파스칼의 삼각형 삼각형 형태로 배열된 숫자 패턴입니다. 이 삼각형은 삼각형 모양을 형성하는 방식으로 구성된 숫자를 사용하여 이항식의 확장을 위한 계수를 제공합니다. 즉, 파스칼 삼각형의 두 번째 행은 (x+y)의 계수를 나타냅니다.²등등.

파스칼의 삼각형에서 각 숫자는 위의 두 숫자의 합입니다. 파스칼의 삼각형은 확률 이론, 조합론, 대수학 및 기타 다양한 수학 분야에 다양하게 응용됩니다.

자세히 알아보겠습니다. 파스칼의 삼각형, 그 구조, 파스칼의 삼각형의 다양한 패턴이 이 글에 자세히 나와 있습니다.

내용의 테이블

• 파스칼의 삼각형은 무엇입니까?
• 파스칼의 삼각형은 무엇입니까?
• 파스칼의 삼각형 정의
• 파스칼의 삼각형 구성
• 파스칼의 삼각형 공식
• 파스칼의 삼각형 이항 전개
• 파스칼의 삼각형을 사용하는 방법?
• 파스칼의 삼각형 패턴
• 행 추가
• 파스칼의 삼각형의 소수
• 파스칼 삼각형의 대각선
• 파스칼 삼각형의 피보나치 수열
• 파스칼의 삼각형 속성
• 파스칼의 삼각형 예

파스칼의 삼각형은 무엇입니까?

1로 시작하는 숫자 패턴을 개발한 유명한 철학자이자 수학자 발리스 '파스칼'의 이름을 따서 명명되었으며, 아래 숫자는 위 숫자의 합입니다. 먼저 숫자 1을 적어서 파스칼의 삼각형 만들기를 시작하세요. 두 번째 행에는 다시 1이 두 개 기록됩니다. 다른 행은 이전 행을 사용하여 생성되어 숫자의 삼각형을 만듭니다. 각 행은 1로 시작하고 끝납니다.

파스칼 삼각형의 기본 구조는 아래 추가된 이미지에 나와 있습니다.

파스칼의 삼각형은 무엇입니까?

우리는 파스칼 삼각형을 파스칼 삼각형의 각 요소가 그 위에 있는 두 숫자의 합이 되도록 삼각형 배열로 배열된 기본 숫자 집합으로 정의합니다. 파스칼의 삼각형은 1로 시작하는데, 이는 프랑스의 유명한 수학자 발리즈 파스칼이 처음 제안하여 파스칼의 삼각형이라고 불립니다.

이 삼각형은 다양한 거듭제곱에 대한 이항 확장 계수를 나타냅니다. (이항 확장의 거듭제곱은 자연수이고 파스칼의 삼각형만이 이항 확장의 계수를 나타내는지 확인해야 합니다.)

파스칼의 삼각형 정의

파스칼의 삼각형은 각 숫자가 바로 위에 있는 두 숫자의 합인 숫자의 삼각형 배열입니다.

파스칼의 삼각형 구성

위 행의 두 숫자를 추가하여 아래 행의 다음 숫자를 얻으면 Pad=scal의 삼각형을 쉽게 구성할 수 있습니다. 0번째 행은 단일 요소 1로 시작하고 두 번째 행의 요소는 1+0과 1+0을 더하여 형성된 1 1이라고 가정할 수 있습니다. 마찬가지로 두 번째 행의 원소는 1+0, 1+1, 1+0을 더하여 1 2 1 2hich가 형성되어 세 번째 행의 원소가 획득된다. 이 개념을 n번째 행으로 확장하면 n+1개 행으로 구성된 파스칼의 삼각형이 생성됩니다.

아래 그림은 파스칼의 삼각형 3번째 행까지의 모습입니다.

위 그림에서 각 행의 첫 번째 요소와 마지막 요소가 1이라는 것을 쉽게 알 수 있습니다.

파스칼의 삼각형 공식

파스칼 삼각형 공식은 m번째 열과 n번째 행에 채워질 숫자를 구하는 공식입니다. 우리가 알고 있듯이 파스칼 삼각형의 항은 위 행의 항의 합입니다. 따라서 m번째 열과 n번째 행에서 필요한 숫자를 얻으려면 (n-1)번째 행과 (m-1)번째 및 n번째 열의 요소가 필요합니다.

자세히 읽어보세요: 파스칼의 삼각형 공식

파스칼 삼각형의 n번째 행의 요소는 다음과 같습니다.^N씨₀,^N씨₁,^N씨₂, …,^N씨_N.

