라그랑주 보간 공식: 증명, 예제 및 FAQ

라그랑주 보간 공식 임의의 점에서 특정 값을 취하는 라그랑주 다항식(Lagrange Polynomial)이라는 다항식을 찾습니다. n급입니다함수 f(x)의 다항식 표현. 보간 방법은 알려진 데이터 포인트의 개별 집합 범위 내에서 새로운 데이터 포인트를 찾는 데 사용됩니다.

이번 글에서는 라그랑주 보간, 라그랑주 보간식, 라그랑주 보간식 증명, 라그랑주 보간식에 기초한 예제 등에 대해 자세히 알아보겠습니다.

라그랑주 보간이란 무엇입니까?

라그랑주 보간(Lagrange Interpolation)은 함수가 주어지지 않을 때 주어진 지점에서 함수의 값을 찾는 방법입니다. 필요한 지점에서 함수의 값을 얻기 위해 함수의 다른 지점을 사용합니다.

x 값을 대체하면 y의 다른 값이 제공되는 함수 y = f(x)가 있다고 가정합니다. 그리고 우리에게는 두 개의 점(x₁, 그리고₁) 및 (x₂, 그리고₂) 곡선에서 x = a(상수)에서의 y 값은 라그랑주 보간 공식을 사용하여 계산됩니다.

라그랑주 보간 공식

소수의 실제 값이 주어지면 x₁, x₂, x_삼, ..., 엑스_N그리고 y₁, 그리고₂, 그리고_삼, …, 그리고_N조건 P(x)를 만족하는 실수 계수를 갖는 다항식 P가 있을 것입니다._나) = 그리고_나, ∀ i = {1, 2, 3, …, n} 및 다항식 P의 차수는 실수 값의 개수보다 작아야 합니다. 즉, 차수(P)

n차에 대한 라그랑주 보간 공식

n에 대한 라그랑주 보간 공식^일차수 다항식은 아래와 같습니다:

n에 대한 라그랑주 보간 공식 ^일 순서는,

$f(x)=frac{(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)...(x_0-x_n)} imes y_0+ frac{(x-x_0)(x-x_2)...(x-x_n)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)...(x_1-x_n)} imes y_1+...+ frac{(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n-1)}{(x_n-x_0)(x_n-x_1)...(x_n-x_n-1)} imes y_n$

라그랑주 1차 보간 공식

만약다항식의 차수는 1이므로 1차 다항식이라고 합니다. 1에 대한 라그랑주 보간 공식^성차수 다항식은,

$f(x)~=~frac{(x-x_1)}{(x_0-x_1)} imes y_0+frac{(x-x_0)}{(x_1-x_0)} imes y_1$

라그랑주 2차 보간 공식

다항식의 차수가 2이면 2차 다항식이라고 합니다. 2차 다항식에 대한 라그랑주 보간 공식은 다음과 같습니다.

$f(x)~=~frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} imes y_0+frac{(x-x_0)(x-x_2)} {(x_1-x_0)(x_1-x_2)} imes y_1+frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} imes y_2$

라그랑주 정리의 증명

주어진 형태의 n차 다항식을 생각해 봅시다.

자바 배열에 추가

에프(엑스) = 에이₀(x – x₁)(x – x₂)(x – x_삼)…(x – x_N) + 에이₁(x – x₁)(x – x₂)(x – x_삼)…(x – x_N) + … + 에이_(n-1)(x – x₁)(x – x₂)(x – x_삼)…(x – x_N)

대체 관측치 x_나A를 얻기 위해_나

x=x를 넣어라₀그러면 우리는 A를 얻습니다₀

에프(엑스₀) = 및₀=A₀(엑스₀– 엑스₁)(엑스₀– 엑스₂)(엑스₀– 엑스_삼)…(엑스₀– 엑스_N)

ㅏ ₀ = 그리고 ₀ /(엑스 ₀ – 엑스 ₁ )(엑스 ₀ – 엑스 ₂ )(엑스 ₀ – 엑스 _삼 )…(엑스 ₀ – 엑스 _N )

x = x를 대체함으로써₁우리는 A를 얻습니다₁

에프(엑스₁) = 그리고₁=A₁(엑스₁– 엑스₀)(엑스₁– 엑스₂)(엑스₁– 엑스_삼)…(엑스₁– 엑스_N)

