목적 함수는 이름에서 알 수 있듯이 선형 프로그래밍 문제의 목적입니다. 선형 프로그래밍 또는 선형 최적화에서는 몇 가지 제약 조건이 있는 선형 문제에 대한 최적의 솔루션을 찾기 위해 다양한 기술과 방법을 사용합니다. 이 기술에는 부등식 제약 조건도 포함될 수 있습니다. 선형 프로그래밍의 목적 함수는 주어진 문제에 대한 최적의 솔루션을 찾기 위해 최적화하는 것입니다.
이 글에서는 정의, 유형, 주어진 문제에 대한 목적 함수를 공식화하는 방법 등 목적 함수에 대한 모든 것을 배울 것입니다. 또한 선형 목적 함수 또는 비선형 목적 함수와 같은 목적 함수의 다양한 표현도 배울 것입니다. 기능. 이제 선형 계획법의 기본 개념, 즉 목적 함수에 대해 알아보겠습니다.
목적 함수란 무엇입니까?
이름에서 알 수 있듯이 목적 함수는 기본적으로 문제의 목적을 설정합니다. 제약 조건에 기반한 의사 결정에 중점을 둡니다. 제약 조건에 따라 최대화되거나 최소화되는 실수 값 함수입니다. 이는 이익 또는 손실 함수와 같습니다. 일반적으로 Z로 표시됩니다.
목적 함수와 관련된 용어는 다음과 같습니다.
- 제약: 기본적으로 선형 함수를 제어하는 조건 방정식입니다.
- 결정 변수: 값을 알아낼 변수입니다. 이러한 변수의 최적 값을 얻기 위해 방정식이 풀립니다.
- 실현 가능 지역: 제약 조건이 충족되고 결정 변수가 해당 영역의 모서리에서 발견되는 그래프의 영역입니다.
- 최적의 솔루션: 모든 제약 조건을 충족하고 최고 또는 최저 목표를 달성하는 최상의 솔루션입니다.
- 실현 불가능한 솔루션: 하나 이상의 제약 조건을 위반하여 구현하거나 실행할 수 없는 솔루션입니다.
선형 계획법의 목적 함수
선형 계획법에서 목적 함수는 두 개의 결정 변수로 구성된 선형 함수입니다. 제약 조건에 따라 최대화되거나 최소화되는 선형 함수입니다. a와 b가 상수이고 x와 y가 x> 0이고 y> 0인 의사결정 변수인 경우 목적 함수는 다음과 같습니다.
Z = 도끼 + 에 의해
자바 문자열 cmp
따라서 최적화 함수의 최적 값을 얻으려면 먼저 기술을 사용하여 제약 조건을 해결하고 결정 변수를 찾아야 합니다. 그런 다음 결정 변수의 값을 목적 함수에 넣어 최적의 값을 생성합니다.
목적 함수 공식화
선형 프로그래밍은 의사결정 변수의 최적 값을 찾고 해당 값을 목적 함수에 넣어 최대값 또는 최소값을 생성하는 것입니다. 선형계획법을 해결하기 위해서는 심플렉스법(Simplex Method), 그래픽법(Graphical Method) 등 다양한 기법이 있습니다. 그러나 그래픽 방법은 단순성 때문에 일반적으로 선호됩니다. 목적 함수의 최적 값을 얻는 단계는 다음과 같습니다.
- 문제에서 제약 방정식과 목적 함수를 생성합니다.
- 그래프에 제약 방정식을 플롯합니다.
- 이제 제약 조건이 충족되는 실행 가능한 영역을 식별합니다.
- 실현 가능 영역의 모서리에 위치한 결정 변수의 값을 생성합니다.
- 생성된 모든 값을 목적함수에 넣어 최적의 값을 생성합니다.
목적 함수의 일반적인 유형
목적 함수에는 두 가지 유형이 있습니다.
- 최대화 목적 함수
- 최소화 목적 함수
이 두 가지 유형에 대해 다음과 같이 자세히 설명하겠습니다.
최대화 목적 함수
이 유형에서는 일반적으로 목적 함수를 최대화하는 것을 목표로 합니다. 제약 조건을 그래프로 그린 후 찾은 정점은 목적 함수의 최대값을 생성하는 경향이 있습니다. 예를 들어 설명해 보겠습니다.
예: 한 남자가 지갑과 책가방을 만드는 데 최대 8시간을 투자합니다. 그는 지갑을 만드는 데 2시간, 책가방을 만드는 데 4시간을 투자합니다. 그는 최대 5개의 지갑과 책가방을 만드는 것을 목표로 하고 이를 판매하여 지갑에서 Rs 20, 책가방에서 Rs 100의 수익을 창출하려고 합니다. 목적 함수를 구합니다.