파스칼의 삼각형에서 숫자를 찾는 공식은 다음과 같습니다.

^N cm = ^n-1 씨 _m-1 + ^n-1 씨 _중

어디,

• ^N 씨 _중 n번째 행의 (m+1)번째 요소를 나타냅니다.
• N 음이 아닌 정수입니다 [0 ≤ m ≤ n]

아래에 설명된 예를 사용하여 이 공식을 이해할 수 있습니다.

예: 파스칼 삼각형의 세 번째 행에서 세 번째 요소를 찾습니다.

해결책:

파스칼의 삼각형의 세 번째 행에서 세 번째 요소를 찾아야 합니다.

파스칼 삼각형 공식은,

^N씨_케이=^n-1씨_k-1+^n-1씨_케이

어디^N씨_케이(k+1)을 나타냄^일n의 요소^일열.

따라서 세 번째 행의 세 번째 요소는 다음과 같습니다.

^삼씨₂=²씨₁+²씨₂

⇒^삼씨₂= 2 + 1

⇒^삼씨₂= 3

따라서 파스칼 삼각형의 세 번째 행의 세 번째 요소는 3입니다.

파스칼의 삼각형 이항 전개

우리는 계수를 쉽게 찾을 수 있습니다. 이항 확장 파스칼의 삼각형을 이용하여 파스칼 삼각형의 (n+1)번째 행에 있는 요소는 다항식 (x + y)의 확장된 표현의 계수를 나타냅니다.^N.

우리는 (x + y)의 확장을 알고 있습니다.^N이다,

(x + y)^N=a₀엑스^N+ 에₁엑스^n-1그리고 +₂엑스^n-2그리고²+ ... + 에_n-1xy^n-1+ 에_N그리고^N

여기에₀, ㅏ₁, ㅏ₂, ㅏ_삼, …., ㅏ_N파스칼의 삼각형의 (n+1)번째 행에 있는 항입니다.

예를 들어 (x+y)의 확장을 참조하세요.⁴

(x + y)⁴=⁴씨₀엑스⁴+⁴씨₁엑스^삼그리고 +⁴씨₂엑스²그리고²+⁴씨_삼xy^삼+⁴씨₄엑스⁰그리고⁴

⇒ (x + y)⁴= (1)x⁴+ (4)x^삼와이 + (6)x²그리고²+ (4)XY^삼+ (1)y⁴

여기서 계수 1, 4, 6, 4, 1은 파스칼의 삼각형의 네 번째 행의 요소입니다.

파스칼의 삼각형을 사용하는 방법?

우리는 확률 조건에서 가능한 결과의 다양한 경우를 찾기 위해 파스칼 삼각형을 사용합니다. 이는 다음 예에서 이해할 수 있습니다. 동전을 던져 두 가지 결과, 즉 H와 T를 얻을 때 이는 파스칼의 삼각형의 첫 번째 행에 있는 요소로 표시됩니다.

마찬가지로 동전을 두 번 던지면 세 가지 결과, 즉 {H, H}, {H, T}, {T, H} 및 {T, T}를 얻습니다. 이 조건은 파스칼 삼각형의 두 번째 행에 있는 요소로 표시됩니다.

따라서 파스칼 삼각형의 각 요소를 관찰하는 것만으로도 동전 던지기 실험에서 가능한 결과 수를 쉽게 알 수 있습니다.

아래 표는 동전을 1회, 2회, 3회, 4회 던지는 경우와 파스칼의 삼각형에 따른 경우를 나타냅니다.

파스칼의 삼각형 패턴

우리는 파스칼의 삼각형에서 다음과 같은 다양한 패턴을 관찰합니다.

• 행 추가
• 삼각형의 소수
• 파스칼 삼각형의 대각선
• 피보나치 패턴

행 추가

파스칼의 삼각형을 자세히 관찰하면 파스칼의 삼각형에 있는 모든 행의 합은 2의 거듭제곱과 같다는 결론을 내릴 수 있습니다. 이에 대한 공식은 다음과 같습니다.^일파스칼의 삼각형 행의 모든 ​​요소의 합은 2입니다.^N

파스칼 삼각형의 처음 4행에 이 공식을 적용하면,

1 = 1 = 2⁰

1 + 1 = 2 = 2¹

1 + 2 + 1 = 4 = 2²

1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2^삼

파스칼의 삼각형의 소수

파스칼 삼각형의 또 다른 매우 흥미로운 패턴은 행이 소수로 시작하면(각 행의 시작 부분에서 1을 무시함) 해당 행의 모든 ​​요소가 해당 소수로 나누어진다는 것입니다. 이 패턴은 합성수에는 적용되지 않습니다.

