Newton Raphson 방법 또는 Newton 방법은 방정식을 수치적으로 풀 수 있는 강력한 기술입니다. 이는 실수 값 함수의 근을 근사하는 데 가장 일반적으로 사용됩니다. Newton Rapson Method는 Isaac Newton과 Joseph Raphson에 의해 개발되었으므로 Newton Rapson Method라는 이름이 붙었습니다.
Newton Raphson 방법에는 초기 추측을 반복적으로 개선하여 원하는 근을 향해 수렴하는 작업이 포함됩니다. 그러나 이 방법은 차수가 높은 방정식이나 다항식의 근을 계산하는 데는 효율적이지 않지만 차수가 작은 방정식의 경우 이 방법을 사용하면 매우 빠른 결과를 얻을 수 있습니다. 이번 글에서는 Newton Raphson 방법과 이 방법을 사용하여 근을 계산하는 단계에 대해 알아봅니다.
내용의 테이블
뉴턴 랩슨 방법이란 무엇입니까?
뉴턴 방법이라고도 알려진 뉴턴-랩슨 방법은 실수 값 함수의 근을 찾는 데 사용되는 반복 수치 방법입니다. 이 공식은 아이작 뉴턴 경(Sir Isaac Newton)과 조셉 랩슨(Joseph Raphson)이 독립적으로 개발에 기여했기 때문에 이름이 붙여졌습니다. 뉴턴 랩슨 방법(Newton Raphson Method) 또는 뉴턴 방법(Newton's Method)은 첫 번째 반복에 대한 추측(x0) 그리고 다음 반복(x)을 근사화합니다.1)는 다음 공식을 사용하여 근에 가깝습니다.
엑스 1 = x 0 - 에프(엑스) 0 )/f'(x 0 )
어디,
- 엑스 0 x의 초기값이고,
- 에프(엑스 0 ) 는 초기값에서의 방정식의 값이고,
- f'(x 0 ) 초기 값 x에서 방정식 또는 함수의 1차 도함수 값입니다.0.
메모: f'(x0)는 0이 아니어야 합니다. 그렇지 않으면 공식의 분수 부분이 무한대로 변경됩니다. 이는 f(x)가 상수 함수가 아니어야 함을 의미합니다.
뉴턴 랩슨 방법 공식
일반적인 형태로 Newton-Raphson 방법 공식은 다음과 같이 작성됩니다.
엑스 N = x n-1 - 에프(엑스) n-1 )/f'(x n-1 )
어디,
- 엑스 n-1 추정값은 (n-1)입니다.일함수의 루트,
- 에프(엑스 n-1 ) (n-1)에서의 방정식의 값입니다.일추정 루트 및
- f'(x n-1 ) x에서 방정식 또는 함수의 1차 도함수 값입니다.n-1.
Newton Raphson 방법 계산
근이 f(x) = 0으로 계산되는 방정식 또는 함수를 가정합니다.
Newton Raphson 방법의 타당성을 증명하기 위해 다음 단계를 따릅니다.
1 단계: 아래와 같이 다양한 x 값에 대한 f(x) 그래프를 그립니다.
파이썬 프로그램 목록2 단계: x에서 f(x)에 접선이 그려집니다.0. 이것이 초기값입니다.
3단계: 이 접선은 고정된 점(x)에서 X축과 교차합니다.1,0) f(x)의 1차 도함수가 0이 아닌 경우, 즉 f'(x 0 ) ≠ 0.
4단계: 이 방법은 근의 반복을 가정하므로 이 x1근의 다음 근사치로 간주됩니다.
5단계: 이제 실제 루트 x에 도달할 때까지 2~4단계가 반복됩니다.*.
이제 우리는 모든 직선의 기울기-절편 방정식이 y = mx + c로 표현된다는 것을 알고 있습니다.
어디 중 는 선의 기울기이고 씨 는 선의 x절편입니다.
동일한 공식을 사용하여 다음을 얻습니다.
와이 = 에프(엑스 0 ) + f'(x 0 ) (x − x 0 )
여기서 f(x0)는 c와 f'(x)를 나타냅니다.0)는 접선 m의 기울기를 나타냅니다. 이 방정식은 x의 모든 값에 대해 적용되므로 x에 대해서도 적용되어야 합니다.1. 따라서 x를 x로 대체하면1, 근을 계산해야 하므로 방정식을 0으로 동일시하면 다음을 얻습니다.
0 = 에프(엑스 0 ) + f'(x 0 ) (엑스 1 - x 0 )
엑스 1 = x 0 - 에프(엑스) 0 )/f'(x 0 )
Newton Raphson 방법 공식은 다음과 같습니다.
따라서 Newton Raphson의 방법은 수학적으로 증명되었고 타당하다고 받아들여졌습니다.
Newton Raphson 방법의 융합
Newton-Raphson 방법은 다음 조건이 참일 때 수렴하는 경향이 있습니다.
|f(x).f(x)| <|f'(x)|2
이는 x에서의 함수 값과 x에서의 함수의 2차 도함수 곱의 모듈러스가 x에서의 함수의 1차 도함수 모듈러스의 제곱보다 작을 때 방법이 수렴된다는 것을 의미합니다. Newton-Raphson 방법은 2차 수렴을 가지며 이는 2차 수렴을 의미합니다.
메모:
Newton Raphson의 방법은 함수의 1차 도함수가 0이면 유효하지 않습니다. 이는 f'(x) = 0을 의미합니다. 이는 주어진 함수가 상수 함수인 경우에만 가능합니다.
