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통합 공식

통합 공식 다양한 적분 문제를 해결하는 데 사용되는 기본 공식입니다. 대수식, 삼각비, 역삼각함수, 로그 및 지수함수의 적분을 찾는 데 사용됩니다. 이러한 적분 공식은 다양한 기능의 적분을 찾는 데 매우 유용합니다.

적분은 미분의 역과정입니다. 즉, d/dx (y) = z이면 ∫zdx = y입니다. 모든 곡선을 적분하면 곡선 아래 면적이 제공됩니다. 우리는 무기한 적분과 유한 적분의 두 가지 방법으로 적분을 찾습니다. 무기한 적분에서는 적분에 제한이 없지만, 정적 적분에서는 함수를 적분하는 데 제한이 있습니다.



이들에 대해 알아보자 적분 공식, 그리고 그들의 분류, 이 기사에서 자세히 설명합니다.

내용의 테이블

적분 미적분학

적분법 적분의 이론과 응용을 다루는 미적분학의 한 분야입니다. 적분을 찾는 과정을 적분이라고 합니다. 적분법은 함수의 역도함수를 찾는 데 도움이 됩니다. 역도함수는 함수의 적분이라고도 합니다. 그것은 다음과 같이 표시됩니다. ∫f(x)dx. 적분법은 길이, 면적, 부피 등의 총합을 다룬다. 적분은 주어진 데이터의 특정 방정식에 대한 대략적인 해를 찾는 데 사용될 수 있습니다. 적분법에는 두 가지 유형의 통합이 포함됩니다.



  • 무기한 적분
  • 명확한 적분

통합 공식이란 무엇입니까?

적분 공식은 다음과 같은 공식 세트로 광범위하게 제시되었습니다. 공식에는 기본 적분 공식, 삼각비 적분, 역삼각 함수, 함수 곱 및 일부 고급 적분 공식 세트가 포함됩니다. 통합은 부분을 통합하여 전체를 찾는 방법입니다. 이는 차별화의 역작용이다. 따라서 기본 적분 공식은 다음과 같습니다.

∫ f'(x) dx = f(x) + C

통합 공식



이를 이용하여 다음과 같은 적분식이 도출된다.

다양한 적분 미적분 공식은 다음과 같습니다.

  1. d/dx {ψ(x)} = f(x) ∫f(x) dx = ψ(x) + C
  2. ∫ xNdx = frac{x^{n+1}}{n+1} + C, n ≠ -1
  3. ∫(1/x) dx = 로그그것은|x| + C
  4. ∫e엑스dx = 전자엑스+ C
  5. ∫a엑스dx = (a엑스/ 통나무그것은가) + 씨

더 많은 적분 공식은 기사 아래에서 논의됩니다.

메모:

  • d/dx [∫f(x) dx] = f(x)
  • ∫k . f(x) dx = k ∫f(x) dx , 여기서 k는 상수입니다.
  • ∫{f(x) ± g(x)} dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx

기본 적분 공식

적분 문제를 해결하는 데 사용되는 일부 기본 적분 공식은 아래에 설명되어 있습니다. 이는 통합의 기본 정리에 의해 파생됩니다. 기본 적분 공식 목록은 다음과 같습니다.

  • ∫ 1dx = x + C
  • ∫ xNdx = x(n + 1)/(n + 1)+ C
  • ∫ 1/x dx = 로그 |x| + C
  • ∫ 그리고엑스dx = 전자엑스+ C
  • ∫ 아엑스dx=a엑스/로그 + C
  • ∫ 그리고엑스[f(x) + f'(x)] dx = e엑스f(x) + C {여기서, f'(x) = d/dx[f(x)]}

적분 공식의 분류

적분식은 다음과 같은 함수에 따라 다양한 범주로 분류됩니다.

  • 유리함수
  • 불합리한 함수
  • 쌍곡선 함수
  • 역쌍곡선 함수
  • 삼각함수
  • 역삼각함수
  • 지수함수
  • 로그 함수

삼각 함수의 적분 공식

삼각 함수의 적분 공식은 삼각 함수와 관련된 적분 방정식을 푸는 데 사용됩니다. 삼각함수와 역삼각함수를 포함하는 적분 공식 목록은 다음과 같습니다.

  • ∫ cos x dx = 사인 x + C
  • ∫ 사인 x dx = -cos x + C
  • ∫초2x dx = 황갈색 x + C
  • ∫ 코섹2x dx = -cot x + C
  • ∫ 초 x tan x dx = 초 x + C
  • ∫ cosec x cot x dx = -cosec x + C
  • ∫ tan x dx = 로그 |초 x| +C
  • ∫ cot x dx = log |sin x| + C
  • ∫ 초 x dx = 로그 |초 x + tan x| + C
  • ∫ cosec x dx = 로그 |cosec x – cot x| + C

역삼각 함수의 적분 공식

적분문제를 풀 때 사용되는 다양한 역삼각함수의 적분공식은 다음과 같습니다.