예를 들어, 파스칼 삼각형의 여덟 번째 행은 다음과 같습니다.

1 7 21 35 35 21 7 1

여기서 모든 요소는 7로 나누어집니다.

다섯 번째 행과 같이 합성수로 시작하는 행의 경우,

1 4 6 4 1

4는 6을 나누지 않으므로 이 패턴은 참이 아닙니다.

파스칼 삼각형의 대각선

파스칼의 삼각형의 각 오른쪽 대각선은 수열로 간주될 때 첫 번째 오른쪽 대각선은 숫자 1의 수열을 나타내고, 두 번째 오른쪽 대각선은 삼각형 수를 나타내고, 세 번째 오른쪽 대각선은 사면체 수를 나타내고, 네 번째 오른쪽 대각선은 서로 다른 숫자를 나타냅니다. 페넬로페 숫자 등을 나타냅니다.

파스칼 삼각형의 피보나치 수열

파스칼 삼각형의 대각선에 있는 숫자를 간단히 더하면 피보나치 수열을 쉽게 얻을 수 있습니다. 이 패턴은 아래 추가된 이미지에 나와 있습니다.

파스칼의 삼각형 속성

파스칼 삼각형의 다양한 성질은,

• 파스칼 삼각형의 모든 숫자는 그 위에 있는 숫자의 합입니다.
• 파스칼의 삼각형의 시작 숫자와 끝 숫자는 항상 1입니다.
• 파스칼의 삼각형의 첫 번째 대각선은 자연수 또는 계수를 나타냅니다.
• 파스칼 삼각형의 각 행에 있는 요소의 합은 2의 거듭제곱을 사용하여 제공됩니다.
• 각 행의 요소는 11의 거듭제곱입니다.
• 파스칼 삼각형은 대칭 삼각형입니다.
• 파스칼 삼각형의 모든 행에 있는 요소는 이항 확장 계수를 나타내는 데 사용될 수 있습니다.
• 파스칼 삼각형의 대각선을 따라 피보나치 수열이 관찰됩니다.

파스칼의 삼각형 관련 기사:

• 이항정리
• 이항확률변수와 이항분포

파스칼의 삼각형 예

예 1: 찾기 파스칼의 삼각형의 다섯 번째 줄.

해결책:

아래 그림은 5줄의 파스칼 삼각형을 보여줍니다.

예제 2: 파스칼 삼각형(a + b)을 사용하여 확장 ² .

해결책:

먼저 계수 없이 일반 표현식을 작성합니다.

(a + b)²=c₀ㅏ²비⁰+ ㄷ₁ㅏ¹비¹+ ㄷ₂ㅏ⁰비²

이제 계수를 알아내기 위해 3행에 대한 파스칼 삼각형을 만들어 보겠습니다.

마지막 행의 값은 계수 값을 제공합니다.

씨₀= 1, c₁= 2,c₂=1

(a + b)²=a²비⁰+ 2A¹비¹+ 에⁰비²

따라서 확인되었습니다.

예제 3: 파스칼 삼각형(a + b)을 사용하여 확장 ⁶ .

해결책:

먼저 계수 없이 일반 표현식을 작성합니다.

(a + b)⁶=c₀ㅏ⁶비⁰+ ㄷ₁ㅏ⁵비¹+ ㄷ₂ㅏ⁴비²+ ㄷ_삼ㅏ^삼비^삼+ ㄷ₄ㅏ²비⁴+ ㄷ₅ㅏ¹비⁵+ ㄷ₆ㅏ⁰비⁶

이제 계수를 알아내기 위해 7개 행에 대한 파스칼 삼각형을 만들어 보겠습니다.

마지막 행의 값은 계수 값을 제공합니다.

씨₀= 1, c₁= 6,c₂= 15,c_삼= 20, c₄=15,c₅= 6 및 c₆= 1.

(a + b)⁶= 1a⁶비⁰+ 6a⁵비¹+ 15a⁴비²+ 20a^삼비^삼+ 15a²비⁴+ 6a¹비⁵+ 1a⁰비⁶

예 4: 파스칼 삼각형의 세 번째 행에서 두 번째 요소를 찾습니다.

해결책:

파스칼의 삼각형의 세 번째 행에서 두 번째 요소를 찾아야 합니다.