Newton Raphson 방법과 관련된 기사:
- 근을 찾는 뉴턴의 방법
- Newton Raphson 방법과 일반 Falsi 방법의 차이점
- Bisection 방법과 Newton Raphson 방법의 차이점
- 근 찾기 알고리즘
Newton Raphson 방법 예
실수 값 함수의 근을 찾는 과정에 대해 자세히 알아보기 위해 다음 예를 고려해 보겠습니다.
예: 초기값 x의 경우 0 = 3, f(x)=x의 근을 근사화합니다. 삼 +3x+1.
해결책:
주어진, x0= 3 및 f(x) = x삼+3x+1
f'(x) = 3x2+3
f'(x0) = 3(9) + 3 = 30
에프(엑스0) = f(3) = 27 + 3(3) + 1 = 37
Newton Raphson 방법 사용:
엑스1= x0- 에프(엑스)0)/f'(x0)
= 3 - 37/30
= 1.767
Newton Raphson 방법의 문제 해결
문제 1: 초기값 x에 대해 0 = 1, f(x)=x의 근을 근사화합니다. 2 −5x+1.
해결책:
주어진, x0= 1 및 f(x) = x2-5x+1
f'(x) = 2x-5
f'(x0) = 2 – 5 = -3
에프(엑스0) = f(1) = 1 – 5 + 1 = -3
Newton Raphson 방법 사용:
엑스1= x0- 에프(엑스)0)/f'(x0)
⇒ x1= 1 – (-3)/-3
⇒ x1= 1 -1
⇒ x1= 0
문제 2: 초기값 x에 대해 0 = 2, f(x)=x의 근을 근사화합니다. 삼 −6x+1.
해결책:
주어진, x0= 2 및 f(x) = x삼-6x+1
f'(x) = 3x2– 6
f'(x0) = 3(4) – 6 = 6
에프(엑스0) = f(2) = 8 – 12 + 1 = -3
Newton Raphson 방법 사용:
엑스1= x0- 에프(엑스)0)/f'(x0)
⇒ x1= 2 – (-3)/6
⇒ x1= 2 + 1/2
⇒ x1= 5/2 = 2.5
문제 3: 초기값 x에 대해 0 = 3, f(x)=x의 근을 근사화합니다. 2 -3.
해결책:
비제이 영화배우
주어진, x0= 3 및 f(x) = x2-삼
f'(x) = 2x
f'(x0) = 6
에프(엑스0) = f(3) = 9 – 3 = 6
Newton Raphson 방법 사용:
엑스1= x0- 에프(엑스)0)/f'(x0)
⇒ x1= 3 – 6/6
⇒ x1= 2
문제 4: 방정식 f(x) = x의 근을 구합니다. 삼 – 초기값이 2인 경우 3 = 0입니다.
해결책:
주어진 x0= 2 및 f(x) = x삼- 삼
f'(x) = 3x2
f'(x0= 2) = 3 × 4 = 12
에프(엑스0) = 8 – 3 = 5
Newton Raphson 방법 사용:
엑스1= x0- 에프(엑스)0)/f'(x0)
스레드 동기화⇒ x1= 2 – 5/12
⇒ x1= 1,583
Newton Raphson 방법을 다시 사용하여:
엑스2= 1.4544
엑스삼= 1.4424
엑스4= 1.4422
따라서 방정식의 근은 대략 x = 1.442입니다.
문제 5: 방정식 f(x) = x의 근을 구합니다. 삼 – 5x + 3 = 0, 초기값이 3인 경우.
해결책:
주어진 x0= 3 및 f(x) = x삼– 5x + 3 = 0
f'(x) = 3x2- 5
f'(x0= 3) = 3 × 9 – 5 = 22
에프(엑스0= 3) = 27 – 15 + 3 = 15
Newton Raphson 방법 사용:
엑스1= x0- 에프(엑스)0)/f'(x0)
⇒ x1= 3 – 15/22
⇒ x1= 2.3181
Newton Raphson 방법을 다시 사용하여:
엑스2= 1.9705
엑스삼= 1.8504
엑스4= 1.8345
엑스5= 1.8342
따라서 방정식의 근은 대략 x = 1.834입니다.
Newton Raphson 방법에 대한 FAQ
Q1: Newton Raphson 방법을 정의합니다.
답변:
뉴턴 랩슨 방법(Newton Raphson Method)은 주어진 실수 값 함수의 근을 근사화하는 수치 방법입니다. 이 방법에서는 근을 근사화하기 위해 다양한 반복을 사용했으며, 반복 횟수가 많을수록 계산된 근 값의 오류가 줄어듭니다.
Q2: Newton Raphson Method의 장점은 무엇인가요?
답변:
뉴턴 랩슨(Newton Raphson) 방법은 작은 차수로도 방정식의 근을 매우 효율적이고 빠르게 추측할 수 있다는 장점이 있습니다.
Q3: Newton Raphson Method의 단점은 무엇인가요?
답변:
Newton Raphson 방법의 단점은 다항식의 차수가 매우 커지면 매우 복잡해지는 경향이 있다는 것입니다.
Q4: Newton Raphson 방법의 실제 적용 사례를 기술하십시오.
답변:
Newton Raphson 방법은 실제 생활에서 배수망의 물 흐름을 분석하는 데 사용됩니다.
Q5: Newton-Raphson 방법은 어떤 이론에 기초하고 있나요?
답변:
Newton Raphson 방법은 미적분학 이론과 곡선의 접선에 기초합니다.