 대괄호 [ ]를 사용합니다.
• (보다 큰 경우 > ) 이하 ( < )의 경우 최종값이 제외되므로 여는 괄호()를 사용합니다.
• 양수 및 음수 무한대 모두 여는 괄호()가 사용됩니다.

다음 표는 다양한 부등식의 간격을 나타냅니다.

변수가 하나인 선형 부등식 그래프

다음 표에서 우리는 하나의 변수를 사용하여 다양한 선형 부등식을 실제 선에 그리는 방법을 이해할 수 있습니다.

불평등	간격	그래프
x> 1	(1, 무한)	변수가 하나인 선형 부등식
x <1	(-무한대, 1)
x ≥ 1	[1, 무한)
x ≤ 1	(-무한대, 1]

두 개의 변수를 사용한 선형 부등식 그래프

두 개의 변수가 있는 선형 부등식의 예를 들어 보겠습니다.

주어진 부등식에 대해 가능한 해는 (0, 0), (0,1), (0, 2), (0,3), (0,4), (0이므로 선형 부등식 20x + 10y ≤ 60을 고려하십시오. ,5), (0,6), (1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,0), (2,1 ), (2,2), (3,0) 및 이 점을 넘어서는 모든 점도 부등식의 해입니다.

주어진 솔루션으로부터 그래프를 그려보겠습니다.

그래프의 음영 영역은 주어진 부등식에 대한 가능한 솔루션을 나타냅니다.

또한 읽어보세요

• 두 변수의 선형 부등식에 대한 그래픽 솔루션

불평등의 유형

불평등에는 다음과 같이 분류할 수 있는 다양한 유형이 있습니다.

• 다항식 부등식: 다항식 부등식은 다항식의 형태로 표현될 수 있는 부등식입니다. 예- 2x + 3 ≤ 10.
• 절대 가치 불평등: 절대값 불평등은 절대값 부호 내의 불평등입니다. 예- |y + 3| ≤ 4.
• 합리적 불평등: 유리부등식은 변수와 분수가 있는 불평등입니다. 예 - (x + 4) / (x – 5) <5.

불평등을 해결하는 방법

불평등을 해결하기 위해 다음 단계를 사용할 수 있습니다.

• 1 단계: 방정식의 형태로 부등식을 쓰세요.
• 2 단계: 방정식을 풀고 부등식의 근을 구합니다.
• 3단계: 얻은 값을 수직선에 나타내십시오.
• 4단계: 제외된 값도 열린 원으로 수직선에 표시됩니다.
• 5단계: 수직선에서 간격을 찾아보세요.
• 6단계: 각 구간에서 임의의 값을 가져와 이 값을 부등식에 넣고 부등식을 만족하는지 확인합니다.
• 7단계: 부등식의 해는 부등식을 만족시키는 구간입니다.

다항식 부등식을 해결하는 방법

다항식 부등식에는 선형 부등식, 2차 부등식, 3차 부등식 등이 포함됩니다. 여기서는 1차 부등식과 2차 부등식을 푸는 방법을 배웁니다.

선형 부등식 풀기

선형 부등식은 선형 방정식처럼 풀 수 있지만 부등식 규칙을 따릅니다. 선형 부등식은 간단한 대수 연산을 사용하여 풀 수 있습니다.

1단계 또는 2단계 부등식

한 단계 불평등은 한 단계로 해결될 수 있는 불평등이다.

예: 풀기: 5x <10

해결책:

⇒ 5x <10 [양변을 5로 나누기]

⇒ x <2 또는 (-무한대, 2)

2단계 불평등은 두 단계로 해결될 수 있는 불평등입니다.

예: 풀기: 4x + 2 ≥ 10

해결책:

⇒ 4x + 2 ≥ 10

⇒ 4x ≥ 8 [양변에서 2 빼기]

⇒ 4x ≥ 8 [양변을 4로 나누기]

⇒ x ≥ 2 또는 [2, )

복합 불평등

복합 부등식은 and 또는 or로 구분된 여러 부등식을 갖는 부등식입니다. 복합 부등식을 풀려면 부등식을 별도로 풀고, 최종 해의 경우 부등식이 로 분리된 경우 얻은 해의 교집합을 수행하고, 부등식이 or로 분리된 경우 얻은 해의 합집합을 수행합니다.

예: 풀이: 4x + 6 <10 및 5x + 2 < 12

해결책:

먼저 4x + 6 <10을 풀어보세요.

⇒ 4x + 6 <10 [양변에서 6 빼기]

⇒ 4배 <4

⇒ x <1 또는 (-무한대, 1) —–(i)

이진 검색 트리]

두 번째 풀기 5x + 2 <12

⇒ 5x + 2 <12 [양쪽에서 2 빼기]

⇒ 5배 < 10

⇒ x <2 또는 (-무한대, 2) ——-(ii)

(i)와 (ii)에서 우리는 두 개의 해 x <1과 x < 2를 얻습니다.

불평등이 and로 구분되므로 최종 솔루션을 위해 교차점을 취합니다.

