몫 규칙(Quotient Rule)은 다른 두 함수의 몫인 함수의 도함수를 찾는 방법입니다. 하나의 기능이 다른 기능으로 나누어지는 문제를 차별화하는 데 사용되는 방법입니다. f(x)/g(x) 형식의 함수의 도함수를 찾아야 할 때 몫 규칙을 사용합니다.

미적분학의 몫의 법칙과 공식, 유도에 대해 풀이 예제를 통해 알아봅시다.

몫 규칙 정의

몫의 법칙은 분화 의 형태로 제공되는 기능 중 분수 , 여기서 둘 다 분자 그리고 분모 개별 기능입니다. 몫의 법칙(Quotient Rule)은 다음과 같은 기본 기법입니다. 계산법 2의 몫(비율)인 함수의 도함수를 찾기 위해 미분 가능한 함수 . 하나의 기능이 다른 기능으로 나누어지는 표현을 구별하는 방법을 제공합니다.

함수 f(x) = g(x)/h(x)가 주어졌다고 가정하고, f(x)의 미분, f'(x)는 다음과 같이 발견됩니다.

f'(x) = [g(x) × h'(x) – h(x) × g'(x)] / [h(x)] ²

몫의 법칙 공식

몫의 법칙 공식은 몫 함수로 표현되는 함수의 미분을 구하는 데 사용되는 공식입니다. 아래는 몫의 법칙 공식입니다.

d/dx [u(x)/v(x)] = [v(x) × u'(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

어디,

• 너(엑스) 는 미분 가능한 함수인 첫 번째 함수입니다.
• 너(엑스) 는 함수 u(x)의 도함수이고,
• v(x) 는 미분 가능한 함수인 두 번째 함수이고,
• v'(엑스) 는 함수 v(x)의 미분입니다.

몫의 법칙 증명

다음 방법을 사용하여 몫 규칙을 도출할 수 있습니다.

• 체인 규칙 사용
• 암시적 미분 사용
• 미분 및 극한 속성 사용

이제 자세히 알아보겠습니다.

연쇄법칙을 이용한 몫의 법칙 도출

를 입증하기 위해: H'(x) = d/dx [f(x)/g(x)] = [f(x) × g'(x) – g(x) × h'(x)] / [g(x) ] ²

주어진: H(x) = f(x)/g(x)

증거:

H(x) = f(x)/g(x)

⇒ H(x) = f(x).g(x)^-1

제품 규칙을 사용하여,

H'(x) = f(x). d/dx [g(x)^-1] + g(x)^-1. 에프'(엑스)

거듭제곱 법칙을 적용하면,

H'(x) = f(x). (-1)[g(x)^-2.g'(x)] + g(x)^-1. 에프'(엑스)

⇒ H'(x) = – [f(x).g'(x)] / g(x)²+ f'(x) / g(x)

H'(x) = [-f(x).g'(x)] + f'(x).g(x)] / g ² (엑스)

따라서 몫의 법칙이 증명됩니다.

더 읽어보기:

• 연쇄 법칙

암시적 미분을 이용한 몫의 법칙 도출

f(x) = u(x)/v(x)와 같은 미분 함수 f(x)를 생각해 봅시다.

유(x) = f(x).v(x)

Java에서 int를 문자열로 변환

제품 규칙을 사용하여

u'(x) = f'(x)⋅v(x) + f(x)v'(x)

이제 f'(x)에 대해 풀어보세요.

f'(x) = [u'(x) – f(x)v'(x)] / v(x)

f(x)의 값을 f(x) = u(x)/v(x)로 대체하면

f'(x) = {u'(x) – u(x)/v(x).[v'(x)]}/v(x)

f'(x) = {u'(x)v(x) – u(x).v'(x)} / v ² (엑스)

모델이기도 하다

따라서 몫의 법칙이 증명됩니다.

자세히 알아보기

• 암시적 미분

미분 및 극한 속성을 사용한 몫 규칙 유도

f(x) = u(x)/v(x)를 만족하는 미분 함수 f(x)를 생각해 봅시다.