  • ∫1/√(1 – x2) dx = 죄-1x + C
  • ∫ -1/√(1 – x2) dx = cos-1x + C
  • ∫1/(1 + x2) dx = 황갈색-1x + C
  • ∫ -1/(1 + x2) dx = 유아용 침대-1x + C
  • ∫ 1/x√(x2– 1) dx = 초-1x + C
  • ∫ -1/x√(x2– 1) dx = 코초-1x + C

고급 통합 공식

적분을 푸는 데 매우 중요한 일부 다른 고급 적분 공식은 아래에 설명되어 있습니다.

  • ∫1/(x2- ㅏ2) dx = 1/2a 로그|(x – a)(x + a| + C
  • ∫ 1/(아2– 엑스2) dx =1/2a log|(a + x)(a – x)| + C
  • ∫1/(x2+ 에2) dx = 1/a 황갈색-1x/a + C
  • ∫1/√(x2- ㅏ2)dx = 로그 |x +√(x2- ㅏ2)| + C
  • ∫ √(x2- ㅏ2) dx = x/2 √(x2- ㅏ2) -ㅏ2/2 로그 |x + √(x2- ㅏ2)| + C
  • ∫1/√(a2– 엑스2) dx = 죄-1x/a + C
  • ∫√(a2– 엑스2) dx = x/2 √(a2– 엑스2) dx + a2/2 없음-1x/a + C
  • ∫1/√(x2+ 에2) dx = 로그 |x + √(x2+ 에2)| + C
  • ∫ √(x2+ 에2) dx = x/2 √(x2+ 에2)+ 에2/2 로그 |x + √(x2+ 에2)| + C

다양한 통합 공식

다양한 유형의 통합 질문을 해결하기 위해 다양한 유형의 통합 방법이 사용됩니다. 각 방법은 표준 결과이며 공식으로 간주될 수 있습니다. 이 문서의 아래에서는 중요한 방법 중 일부에 대해 설명합니다. 세 가지 중요한 통합 방법을 확인해 보겠습니다.

  • 부품 공식에 의한 통합
  • 대체 공식에 의한 적분
  • 부분 분수 공식에 의한 적분

부품 공식에 의한 통합

부품별 통합 주어진 함수가 두 함수의 곱으로 쉽게 설명될 때 공식이 적용됩니다. 수학에서 사용되는 부분별 적분 공식은 다음과 같습니다.

∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx – ∫ (∫f'(x) g(x) dx) dx + C

예: ∫ xe 계산 엑스 dx

해결책:

∫ 자동차엑스dx는 ∫ f(x) g(x) dx 형식입니다.

f(x) = x 및 g(x) = e라고 둡니다.엑스

우리는 ∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx – ∫ (∫f'(x) g(x) dx) dx + C라는 것을 알고 있습니다.

∫ 자동차엑스dx = x ∫e엑스dx - ∫( 1 ∫e엑스dx) dx+ c

= 자동차엑스- 그것은엑스+ ㄷ

대체 공식에 의한 적분

대체 공식에 의한 적분 함수가 다른 함수의 함수일 때 적용됩니다. 즉, I = ∫ f(x) dx라고 가정합니다. 여기서 x = g(t)는 dx/dt = g'(t)이고 dx = g'(t)dt입니다.

지금, 나는 = ∫ f(x) dx = ∫ f(g(t)) g'(t) dt

예: ∫(4x +3) 평가 삼 dx

해결책:

u = (4x+3) ⇒ du = 4 dx라고 가정합니다.

∫ (4x +3)삼dx

자바의 추상화

= 1/4 ∫(유)삼~의

= 1/4. ~에4/5

= 당신4/이십

= 4x ​​​​+3)4/이십

부분 분수 공식에 의한 적분

부분 분수에 의한 적분 P(x)/Q(x)의 적분이 필요하고 P(x)/Q(x)가 가분수이므로 P(x)의 차수가 (<)보다 작은 경우 공식이 사용됩니다. Q(x)의 차수이면 분수 P(x)/Q(x)는 다음과 같이 작성됩니다.

P(x)/Q(x) = R(x) + P 1 (엑스)/Q(엑스)

어디

  • R(x) 는 x의 다항식입니다
  • 피 1 (엑스)/Q(엑스) 은 적절한 유리함수이다

이제 R(x) + P의 통합1(x)/ Q(x)는 위에서 설명한 공식을 사용하여 쉽게 계산됩니다.

