L U 선형 방정식 시스템의 분해 - TECHCODEVIEW.COM

행렬의 LU 분해는 주어진 정사각 행렬을 두 개의 삼각 행렬, 즉 하나의 상부 삼각 행렬과 하나의 하부 삼각 행렬로 인수분해하여 이 두 행렬의 곱이 원래 행렬을 제공하는 것입니다. 튜링 기계를 만든 앨런 튜링(Alan Turing)이 1948년에 소개했습니다.

두 개의 삼각 행렬의 곱으로 행렬을 인수분해하는 LU 분해 방법은 연립방정식의 해와 같은 다양한 응용을 가지며, 그 자체는 회로에서 전류를 찾는 것과 이산 동적 시스템 문제의 해와 같은 많은 응용의 필수 부분입니다. ; 행렬의 역행렬을 구하고 행렬식을 구합니다.

LU 분해란 무엇입니까?

정사각 행렬 A는 A = LU가 되도록 두 개의 정사각 행렬 L과 U로 분해될 수 있습니다. 여기서 U는 A에 가우스 소거법을 적용한 결과 형성된 상부 삼각 행렬이고, L은 대각 요소가 다음과 같은 하부 삼각 행렬입니다. 1과 같습니다.

A의 경우 =egin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} a_{21} & a_{22} & a_{23} a_{31} & a_{32} & a_{33} end{bmatrix} .

우리는 L = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 l_{21} & 1 & 0 l_{31} & l_{32} & 1 end{bmatrix} 그리고 유 =egin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} 0 & u_{22} & u_{23} 0 & 0 & u_{33} end{bmatrix} ;

A = L U 즉,left[egin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} a_{21} & a_{22} & a_{23} a_{31} & a_{32} & a_{33} end{array} ight]=left[egin{array}{lll} 1 & 0 & 0 l_{21} & 1 & 0 l_{31} & l_{32} & 0 end{array} ight] cdot left[egin{array}{ccc} u_{11} & u_{12} & u_{13} 0 & u_{22} & u_{23} 0 & 0 & u_{33} end{array} ight]

여기서 l의 값은_{이십 일}, 안에_열하나등을 비교하고 찾을 수 있습니다.

가우스 제거법이란?

Gauss-Jordan Elimination이라고도 알려진 Gaussian Elimination은 선형 방정식 시스템을 풀고 행렬의 역행렬을 찾기 위해 선형 대수학에서 사용되는 방법입니다. 이 이름은 수학자 칼 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)와 그 발전에 지대한 공헌을 한 수학자 빌헬름 조던(Wilhelm Jordan)의 이름을 따서 명명되었습니다.

가우스 소거법에 따르면:

0 행은 행렬의 맨 아래에 있어야 합니다.
각 행의 0이 아닌 첫 번째 항목은 이전 행의 0이 아닌 첫 번째 항목의 오른쪽에 있어야 합니다. 이 방법은 행렬을 행 사다리꼴 형태로 축소합니다.

LU 분해 방법

임의의 정사각 행렬을 두 개의 삼각 행렬(즉, 하나는 하부 삼각 행렬이고 다른 하나는 상부 삼각 행렬)로 팩토리하려면 다음 단계를 사용할 수 있습니다.

일련의 선형 방정식이 주어지면 먼저 이를 행렬 형식 A X = C로 변환합니다. 여기서 A는 계수 행렬, X는 변수 행렬, C는 방정식 오른쪽에 있는 숫자 행렬입니다.
이제 계수 행렬 A, 즉 'n' 변수에 대해 nXn 행렬을 갖도록 주어진 모든 방정식의 변수 계수에서 얻은 행렬을 가우스 제거 방법을 사용하여 행 사다리꼴 형태로 줄입니다. 이렇게 얻은 행렬은 U입니다.
L을 찾으려면 두 가지 방법이 있습니다. 첫 번째는 나머지 요소를 인공 변수로 가정하고 A = L U를 사용하여 방정식을 만들고 이를 풀어 해당 인공 변수를 찾는 것입니다. 또 다른 방법은 나머지 요소가 U 행렬에서 각 위치가 0이 되는 승수 계수가 되는 것입니다. (이 방법은 말로 이해하기가 약간 까다롭지만 아래 예를 보면 명확해집니다.)
이제 오른쪽에 A(nXn 계수 행렬), L(nXn 하부 삼각 행렬), U(nXn 상부 삼각 행렬), X(변수로 구성된 nX1 행렬) 및 C(오른쪽에 숫자로 구성된 nX1 행렬)가 있습니다. 방정식의 손 쪽).
주어진 방정식 시스템은 A X = C입니다. A = L U를 대체합니다. 따라서 L U X = C가 됩니다. Z = U X를 둡니다. 여기서 Z는 행렬 또는 인공 변수이고 먼저 L Z = C를 구한 다음 다음을 구합니다. U X = Z는 X 또는 필요한 변수 값을 찾습니다.

LU 분해의 예

LU 분해 방법을 사용하여 다음 방정식 시스템을 풉니다.

egin{equation*} x_1 + x_2 + x_3 = 1 end{equation*} egin{equation*} 4x_1 + 3x_2 – x_3 = 6 end{equation*} egin{equation*} 3x_1 + 5x_2 + 3x_3 = 4 end{equation*}

해결책: 여기에는 A =가 있습니다.