우리는 그것을 알고 있습니다.

f'(x) = 한계_h→0[f(x+h) – f(x)] / h

f(x) = u(x)/v(x) 값 대체

f'(x) = 한계_h→0[u(x+h)/v(x+h) – u(x)/v(x)] / h

f'(x) = 한계_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h)] / h.v(x).v(x+h)

한도를 분배하고,

f'(x) = {림_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h)] / h}.{lim_h→01/v(x).v(x+h)}

⇒ f'(x) = {림_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h) + u(x)v(x) – u(x)v(x)] / h}.{ 1/v(x).v(x)}

⇒ f'(x) = {림_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x)] / h} {lim_h→0[u(x)v(x+h) – u(x)v(x)] / h}.{ 1/인치²(엑스)}

⇒ f'(x) = v(x){lim_h→0[u(x+h) – u(x)] / h} -u(x) {lim_h→0[-v(x+h) + v(x)] / h}.{ 1/인치²(엑스)}

f'(x) = [v(x).u'(x) – u(x).v'(x)] / v ² (엑스)

필수 몫 규칙은 다음과 같습니다.

자세히 알아보기

• 한계의 속성
• 파생상품의 규칙

미분에 몫 규칙을 사용하는 방법은 무엇입니까?

몫의 법칙을 적용하기 위해 다음 단계를 따릅니다.

1 단계: 개별 함수를 u(x)와 v(x)로 작성합니다.

2 단계: 개별 함수 u(x)와 v(x)의 도함수를 구합니다. 즉, u'(x)와 v'(x)를 찾습니다. 이제 몫의 법칙 공식을 적용해 보세요.

f'(x) = [u(x)/v(x)]' = [u'(x) × v(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

3단계: 위의 방정식을 단순화하면 f(x)의 미분이 제공됩니다.

우리는 예를 통해 이 개념을 이해할 수 있습니다.

예: f(x) = 2x인 경우 f'(x) 찾기 ^삼 /(x+2)

주어진,

에프(엑스) = 2x^삼/(x + 2)

f(x) = u(x)/v(x)와 비교하면 다음을 얻습니다.

• 유(x) = 2x^삼
• v(x) = (x + 2)

이제 u(x)와 v(x)를 구별합니다.

• u'(x) = 6x²
• v'(x) = 1

몫 규칙을 사용하면,

f'(x) = [v(x)u'(x) – u(x)v'(x)]/[v(x)]²

⇒ f'(x) = [(x+2)·6x²– 2배^삼•1]/(x + 2)²

⇒ f'(x) = (6x^삼+ 12배²– 2배^삼)/(x + 1)²

⇒ f'(x) = (4x^삼+ 12배²​​​​)/(x + 1)²

곱과 몫의 법칙

미분의 곱 규칙은 함수가 두 함수의 곱으로 주어질 때 함수의 미분을 찾는 데 사용됩니다.

제품 차별화 규칙 P(x) = f(x).g(x)인 경우

P'(x) = f(x).g'(x) + f'(x).g(x)

반면 미분의 몫의 법칙 는 두 함수의 나눗셈, 즉 f(x) = p(x)/q(x)로 표현되는 함수를 구별하는 데 사용됩니다.

그런 다음 다음을 사용하여 f(x)를 유도합니다. 몫의 법칙 다음과 같이 계산됩니다.

f'(x) = {q(x).p'(x) – p(x).q'(x)}/q ² (엑스)

꼭 읽어야 할

• 미적분학의 곱셈 규칙
• 연쇄 법칙
• 차별화 및 통합 공식
• 대수 미분
• 미적분학의 기초
• 파생상품의 적용

몫 규칙의 예

몫의 법칙에 관한 몇 가지 샘플 질문을 풀어보겠습니다.

자식 체크아웃

예 1: 차별화 old{y=frac{x^3-x+2}{x^2+5}} .

해결책:

분자와 분모 함수는 모두 미분 가능합니다.

몫의 법칙을 적용하면,

755 chmod

y’=frac {d}{dx}[frac{x^3-5+2}{x^2+5}]

⇒y’= frac{[d/dx(x^3-x+2)(x^2+5)-(x^3-x+2)d/dx(x^2+5)]}{[x^2+5]^2}

⇒y’= frac{[(3x^2-1)(x^2+5)-(x^3-x+2)(2x)]}{[x^2+5]^2}=frac{(3x^4+15x^2-x^2-5)-(2x^4-2x^2+4x)}{[x^2+5]^2}

⇒y’= frac{x^4+16x^2-4x-5}{[x^2+5]^2}

예 2: f(x) = tan x를 미분합니다.