적분의 응용

적분 공식은 다양한 작업에 사용되는 수학에서 매우 유용한 공식입니다. 다양한 적분의 응용 다음이 포함됩니다:

  • 곡선의 길이 구하기
  • 곡선 아래의 면적 구하기
  • 함수의 대략적인 값 찾기
  • 객체 및 기타 객체의 경로 결정
  • 곡선 아래의 면적을 구하려면
  • 불규칙한 모양의 표면적과 부피를 구하려면
  • 질량중심이나 무게중심을 구하려면

이 공식은 기본적으로 두 가지 범주로 분류됩니다.

  • 확실한 적분 공식
  • 무기한 적분 공식

확실한 적분 공식

적분의 극한이 주어지는 경우에는 정적분 공식이 사용됩니다. 명확한 적분에서 문제의 해는 상수 값입니다. 일반적으로 명확한 적분은 다음과 같이 해결됩니다.

∫ ㅏ 비 f(x) dx = F(b) – F(a)

무기한 적분 공식

무한 적분 공식은 적분의 극한이 주어지지 않을 때 무한 적분을 풀기 위해 사용됩니다. 무한 적분에서는 일반적으로 C로 표시되는 적분 상수를 사용합니다.

∫f(x) = F(x) + C

  • 무기한 적분
  • 필수 속성 정의
  • 삼각함수 통합

적분 공식에 대한 예

예시 1: 평가

  • ∫ x 6 dx
  • ∫1/x 4 dx
  • ∫ 삼 √xdx
  • ∫3 엑스 dx
  • ∫4e 엑스 dx
  • ∫(사인 x/cos 2 엑스) dx
  • ∫(1/죄 2 엑스) dx
  • ∫[1/√(4 – x 2 )] dx
  • ∫[1/3√(x 2 – 9)] dx
  • ∫(1 /cos x tan x) dx

해결책:

(i)∫x 6 dx

= (엑스6+1)/(6 + 1) + C [∫x N dx = {x n+1 /(n+1)} + Cn ≠ -1]

= (엑스7/7) + C

(ii) ∫1/x 4 dx

= ∫x-4dx [∫x N dx = {x n+1 /(n+1)} + Cn ≠ -1]

= (엑스-4+1)/(-4 + 1) + C

= -(엑스-삼/ 3) + 씨

= -(1/3x삼) + C

(iii) ∫ 삼 √xdx

= ∫x1/3dx [∫x N dx = {x n+1 /(n+1)}+ Cn ≠ -1]

= (엑스(1/3)+1/((1/3)+ 1) + C

= x4/3/ (4/3) + C

= (3/4)(x4/3) + C

(iv) ∫3 엑스 dx

= (3엑스/ 통나무그것은3) + 다 [ ∫a 엑스 dx = (a 엑스 / 통나무 그것은 가) + 다]

(v) ∫4e 엑스 dx

= 4∫e엑스dx [∫k . f(x) dx = k f(x) dx , 여기서 k는 상수]

= 4 및엑스+ C [∫e 엑스 dx = 전자 엑스 + 씨]

(vi) ∫(sin x/cos 2 엑스) dx

= ∫[(사인 x/코사인 x) .(1/코사인 x)] dx

= ∫tan x . 초 x dx [ ∫tan x .sec x dx = 초 x + C ]

= 초 x + C

(vii) ∫(1/죄 2 엑스) dx

= ∫cosec2xdx [∫cosec 2 x dx = -cot x + C ]

= -cot x + C

(viii) ∫[1/√(4 – x 2 )] dx

= ∫[1/√(22– 엑스2)] dx [우리는 dx = sin이라는 것을 알고 있습니다. -1 (x/a) + C]

= 없이-1(x/2) + C

(ix) ∫[1/{3√(x) 2 – 9)}] dx

= ∫[1/{3√(x2- 삼2)}] dx [우리는 그것을 알고 있습니다,intfrac{1}{xsqrt{x^2-a^2}} dx = (1/a)초-1(x/a) + C]

= (1/3)초-1(x/3) + C

(x) ∫(1 /cos x tan x) dx

= ∫[코사인 x /(코사인 x 사인 x)] dx

= ∫(1/ 죄 x) dx

= ∫cosec x dx [우리는 ∫cosec x dx = log |cosec x – cot x| + 씨]

= 로그 |cosec x – cot x| +C

예 2: ∫{e 평가 9로그 그것은 엑스 + 그리고 8로그 그것은 엑스 }/{그것은 6로그 그것은 엑스 + 그리고 5로그 그것은 엑스 } dx

해결책:

부터, 그것은 흔들리는 그것은 엑스 = x ㅏ

∫{e 9로그 그것은 엑스 + 그리고 8로그 그것은 엑스 }/{그것은 6로그 그것은 엑스 + 그리고 5로그 그것은 엑스 } dx

= ∫{x9+ 엑스8}/{엑스6+ 엑스5} dx

= ∫[x8(x + 1)]/[x5(x + 1)] dx

=∫x8/엑스5dx

= ∫x삼dx [우리는 그것을 알고 있습니다, ∫x N dx = {x n+1 /(n+1)} + Cn ≠ -1]

= (엑스4/4) + C

예시 3: ∫ sin x + cos x dx 계산

해결책:

∫(사인 x + cos x) dx

= ∫sin x dx + ∫cos x dx [우리는 ∫{f(x) ± g(x)} dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx라는 것을 알고 있습니다.]