ㅏ ₁ = 그리고 ₁ /(엑스 ₁ – 엑스 ₀ )(엑스 ₁ – 엑스 ₂ )(엑스 ₁ – 엑스 _삼 )…(엑스 ₁ – 엑스 _N )

마찬가지로, x = x를 대체하면_N우리는 A를 얻습니다_N

에프(엑스_N) = 그리고_N=A_N(엑스_N– 엑스₀)(엑스_N– 엑스₁)(엑스_N– 엑스₂)…(엑스_N– 엑스_n-1)

ㅏ _N = 그리고 _N /(엑스 _N – 엑스 ₀ )(엑스 _N – 엑스 ₁ )(엑스 _N – 엑스 ₂ )…(엑스 _N – 엑스 _n-1 )

A의 모든 값을 대입하면_나i = 1, 2, 3, …n인 함수 f(x)에서 다음과 같은 라그랑주 보간 공식을 얻습니다.

$f(x)~=~frac{(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)...(x_0-x_n)} times y_0+frac{(x-x_0)(x-x_2)...(x-x_n)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)...(x_1-x_n)} imes y_1+... +frac{(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n-1)}{(x_n-x_0)(x_n-x_1)...(x_n-x_n-1)} imes y_n$

라그랑주 보간 공식의 특성

라그랑주 보간 공식의 다양한 속성은 아래에 설명되어 있습니다.

이 공식은 함수 자체가 주어지지 않은 경우에도 어느 지점에서든 함수의 값을 구하는 데 사용됩니다.
주어진 포인트의 간격이 균등하지 않은 경우에도 사용됩니다.
이는 모든 함수에 속하는 독립 변수에 대한 종속 변수의 값을 제공하므로 수리 분석에서 함수 값 등을 찾는 데 사용됩니다.

라그랑주 보간 공식의 사용

라그랑주 보간 공식의 다양한 용도는 아래에 설명되어 있습니다.

함수 자체가 주어지지 않더라도 특정 독립변수에서 종속변수의 값을 찾는 데 사용됩니다.
이미지 스케일링에 사용됩니다.
AI 모델링에 사용됩니다.
NLP 등을 가르치는 데 사용됩니다.

더 읽어보기,

보간 공식
선형 보간 공식

라그랑주 보간 공식을 사용한 예

라그랑주 보간 공식에 대한 몇 가지 샘플 질문을 살펴보겠습니다.

예 1: 주어진 점 집합 (1, 2),(3, 4)에 대해 x = 2에서 y 값 찾기

해결책:

주어진,

(엑스₀, 그리고₀) = (1, 2)
(엑스₁, 그리고₁) = (3, 4)
1차 라그랑주 보간 공식은,

$y~=~frac{(x-x_1)}{(x_0-x_1)} imes y_0+frac{(x-x_0)}{(x_1-x_0)} imes y_1$

x = 2에서

그리고 $=~frac{(2-3)}{(1-3)} imes 2+frac{(2-1)}{(3-1)} imes 4$

y = (-2/-2) + (4/2)

y = 1 + 2 = 3

x = 2에서 y의 값은 3입니다.
지도 대 세트

예 2: 주어진 점 집합 (9, 2), (3, 10)에 대해 x = 5에서 y 값 찾기

해결책:

주어진,

(엑스₀, 그리고₀) = (9, 2)
(엑스₁, 그리고₁) = (3, 10)
1차 라그랑주 보간 공식은,

$y~=~frac{(x-x_1)}{(x_0-x_1)} imes y_0+frac{(x-x_0)}{(x_1-x_0)} imes y_1$

x = 5에서

$y~=~frac{(5-3)}{(9-3)} imes 2+frac{(5-9)}{(3-9)} imes 10$

y = (4/6) + (-40/-6)

y = (2/3) + (20/3)

y = 22/3 = 7.33

x = 5에서 y의 값은 7.33입니다.

예 3: 주어진 점 집합 (1, 6), (3, 4), (2, 5)에 대해 x = 1에서 y 값 찾기

해결책:

주어진,

(엑스₀, 그리고₀) = (1, 6)
(엑스₁, 그리고₁) = (3, 4)
(엑스₂, 그리고₂) = (2, 5)
2차 라그랑주 보간 공식은 다음과 같습니다.