⇒ (-무한대, 1) ∩ (-무한대, 2)

⇒ (-무한대, 1)

주어진 복합 부등식에 대한 최종 해는 (-무한대, 1)입니다.

자세히 알아보기

• 복합 불평등
• 선형 부등식의 문제 해결
• 삼각형 부등식

이차 부등식 풀기

절대값 불평등을 해결하는 예를 들어보겠습니다.

예: 부등식 풀기: x ² – 7x + 6 ≥ 0

해결책:

불평등을 해결하는 단계는 다음과 같습니다. x²– 7x + 6 ≥ 0

1 단계: 방정식 형식으로 불평등을 작성합니다.

엑스²– 7x + 6 = 0

2 단계: 방정식을 푼다:

엑스²– 7x + 6 = 0

엑스²– 6x – x + 6 = 0

x(x – 6) – 1(x – 6) = 0

(x – 6) (x – 1) = 0

x = 6 및 x = 1

위 단계에서 x = 6 및 x = 1 값을 얻습니다.

3단계: 위의 값에서 간격은 (-무한대, 1], [1, 6], [6, 무한대)입니다.

부등식은 같음을 포함하는 ≥이므로 얻은 값에 대괄호를 사용합니다.

4단계: 위의 간격을 수직선으로 표현한 것입니다.

5단계: 각 간격 사이에 난수를 취하여 값을 만족하는지 확인합니다. 만족하는 경우 솔루션에 간격을 포함합니다.

구간 (- , 1]의 경우 임의의 값을 -1로 둡니다.

x = -1을 부등식 x에 대입²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ (-1)²– 7(-1) + 6 ≥ 0

⇒ 1 + 7 + 6 ≥ 0

⇒ 14 ≥ 0 (참)

간격 [1, 6]의 경우 임의의 값을 2로 둡니다.

부등식 x에 x = 0을 대입²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ 2²– 7(2) + 6 ≥ 0

⇒ 4 – 14 + 6 ≥ 0

⇒ -4 ≥ 0 (거짓)

간격 [6, )의 경우 임의의 값을 7로 둡니다.

x = 7을 부등식 x에 대입²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ 7²– 7(7) + 6 ≥ 0

⇒ 49 – 49 + 6 ≥ 0

⇒ 6 ≥ 0 (참)

6단계: 따라서 절대값 불평등 x에 대한 해는 다음과 같습니다.²– 7x + 6 ≥ 0은 수직선에 다음과 같이 표시할 수 있는 부등식을 만족하는 구간 (-, 1] ∪ [6, )입니다.

절대 가치 불평등을 해결하는 방법

절대값 불평등을 해결하는 예를 들어보겠습니다.

예: 부등식 풀기: |y + 1| ≤ 2

해결책:

불평등을 해결하는 단계는 다음과 같습니다. |y + 1| ≤ 2

1 단계: 방정식의 형태로 불평등을 작성합니다.

|y + 1| = 2

2 단계: 방정식을 푼다:

y + 1 = ∓ 2

y + 1 = 2 및 y + 1 = – 2

y = 1 및 y = -3

위 단계에서 우리는 y = 1 및 y = -3 값을 얻습니다.

3단계: 위의 값에서 간격은 (-무한대, -3], [-3, 1], [1, 무한대)입니다.

부등식은 같음을 포함하는 ≤이므로 얻은 값에 대괄호를 사용합니다.

4단계: 위의 간격을 수직선으로 표현한 것입니다.

5단계: 각 간격 사이에 난수를 취하여 값을 만족하는지 확인합니다. 만족하는 경우 솔루션에 간격을 포함합니다.

간격 (-무한대, -3]의 경우 임의의 값을 -4로 둡니다.

부등식에 y = -4를 넣으면 |y + 1| ≤ 2

⇒ |-4+ 1| ≤ 2

⇒ |-3| ≤ 2

⇒ 3 ≤ 2 (거짓)

간격 [-3, 1]의 경우 임의의 값을 0으로 둡니다.

부등식 |y + 1|에 y = 0을 넣습니다. ≤ 2

⇒ |0+ 1| ≤ 2

⇒ |1| ≤ 2

⇒ 1 ≤ 2 (참)

간격 [1, )의 경우 임의의 값을 2로 둡니다.

부등식 |y + 1|에 y = 2를 넣습니다. ≤ 2

⇒ |2+ 1| ≤ 2

⇒ |3| ≤ 2

⇒ 3 ≤ 2 (거짓)

6단계: 따라서 절대값 불평등에 대한 해는 |y + 1| ≤ 2는 간격 [-3, -1]입니다. 수직선에 다음과 같이 그릴 수 있는 부등식을 충족하기 때문입니다.

합리적 불평등을 해결하는 방법

합리적 불평등을 해결하기 위해 예를 들어 보겠습니다.

예: 부등식 풀기: (x + 3) / (x – 1) <2

해결책:

불평등을 해결하기 위한 단계는 다음과 같습니다.

1 단계: 방정식 형식으로 불평등을 작성합니다. (x + 3) / (x – 1) <2

(x + 3) / (x – 1) = 2

2 단계: 방정식을 푼다:

(x + 3) / (x – 1) = 2

(x + 3) = 2(x – 1)

x + 3 = 2x - 2

2x – x = 3 + 2

엑스 = 5

위 단계에서 x = 5 값을 얻습니다.