= -cos x + 사인 x + C [우리는 ∫sin x dx = -cos x + C, ∫cos x dx = sin x + C라는 것을 알고 있습니다.]

예 4: ∫4 평가 x+2 dx

해결책:

∫4 x+2 dx = ∫4엑스. 42dx

= ∫16. 4엑스dx [ 우리는 ∫k.f(x) dx = k∫f(x) dx , 여기서 k는 상수라는 것을 알고 있습니다.]

= 16∫ 4엑스dx [∫a 엑스 dx = (a 엑스 / 통나무 그것은 가) + 다]

= 16 (4엑스/로그 4) + C

예 5: ∫(x 계산 2 + 3x + 1) dx

해결책:

∫(x 2 + 3x + 1) dx

= ∫x2dx+ 3∫x dx + 1∫ x0dx [그건 알아요, ∫x N dx = {x n+1 /(n+1)}+ Cn ≠ -1]

= [엑스2+1/2+1] + 3[[x1+1/1+1]] + [엑스0+1/0+1] + C

= [엑스삼/3] + 3[x2/2] + x + C

예시 6: ∫[4/(1 + cos 2x)] dx 평가

해결책:

1 + 왜냐하면 2x = 2cos 2 엑스

∫[4/(1 + cos 2x)] dx

= ∫[4/(2cos2x)] dx

= ∫(2/코사인2엑스) dx

= ∫2초2xdx

= 2∫초2xdx [그건 알아요, ∫초 2 x dx = 황갈색 x + C ]

= 2 탄 x + C

예제 7: ∫(3cos x – 4sin x + 5초 계산 2 엑스) dx

해결책:

∫(3cos x – 4sin x + 5초 2 엑스) dx

= ∫3cos x dx – ∫4sin x dx + ∫5초2xdx [∫k.f(x) dx = k ∫f(x) dx, 여기서 k는 상수]

= 3∫cos x dx – 4∫sin x dx + 5∫초2xdx

= 3sin x – 4(-cos x) + 5 tan x + C

= 3sin x + 4cos x + 5 tan x + C

적분 공식 연습 문제

P1. int x^2 , dx

P2. int e^x , dx

P3. int frac{1}{x} , dx

P4. int sin(x) , dx

P5. int (2x^3 + 3x^2 + x + 1) , dx

적분 수식에 대한 FAQ

모든 통합 공식은 무엇입니까?

적분식은 다양한 적분 문제를 해결하는 데 사용되는 공식입니다.

  • ∫ 1dx = x + C
  • ∫ xNdx = x(n + 1)/(n + 1)+ C
  • ∫ 1/x dx = 로그 |x| + C
  • ∫ 그리고엑스dx = 전자엑스+ C
  • ∫ 아엑스dx=a엑스/로그 + C
  • ∫ 그리고엑스[f(x) + f'(x)] dx = e엑스f(x) + C {여기서, f'(x) = d/dx[f(x)]}

uv의 통합 공식은 무엇입니까?

uv의 적분식은,

∫uvdx = u∫vdx – ∫[d/dx(u) × ∫vdx] dx

수학에서 통합이란 무엇을 의미합니까?

함수 g(x)의 도함수가 f(x)이면 f(x)의 적분은 g(x)입니다. 즉, ∫f(x)dx = g(x)입니다. 통합은 기호로 표시됩니다. ∫

통합 공식을 사용하여 어떻게 통합합니까?

다음 공식을 사용하여 통합을 달성할 수 있습니다.

  • 무한히 추가하여 완전한 개체를 만드는 특정 차원의 개체의 작은 부분을 정의합니다.
  • 다양한 차원을 따라 작은 부분에 대한 통합 공식을 사용하면 완전한 개체를 얻을 수 있습니다.

부분별 적분 공식은 무엇입니까?

부분별 적분 공식은 가분수가 주어지는 적분을 풀기 위해 사용됩니다.

통합 공식의 사용은 무엇입니까?

적분 공식은 다양한 적분 문제를 해결하는 데 사용됩니다. 물체의 질량 중심 찾기, 미사일, 로켓, 비행기 등의 궤적 찾기 등 일상 생활에서 직면하는 다양한 문제는 통합을 통해 쉽게 해결할 수 있습니다.