$y~=~frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} imes y_0+frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1 -x_0)(x_1-x_2)} imes y_1+frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} imes y_2$

x = 1에서

$y~=~frac{(1-3)(1-2)}{(1-3)(1-2)} imes 6+frac{(1-1)(1-2)}{( 3-1)(3-2)} imes 4+frac{(1-1)(1-3)}{(2-1)(2-3)} imes 5 y~=~ frac{(-2)(-1)}{(-2)(-1)} imes 6+frac{(0)(-1)}{(2)(1)} imes 4+frac {(0)(-2)}{(1)(-1)} imes 5$

y = (12/2) + 0 + 0

와이 = 6

x = 1에서 y의 값은 6입니다.

예 4: 주어진 점 집합 (9, 6), (3, 5), (1, 12)에 대해 x = 10에서 y 값 찾기

해결책:

주어진,

(엑스₀, 그리고₀) = (9, 6)
(엑스₁, 그리고₁) = (3, 5)
(엑스₂, 그리고₂) = (1, 12)
2차 라그랑주 보간 공식은 다음과 같습니다.

$y~=~frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} imes y_0+frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1 -x_0)(x_1-x_2)} imes y_1+frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} imes y_2$

x = 10에서

$y~=~frac{(10-3)(10-1)}{(9-3)(9-1)} imes 6+frac{(10-9)(10-1)}{( 3-9)(3-1)} imes 5+frac{(10-9)(10-3)}{(1-9)(1-3)} imes 12 y~=~ frac{(7)(9)}{(6)(8)} imes 6+frac{(1)(9)}{(-6)(2)} imes 5+frac{(1) (7)}{(-8)(-2)} imes 12$

y = (63/8) + (-15/4) + (21/4)

y = (63-30 + 42)/8

y = 75/8 = 9.375

x = 10에서 y의 값은 9.375입니다.

예제 5: 주어진 점 집합 (1, 10), (2, 4), (3, 4), (5, 7)에 대해 x = 7에서 y 값을 찾습니다.

해결책:

주어진,

(엑스₀, 그리고₀) = (1, 10)
(엑스₁, 그리고₁) = (2, 4)
(엑스₂, 그리고₂) = (3, 4)
(엑스_삼, 그리고_삼) = (5, 7)
3차 라그랑주 보간 공식은 다음과 같습니다.

$y~=~frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)} imes y_0+frac{(x-x_0 )(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)} imes y_1+frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3) }{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)} imes y_2+frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1 )(x_3-x_2)} imes y_3$

x = 7에서

$y~=~frac{(7-2)(7-3)(7-5)}{(1-2)(1-3)(1-5)} imes 10+frac{(7- 1)(7-3)(7-5)}{(2-1)(2-3)(2-5)} imes 4+frac{(7-1)(7-2)(7- 5)}{(3-1)(3-2)(3-5)} imes 4+frac{(7-1)(7-2)(7-3)}{(5-1)( 5-2)(5-3)} imes 7 y~=~frac{(5)(4)(2)}{(-1)(-2)(-4)} imes 10+ frac{(6)(4)(2)}{(1)(-1)(-3)} imes 4+frac{(6)(5)(2)}{(2)(1) (-2)} imes 4+frac{(6)(5)(4)}{(4)(3)(2)} imes 7$

y = -50 + 64 – 60 + 35

와이 = 99 – 110 = -열하나

x = 7에서 y의 값은 -11입니다.

예제 6: 주어진 점 집합 (5, 12), (6, 13), (7, 14), (8, 15)에 대해 x = 10에서 y 값을 찾습니다.

해결책:

주어진,

(엑스₀, 그리고₀) = (5, 12)
(엑스₁, 그리고₁) = (6, 13)
(엑스₂, 그리고₂) = (7, 14)
(엑스_삼, 그리고_삼) = (8, 15)
3차 라그랑주 보간 공식은 다음과 같습니다.