해결책:

tan x는 sinx/cosx로 쓰여집니다. 즉,

탄젠트 x = (sin x) / (cos x)

분자와 분모 함수는 모두 미분 가능합니다.

몫의 법칙을 적용하면,

f' (x)='frac{(d/dx(sinx))(cosx)-(d/dx(cosx))(sinx)}{cos^2x}' '='

⇒f' (x)='frac{cosx.cosx-(-sinx)(sinx)}{cos^x}' '='

⇒f' (x)='frac{cos^2x+sin^2x}{cos^2x}' '='

⇒f' (x)='frac{1}{cos^2x}' '='

예제 3: 미분, f(x)= e ^엑스 /엑스 ²

해결책:

분자와 분모 함수는 모두 미분 가능합니다.

몫의 법칙을 적용하면,

f' (x)='[frac{d/dx(e^x)(x^2)-d/dx(x^2)(e^x)}{x^4}]' '='

⇒f' (x)='frac{e^x.x^2-2xe^x}{x^4}' '='

예 4: 미분, y=frac{cosx}{x^2}

해결책:

분자와 분모 함수는 모두 미분 가능합니다.

몫의 법칙을 적용하면,

y’=frac{d/dx(cosx)(x^2)-d/dx(x^2)(cosx)}{x^4}

⇒y’=frac{-sinx(x^2)-(2x)(cosx)}{x^4}

⇒y’=frac{-(x^2)sinx-(2xcosx)}{x^4}

예제 5: 미분, f(p) = p+5/p+7

해결책:

분자와 분모 함수는 모두 미분 가능합니다.

몫의 법칙을 적용하면,

f' (p)='d/dx[frac{p+5}{p+7}]' '='

⇒f' (p)='[frac{d/dx(p+5)(p+7)-d/dx(p+7)(p+5)}{(p+7)^2}]' '='

⇒f' (p)='[frac{p+7-p-5}{(p+7)^2}]' '='

⇒f' (p)='[frac{2}{(p+7)^2}]' '='

연습문제

다음은 여러분이 풀어야 할 몫의 법칙에 관한 몇 가지 연습 문제입니다.

P1. f(x) = (x)의 도함수 구하기 ² + 3)/(x 없음)

P2. f(x) = (2x)의 도함수 구하기 ² + 3x + 5)/(x + 3)

P3. f(x) = (x + 3)/(ln x)의 도함수 구하기

P4. f(x) = (x.sin x)/(x)의 미분 구하기 ² )

파생상품의 몫 규칙 – FAQ

미분의 몫의 법칙이란 무엇입니까?

미분의 몫 규칙은 몫 형식으로 제공되는 함수, 즉 두 함수의 나눗셈으로 제공되는 함수의 미분을 찾는 데 사용되는 규칙입니다.

몫 규칙 공식이란 무엇입니까?

몫의 법칙 공식은,

속편 데이터 유형

f'(x) = [u(x)/v(x)]' = [u'(x) × v(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

이 공식은 f(x)/g(x)로 표시되는 함수의 미분을 제공합니다.

몫 규칙의 공식을 도출하는 방법은 무엇입니까?

몫 규칙은 세 가지 방법을 사용하여 유도할 수 있습니다.

• 미분 및 극한 속성별
• 암시적 차별화를 통해
• 체인 규칙에 따라

몫의 법칙을 사용하는 방법?

몫 법칙은 f(x)와 g(x) 형식의 모든 함수를 포함하는 두 함수의 나눗셈으로 표현되는 함수의 미분을 찾는 데 사용되며, f(x)와 g(x)의 개별 미분은 존재합니다. 그리고 g(x)는 결코 0이 될 수 없습니다.

나눗셈 함수의 미분을 어떻게 찾나요?

나눗셈 함수의 미분은 몫 규칙 공식을 사용하여 쉽게 찾을 수 있습니다. 즉, H(x)가 H(x) = f(x)/g(x)로 표현되도록 H(x)의 미분을 찾아야 하는 경우 그 파생물은 다음과 같이 표현됩니다.

H'(x) = d/dx [f(x)/g(x)] = [f(x) × g'(x) – g(x) × h'(x)] / [g(x) ] ²

몫의 한계는 무엇입니까?

극한에 대한 몫 규칙은 몫 함수의 극한이 각 함수의 극한의 몫과 같다고 명시합니다.