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 4 & 3 & -1 3 & 5 & 3 end{bmatrix} , X = egin{bmatrix} x_1 x_2 x_3 end{bmatrix}

그리고

C = egin{bmatrix} 1 6 4 end{bmatrix}

A X = C가 됩니다. 이제 먼저 고려하겠습니다.

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 4 & 3 & -1 3 & 5 & 3 end{bmatrix}

int를 문자열로 변환

가우스 소거법(Gauss Elimination Method)을 이용하여 행 사다리꼴 형태로 변환합니다. 그래서,함으로써

egin{equation} R_2 o R_2 – 4R_1 end{equation} egin{equation} R_3 o R_3 – 3R_1 end{equation}

우리는 얻는다

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 4 & 3 & -1 3 & 5 & 3 end{bmatrix} sim

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -5 0 & 2 & 0 end{bmatrix}

이제 다음을 수행하여

egin{equation} R_3 o R_3 – (-2)R_2 end{equation}

우리는 얻는다

sim egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -5 0 & 0 & -10 end{bmatrix}

(항상 사이에 ' – ' 기호를 유지하고 ' + ' 기호를 두 개의 ' – ' 기호로 바꾸는 것을 기억하십시오) 따라서 L =을 얻습니다.

egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 4 & 1 & 0 3 & -2 & 1 end{bmatrix}

그리고 유 =

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -5 0 & 0 & -10 end{bmatrix}

1000.00개 중 1개

(L 행렬에서

l_{21} = 4

(1)에서 온 것입니다.

l_{31} = 3

(2)에서 나온 것이고

l_{32} = -2

(3)) 이제 Z를 가정합니다.

= egin{bmatrix} z_1 z_2 z_3 end{bmatrix}

그리고 LZ = C를 풀어보세요.

egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 4 & 1 & 0 3 & -2 & 1 end{bmatrix} egin{bmatrix} z_1 z_2 z_3 end{bmatrix}

= egin{bmatrix} 1 6 4 end{bmatrix}

그래서 우리는

z_1 = 1 ,

4z_1 + z_2 = 6 ,

3z_1 – 2z_2 + z_3 = 4 .

해결하면 우리는 얻는다

z_1 = 1

문자열을 배열로

z_2 = 2

그리고

z_3 = 5

. 이제 우리는 U X = Z를 푼다.

egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -5 0 & 0 & -10 end{bmatrix} egin{bmatrix} x_1 x_2 x_3 end{bmatrix}

= egin{bmatrix} 1 2 5 end{bmatrix}

그러므로 우리는 얻는다

x_1 + x_2 + x_3 = 1 ,

-x_2 – 5x_3 = 2

-10x_3 = 5 .

따라서 주어진 선형 방정식 시스템의 해는 다음과 같습니다.

x_1 = 1

x_2 = 0.5

x_3 = -0.5

따라서 행렬 X =

egin{bmatrix} 1 0.5 -0.5 end{bmatrix}

LU 분해 연습

행렬의 LU 분해에서

자바 정렬 목록

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, U의 대각선 요소가 모두 1이면 L의 아래쪽 대각선 항목 l22는 (GATE CS 2015) (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7입니다.

해결 방법은 다음을 참조하십시오. 게이트 | GATE-CS-2015 (세트 1) | 질문 65 .

LU 분해에 대한 FAQ

LU 분해 방법이란 무엇입니까?

Lower-Upper 분해의 약자인 LU 분해는 정사각 행렬을 하부 삼각 행렬(L)과 상부 삼각 행렬(U)의 곱으로 분해하는 데 사용되는 행렬 인수분해 기술입니다. 선형 방정식 시스템을 풀고 행렬식을 계산하는 것을 단순화하는 데 일반적으로 사용됩니다.

LU 분해가 독특한 이유는 무엇입니까?

LU 분해는 정사각 행렬 A를 하삼각 행렬(L 및 U)로 고유하게 인수분해하는 방법을 제공하여 선형 시스템과 행렬식 계산을 효율적으로 풀 수 있다는 점에서 독특합니다.

LU 분해는 어떻게 계산되나요?

LU 분해는 개별 행렬의 변경 사항을 추적하면서 행 연산을 수행하여 정사각 행렬 A를 하부(L) 및 상부(U) 삼각 행렬로 변환하는 가우스 제거를 사용하여 계산됩니다. 이 프로세스는 반복적이며 A가 완전히 분해될 때까지 계속됩니다. LU 분해의 모든 단계가 포함된 방법은 기사에 나와 있습니다.

LU 분해가 불가능한 경우는?

행렬 A가 특이행렬(비역전)이거나 안정성을 위해 피벗이 필요한 경우 LU 분해가 불가능할 수 있지만 피벗 요소가 0이 되어 분해 과정에서 0으로 나누기가 발생합니다.

LU 분해에 대한 대안이 있습니까?

예, LU 분해에 대한 대안은 다음과 같습니다. 촐레스키 분해 양의 정부호 대칭 행렬의 경우, 일반 행렬의 QR 분해, 그리고 다양한 행렬 연산 및 응용을 위한 스펙트럼 분해 및 특이값 분해(SVD)와 같은 고유값 기반 방법이 있습니다.

LU 분해를 비정사각형 행렬에 적용할 수 있습니까?

LU 분해는 일반적으로 정사각 행렬에 적용됩니다. 직사각형 행렬의 경우 QR 분해가 더 일반적으로 사용됩니다. 그러나 LUP 분해와 같은 변형은 직사각형 행렬도 처리할 수 있습니다. 여기서 P는 순열 행렬입니다.