$y~=~frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)} imes y_0+frac{(x-x_0 )(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)} imes y_1+frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3) }{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)} imes y_2+frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1 )(x_3-x_2)} imes y_3$

x = 10에서,

$y~=~frac{(10-6)(10-7)(10-8)}{(5-6)(5-7)(5-8)} imes 12+frac{(10- 5)(10-7)(10-8)}{(6-5)(6-7)(6-8)} imes 13+frac{(10-5)(10-6)(10- 8)}{(7-5)(7-6)(7-8)} imes 14+frac{(10-5)(10-6)(10-7)}{(8-5)( 8-6)(8-7)} imes 15 y~=~frac{(4)(3)(2)}{(-1)(-2)(-3)} imes 12+ frac{(5)(3)(2)}{(1)(-1)(-2)} imes 13+frac{(5)(4)(2)}{(2)(1) (-1)} imes 14+frac{(5)(4)(3)}{(3)(2)(1)} imes 15$

y = -48 + 195 – 280 + 150

와이 = 17

x = 10에서 y의 값은 17입니다.

예제 7: 주어진 점 집합 (-2, 5),(1, 7)에 대해 x = 0에서 y 값 찾기

해결책:

주어진,

(엑스₀, 그리고₀) = (-2, 5)
(엑스₁, 그리고₁) = (1, 7)
1차 라그랑주 보간 공식은 다음과 같습니다.

$y~=~frac{(x-x_1)}{(x_0-x_1)} imes y_0+frac{(x-x_0)}{(x_1-x_0)} imes y_1$

x = 0에서,

$y~=~frac{(0-1)}{(-2-1)} imes 5+frac{(0+2)}{(1+2)} imes 7$

y = (5/3) + (14/3)

y = 19/3 = 6.33

x = 0에서 y의 값은 6.33입니다.

라그랑주 보간 공식에 대한 FAQ

1. 라그랑주 보간 공식이란 무엇입니까?

라그랑주 보간식(Lagrange Interpolation Formula)은 함수 자체가 주어지지 않더라도 임의의 독립변수에 대한 함수의 종속변수의 값을 구하는데 사용되는 공식이다.

2. 라그랑주 보간 공식의 응용은 무엇입니까?

라그랑주 공식은 현대 수학 및 데이터 과학에 다양하게 적용됩니다.
Eclipse의 javafx

AI 모델 Traning에 사용됩니다.
이미지 처리에 사용됩니다.
3차원 이상의 곡선 그래프 작성 등에 사용됩니다.

3. 1차 라그랑주 보간식이란 무엇입니까?

1차 라그랑주 보간 공식은 다음과 같습니다.

에프(엑스) = (엑스 – 엑스 ₁ )/(엑스 ₀ – 엑스 ₁ )×f ₀ + (x – x ₀ )/(엑스 ₁ – 엑스 ₀ )×f ₁

4. 2차 라그랑주 보간식이란 무엇입니까?

2차 라그랑주 보간 공식은 다음과 같습니다.

f(x) = [(x – x ₁ )(x – x ₂ )/(엑스 ₀ – 엑스 ₁ )(엑스 ₀ – 엑스 ₂ )]×f ₀ + [(x – x ₀ )(x – x ₂ )/(엑스 ₁ – 엑스 ₀ )(엑스 ₁ – 엑스 ₂ )]×f ₁ + [(x – x ₀ )(x – x ₁ )/(엑스 ₂ – 엑스 ₀ )(엑스 ₂ – 엑스 ₂ )]×f ₀

라그랑주 보간 공식

라그랑주 보간이란 무엇입니까?

라그랑주 보간 공식

n차에 대한 라그랑주 보간 공식

라그랑주 1차 보간 공식

라그랑주 2차 보간 공식

라그랑주 정리의 증명

라그랑주 보간 공식의 특성

라그랑주 보간 공식의 사용

라그랑주 보간 공식을 사용한 예

라그랑주 보간 공식에 대한 FAQ

1. 라그랑주 보간 공식이란 무엇입니까?

2. 라그랑주 보간 공식의 응용은 무엇입니까?

3. 1차 라그랑주 보간식이란 무엇입니까?

4. 2차 ​​라그랑주 보간식이란 무엇입니까?

4. 2차 라그랑주 보간식이란 무엇입니까?