해결책:
x를 로티스의 수, y를 빵의 수라고 하겠습니다.
남자는 지갑 만드는 데 2시간, 책가방 만드는 데 4시간을 투자해 최대 8시간을 투자할 수 있다. 따라서 첫 번째 제약 방정식은 다음과 같습니다.
2x + 4년 ⩽ 8
⇒ x + 2y ⩽ 4
그가 만들 수 있는 최대 수는 5개이다.
x+y ⩽ 5
목적 함수를 Z로 표시하자
따라서 Z = 20x + 100y
DS에 스택
최소화 목적 함수
이 유형에서는 일반적으로 목적 함수를 최소화하는 것을 목표로 합니다. 제약 조건을 그래프로 그린 후 찾은 꼭지점은 목적 함수의 최소값을 생성하는 경향이 있습니다. 예를 들어 설명해 보겠습니다.
예: 두 변수의 합이 20 이상이면 한 변수가 9보다 크다고 가정합니다. 한 변수의 비용이 2단위이고 다른 변수의 비용이 9단위인 경우 목적 함수를 도출합니다.
해결책:
x와 y를 두 변수로 둡니다. 두 변수의 합이 20 이상이어야 합니다.
x+y ⩾ 20
그리고 x ⩾ 9
위의 두 부등식은 다음 목적 함수에 대한 제약 조건입니다.
목적 함수를 Z로 표시합니다. 따라서 Z는
Z = 2x + 9y
목적 함수의 수학적 표현
선형 프로그래밍의 맥락에서 목적 함수에 대해 논의한 것처럼 목적 함수도 비선형일 수 있습니다.
- 선형 목적 함수: 이 유형의 목적 함수에서는 제약 조건과 목적 함수가 모두 본질적으로 선형입니다. 변수의 지수는 1입니다.
- 비선형 목적 함수: 이 유형의 목적 함수에서는 제약 조건과 목적 함수가 모두 본질적으로 선형입니다. 변수의 지수는 1이거나 1보다 큽니다.
목적 함수의 응용
목적 함수는 실제 시나리오에서 중요합니다. 예를 들어, 이러한 기능은 사업가가 사용합니다. 사업가들은 이익을 극대화하기 위해 그것을 사용합니다. 목적 함수는 교통 문제에도 유용합니다. 기능을 설정하면 연료 소비가 얼마나 발생하는지 분석하고 이에 따라 사용자가 연료 가격을 어떻게 낮출 수 있는지 분석할 수 있습니다. 목적 함수는 거리 문제에도 유용합니다.
목적 함수에 대한 문제 해결
문제 1: 어떤 사람이 벨트와 지갑을 원합니다. 그는 총 Rs 6000를 저축하고 있으며 나중에 팔 수 있도록 벨트와 지갑을 구입하는 데 저축한 금액을 모두 사용하려고 합니다. 지갑의 가치는 Rs 20이고 벨트의 가치는 Rs 10입니다. 그는 그것을 찬장에 보관하려고 하며 찬장의 최대 용량은 50개입니다. 그는 벨트에서 2루피, 지갑에서 3루피의 이익을 기대합니다. 제약 조건과 결과 목적 함수를 찾습니다.
해결책:
x를 구매할 지갑 수, y를 구매할 벨트 수로 설정합니다. 문제에서 최대값이 언급될 때마다 '⩽'를 사용하여 제약 조건을 찾아야 한다는 점에 유의하세요.
최대 투자액은 Rs 6000입니다. 첫 번째 제약 방정식은 다음과 같습니다.
20x+10y⩽6000
찬장의 최대 저장 용량은 50입니다.
x+y⩽50
여기서 이익함수는 기본적으로 목적함수이다. 이를 P로 표시합니다. 따라서 이익 함수는 다음과 같습니다.
P = 3x + 2y
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문제 2: 주어진 세트에서 제약 방정식과 목적 함수를 식별합니다.
- 2x + 3년 ⩾ 50
- x + y ⩽ 50
- 5x + 4년 ⩽ 40
- Z = 7x + 8y
여기서 x와 y는 0보다 큽니다.
해결책:
제약 조건은 부등식 또는 부등식 형식일 수 있습니다. 그러나 목적 함수에는 항상 등호 기호가 있습니다.
따라서 제약 방정식은 다음과 같습니다.