우리는 파스칼의 삼각형의 n번째 행이 다음과 같다는 것을 알고 있습니다.^N씨₀,^N씨₁,^N씨₂,^N씨_삼…

파스칼 삼각형 공식은,

부스 알고리즘

^N씨_케이=^n-1씨_k-1+^n-1씨_케이

어디^N씨_케이(k+1)을 나타냄^일n의 요소^일열.

따라서 세 번째 행의 두 번째 요소는 다음과 같습니다.

^삼씨₁=²씨₀+²씨₁

= 1 + 2

= 3

따라서 파스칼 삼각형의 세 번째 행의 두 번째 요소는 3입니다.

예 5: 동전을 네 번 던졌을 때, 뒷면이 정확히 2번 나올 확률을 구하십시오.

해결책:

파스칼 삼각형 공식을 사용하여,

총 결과 수 = 2⁴= 16 (1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16)

여기서 우리는 2개의 꼬리를 얻는 4가지 경우를 얻습니다.

따라서,

양측의 꼬리가 나올 확률 = 유리한 결과/총 결과

= 4/16 = 1/4

따라서 정확히 두 개의 뒷면이 나올 확률은 1/4 또는 25%입니다.

요약 - 파스칼의 삼각형

파스칼의 삼각형은 숫자를 삼각형으로 배열한 것으로, 각 숫자는 바로 위에 있는 두 숫자의 합입니다. 수학자 블레즈 파스칼(Blaise Pascal)의 이름을 딴 이 삼각형은 맨 위의 단일 1로 시작하고 각 행은 1로 시작하고 끝납니다. 파스칼의 삼각형의 숫자는 이항 전개의 계수에 해당하므로 대수학, 확률 및 수학에서 유용합니다. 조합론. 삼각형 내의 패턴에는 2의 거듭제곱인 행의 합, 피보나치 수열에 대한 연결 및 소수의 존재가 포함됩니다. 파스칼의 삼각형은 조합을 계산하고 동전 던지기와 같은 확률 실험의 결과를 이해하는 데에도 도움이 됩니다.

파스칼의 삼각형에 대한 FAQ

파스칼의 삼각형은 무엇입니까?

유명한 수학자 발리스 파스칼(Balise Pascal)이 제안한 숫자의 삼각형 배열을 파스칼의 삼각형(Pascal's Triangle)이라고 합니다. 이 삼각형은 1로 시작하고 다음 줄에서는 시작 번호와 끝 번호가 1로 고정된 다음 위의 두 숫자를 합하여 중간 숫자가 생성됩니다.

파스칼의 삼각형의 용도는 무엇입니까?

파스칼의 삼각형은 다양한 용도로 사용됩니다.

• 이항 전개의 이항 계수를 찾는 데 사용됩니다.
• 이는 이항항을 확장하는 대체 방법을 제공합니다.
• 대수학, 확률론, 순열, 조합 및 기타 수학 분야에서 사용됩니다.

이항 전개에서 파스칼 삼각형의 용도는 무엇입니까?

우리는 이항 확장에서 모든 항의 계수를 쉽게 찾기 위해 파스칼의 삼각형을 사용합니다. 파스칼의 삼각형(예: n번째)의 모든 행은 (x+y)의 이항 확장 계수를 나타냅니다.^N. 예를 들어, 파스칼의 삼각형의 두 번째 행은 1 2 1이고 (x+y)의 전개는²

(x+y)²= x²+ 2xy + y²

여기서 각 항의 계수는 1 2 1 이며 이는 파스칼의 삼각형의 두 번째 행과 유사합니다.

파스칼의 삼각형에서 발견되는 다양한 패턴은 무엇입니까?

파스칼의 삼각형에서 쉽게 찾을 수 있는 다양한 패턴은 다음과 같습니다.

• 삼각형 패턴
• 홀수 및 짝수 패턴
• 피보나치 패턴
• 대칭 패턴

5는 무엇입니까?^일파스칼의 삼각형의 행?

파스칼 삼각형의 다섯 번째 행은 아래와 같습니다.

1 5 10 10 5 1

우리는 임의의 행에 있는 모든 요소의 합이 2를 사용하여 주어진다는 것을 알고 있습니다.^N여기서 n은 행 수를 나타냅니다. 따라서 다섯 번째 행의 모든 ​​항의 합은 다음과 같습니다.

2⁵= 32

파스칼 삼각형의 각 행의 첫 번째 요소는 무엇입니까?

파스칼 삼각형의 각 행의 첫 번째 요소는 1입니다. 우리는 이 항을 행의 0번째 항이라고 부릅니다.