3단계: 위의 값에서 간격은 (-무한대,1), (1,5), (5,무한대)입니다.

이후 불평등은

x = 1에 대해 부등식은 정의되지 않았으므로 x = 1에 대해 여는 괄호를 사용합니다.

4단계: 위의 간격을 수직선으로 표현한 것입니다.

5단계: 각 간격 사이에 난수를 취하여 값을 만족하는지 확인합니다. 만족하는 경우 솔루션에 간격을 포함합니다.

간격 (-무한대, 1)의 경우 임의의 값을 0으로 둡니다.

부등식 (x + 3) / (x – 1)에 x = 0을 대입 <2

⇒ (0 + 3) / (0 – 1) <2

⇒ 3 / (-1) <2

⇒ -3 <2 (참)

간격 (1, 5)의 경우 임의의 값을 2로 둡니다.

부등식 (x + 3) / (x – 1)에 x = 3을 대입 <2

⇒ (3 + 3) / (3 – 1) <2

⇒ 6/2 <2

⇒ 3 <2 (거짓)

간격 (5, )의 경우 임의의 값을 2로 둡니다.

부등식 (x + 3) / (x – 1)에 y = 6을 대입 <2

⇒ (6 + 3) / (6 – 1) <2

⇒ 9/5 <2

⇒ 1.8 <2 (참)

6단계: 따라서 절대값 불평등에 대한 해는 (x + 3) / (x – 1)입니다. <2는 수직선에 다음과 같이 그릴 수 있는 부등식을 충족하므로 구간 (-무한대, 1) ∪ (5, 무한대)입니다.

두 변수를 사용하여 선형 부등식을 해결하는 방법

두 개의 변수를 사용하여 선형 부등식을 해결하는 예를 들어보겠습니다.

예: 해결: 20x + 10y ≤ 60

해결책:

x = 0이라고 생각하고 이를 주어진 부등식에 대입하세요.

⇒ 20배 + 10년 ≤ 60

⇒ 20(0) + 10년 ≤ 60

⇒ 10년 ≤ 60

⇒ 및 ≤ 6 ——(i)

이제 x = 0일 때 y는 0~6이 될 수 있습니다.

마찬가지로 부등식에 값을 대입하여 확인하면 부등식이 만족됩니다.

x = 1인 경우 y는 0~4일 수 있습니다.

x = 2인 경우 y는 0~2일 수 있습니다.

x = 3인 경우 y는 0일 수 있습니다.

주어진 부등식에 대한 가능한 해는 (0, 0), (0,1), (0, 2), (0,3), (0,4), (0,5), (0,6), ( 1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,0), (2,1), (2,2), (3, 0).

불평등 시스템

불평등 시스템은 하나 이상의 변수를 갖는 두 개 이상의 불평등의 집합입니다. 불평등 시스템에는 하나 이상의 변수가 있는 여러 불평등이 포함됩니다.

불평등 시스템의 형식은 다음과 같습니다.

ㅏ_열하나엑스₁+ 에₁₂엑스₂+ 에₁₃엑스_삼…….. + 에_1n엑스_{N 1}

ㅏ_{이십 일}엑스₁+ 에₂₂엑스₂+ 에₂₃엑스_삼…….. + 에_2n엑스_{N 2}

ㅏ_n1엑스₁+ 에_n2엑스₂+ 에_n3엑스_삼…….. + 에_nn엑스_{N N}

불평등 시스템의 그래픽 표현

불평등 시스템은 여러 불평등의 그룹입니다. 먼저, 각 부등식을 풀고 각 부등식에 대한 그래프를 그립니다. 모든 불평등 그래프의 교차점은 불평등 시스템에 대한 그래프를 나타냅니다.

예를 들어,

예: 부등식 시스템에 대한 플롯 그래프

• 2x + 3년 ≤ 6
• x ≤ 3
• y ≤ 2

해결책:

2x + 3y ≤ 6에 대한 그래프

그래프의 음영 영역은 2x + 3y ≤ 6을 나타냅니다.

x ≤ 3에 대한 그래프

음영 영역은 x ≤ 3을 나타냅니다.

y ≤ 2에 대한 그래프

음영 처리된 영역은 y ≤ 2를 나타냅니다.

주어진 부등식 시스템에 대한 그래프

음영 영역은 주어진 불평등 시스템을 나타냅니다.

불평등 – FAQ

불평등의 개념은 무엇입니까?

부등식은 표현식의 LHS와 RHS가 동일하지 않은 수학적 표현식입니다.

불평등의 상징은 무엇입니까?

부등식의 기호는>, <, ≥, ≤ 및 ≠입니다.

불평등의 전이적 속성은 무엇입니까?

부등식의 전이적 속성은 a, b, c가 세 개의 숫자이면,

• a> b이고 b> c이면 a> c입니다.
• 만약
• a ≥ b이고 b ≥ c이면 a ≥ c입니다.
• a ≤ b이고 b ≤ c이면 a ≤ c입니다.