2x + 3년 ⩾ 50
x + y ⩽ 50
5x + 4년 ⩽ 40
목적 방정식은 Z = 7x + 8y입니다.
문제 3: 한 여성이 로티와 빵을 만드는 데 최대 7시간의 시간을 투자합니다. 그녀는 로티스에 2시간, 빵에 4시간을 투자합니다. 그녀는 최대 20개의 빵과 로티를 만드는 것을 목표로 하고 이를 판매하여 로티에서 2루피, 빵에서 1루피의 수익을 창출하려고 합니다. 목적 함수를 구합니다.
해결책:
x를 로티스의 수, y를 빵의 수라고 하겠습니다.
numpy 내적여성은 로티 만드는 데 2시간, 빵 만드는 데 4시간을 투자해 최대 7시간을 투자할 수 있다. 따라서 첫 번째 제약 방정식은 다음과 같습니다.
2x + 4년 ⩽ 7
그녀가 만들 수 있는 빵과 로티스의 최대 개수는 20개입니다.
x + y ⩽ 20
목적 함수를 Z로 표시하자
따라서 Z = 2x + y입니다.
문제 4: 회사는 제품 A와 제품 B를 제조하려고 합니다. 제품 A에는 코코아 가루 4단위와 분유 1단위가 필요합니다. 제품 B에는 코코아 가루 3단위와 분유 2단위가 필요합니다. 코코아파우더는 87개 단위, 분유는 45개 단위가 있습니다. 각 제품에서 얻을 수 있는 이익은 각각 3달러와 5달러입니다. 목적 함수를 구합니다.
해결책:
x는 제품 A의 개수를 나타내고 y는 B 유형의 항목 개수를 나타냅니다.
코코아파우더의 최대 수량은 87개입니다. 따라서 첫 번째 제약 방정식은 다음과 같습니다.
4x + 3년 ⩽ 87
사용 가능한 최대 분유량은 45개입니다. 따라서 두 번째 제약 방정식은 다음과 같습니다.
x + 2y ⩽ 45
여기서 우리의 목표는 이익을 극대화하는 것입니다. 따라서 우리의 이익함수는 목적함수입니다. Z로 표시하자
Z = 3x + 5y
문제 5: 비타민으로 구성된 두 가지 유형의 식품 패킷 A와 B가 생성됩니다. 사용할 수 있는 식품 패킷 A가 45개 이상 있고 두 식품 패킷의 제조는 모두 30개 이상이어야 합니다. 식품 패킷 A에는 6단위의 비타민이 있고 식품 패킷 B에는 8단위가 있는 경우 생성할 목적 함수를 생성합니다. .
해결책:
x를 음식 봉지 A의 수, y를 음식 봉지 B의 수로 설정합니다.
최소 45개의 음식 패킷을 제공해야 합니다. 따라서 첫 번째 제약 방정식은 다음과 같습니다.
x⩾45
두 번째 제약 방정식은 다음과 같습니다.
x + y ⩾ 30
목적 함수는 다음과 같습니다.
Z = 6x + 8y
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목적 함수에 대한 FAQ
Q1: 선형 계획법 문제의 목적 함수는 무엇입니까?
답변:
목적 함수는 제약 조건에 따라 최대화되거나 최소화되는 실수 값 함수입니다. 이는 두 가지 결정 변수로 구성됩니다.
Q2: 목적 함수의 목적은 무엇입니까?
답변:
목적 함수의 목적은 결과 값을 최대화하거나 최소화하는 것입니다. 의사결정 변수로 표현되는 방정식으로 선형 계획법에서 중요한 역할을 합니다.
Q3: 기능을 최대화할지 최소화할지 어떻게 알 수 있나요?
답변:
기능이 최대화되는지 확인하려면 '최대', '적어도'와 같은 용어에 익숙해야 합니다. 문제의 '적어도'라는 용어가 제공되면 목적 함수가 최소화됩니다. '최대'라는 용어의 경우 기능이 최대화되어야 합니다.
Q4: 목적 함수의 일반적인 유형을 지정하세요.
답변:
목적 함수에는 두 가지 유형이 있습니다.
- 최대화 목적 함수
- 최소화 목적 함수
Q5: 목적 함수의 응용 분야는 무엇입니까?
답변:
목적 함수는 다양한 용도로 사용됩니다. 실제 시나리오에서 유용합니다. 기본적으로 각 경우에 손익을 추정하는 데 사용됩니다. 목적 함수는 교통 문제, 시간 제약 문제 등에 유용합니다.