포물선의 표준 형태는 y = ax입니다.2+ bx + c 여기서 a, b, c는 실수이고 a는 0이 아닙니다. 포물선은 고정된 직선과 평면의 고정점으로부터 등거리에 있는 평면의 모든 점의 집합으로 정의됩니다.
이번 글에서는 포물선이 무엇인지, 포물선의 표준방정식, 관련 사례 등을 자세히 알아보겠습니다.
내용의 테이블
포물선이란 무엇입니까?
포물선은 초점이라고 하는 점과 준선이라고 하는 선에서 등거리에 있는 모든 점의 집합으로 정의되는 원추형 단면입니다. 포물선의 표준 방정식은 방향(열림 방향)과 위치에 따라 달라집니다.
포물선의 방정식
포물선 방정식은 표준형 또는 일반형으로 작성할 수 있으며 두 가지 모두 아래에 추가됩니다.
포물선의 일반 방정식
포물선의 일반 방정식은 다음과 같습니다.
y = 4a(x – h) 2 + 케이
(또는)
x = 4a(y – k) 2 + 시간
여기서 (h, k)는 포물선의 꼭지점입니다.
포물선의 표준 방정식
포물선의 표준 방정식은 다음과 같습니다.
y = 도끼 2 +bx+c
(또는)
x=이다 2 +에 의해 +c
여기서 a는 0이 될 수 없습니다.
포물선의 일부
포물선의 일부 중요한 용어와 부분은 다음과 같습니다.
- 집중하다: 초점은 포물선의 고정점입니다.
- 지시선: 포물선의 준선은 포물선 축에 수직인 선입니다.
- 초점 코드: 포물선의 초점을 통과하여 두 개의 서로 다른 지점에서 포물선을 자르는 현을 초점 현이라고 합니다.
- 초점 거리: 초점 거리는 점의 거리입니다(x1, 그리고1) 초점에서 포물선에.
- 오른쪽: 래투스 직장은 포물선의 초점을 통과하고 포물선의 축에 수직인 초점 현입니다. 래투스 직장의 길이는 LL' = 4a입니다.
- 이심률: 초점에서 점까지의 거리와 준선으로부터의 거리의 비율을 이심률(e)이라고 합니다. 포물선의 경우 이심률은 1, 즉 e = 1입니다.
포물선에는 포물선과 해당 축의 방향을 기반으로 하는 4개의 표준 방정식이 있습니다. 각 포물선에는 서로 다른 가로 축과 공액 축이 있습니다.
| 포물선의 방정식 | 포물선 | 포물선의 매개변수 공식 |
|---|---|---|
| 그리고 2 = 도끼 4개 |  수평 포물선 |
|
| 그리고 2 = -4ax |  수평 포물선 |
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| 엑스 2 = 4ay |  수직 포물선 |
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| 엑스 2 = -4ay |  수직 포물선 |
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다음은 포물선 방정식의 표준 형식에서 관찰한 내용입니다.
- 포물선은 축을 기준으로 대칭입니다. 예를 들어, 와이2= 4ax는 x축을 중심으로 대칭인 반면 x2= 4ay는 y축을 기준으로 대칭입니다.
- 포물선이 x축을 기준으로 대칭인 경우 x 계수가 양수이면 포물선은 오른쪽 방향으로 열리고 x 계수가 음수이면 왼쪽 방향으로 열립니다.
- 포물선이 y축을 기준으로 대칭인 경우 y 계수가 양수이면 포물선은 위쪽으로 열리고 y 계수가 음수이면 아래쪽으로 열립니다.
다음은 대칭축이 x축 또는 y축과 평행하고 꼭지점이 원점에 있지 않을 때의 포물선의 표준방정식입니다.
| 포물선의 방정식 | 포물선 | 포물선의 매개변수 공식 |
|---|---|---|
| (및 – k)2= 4a(x – h) |  수평 포물선 |
|
| (및 – k)2= -4a(x – h) |  수평 포물선 |
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| (x – h)2= 4a(y – k) |  수직 포물선 |
|
| (x – h)2= -4a(y – k) |  수직 포물선 |
|
포물선 도출 방정식
P를 좌표가 (x, y)인 포물선 위의 한 점으로 설정합니다. 포물선의 정의에 따르면 점 P에서 초점(F)까지의 거리는 같은 점 P에서 포물선의 준선까지의 거리와 같습니다. 이제 좌표가 (-a, y)인 준선 위의 점 X를 생각해 보겠습니다.
포물선의 이심률 정의로부터 우리는 다음을 얻습니다.
e = PF/PX = 1
⇒ PF = PX
초점의 좌표는 (a, 0)입니다. 이제 좌표 거리 공식을 사용하여 점 P(x, y)에서 초점 F(a, 0)까지의 거리를 찾을 수 있습니다.
PF = √[(x – a)2+ (및 – 0)2]
⇒ PF = √[(x – a)2+ 및2] ------ (1)
준선의 방정식은 x + a = 0입니다. PX의 거리를 구하기 위해 수직 거리 공식을 사용합니다.
PX = (x + a)/√[12+02]
⇒ PX = x +a —————— (2)
우리는 이미 PF = PX라는 것을 알고 있습니다. 따라서 방정식 (1)과 (2)를 동일시하십시오.
√[(x – a)2+ 및2] = (x + a)
양변을 제곱하면,
⇒ [(x – a)2+ 및2] = (x + a)2
⇒ x2+ 에2– 2축 + y2= x2+ 에2+ 도끼 2개
⇒ 그리고2– 2축 = 2축
⇒ 그리고2= 도끼 2개 + 도끼 2개 ⇒ 그리고 2 = 도끼 4개
따라서 우리는 포물선의 방정식을 도출했습니다. 마찬가지로, 다른 세 포물선의 표준 방정식을 유도할 수 있습니다.
- 그리고2= -4ax
- 엑스2= 4ay
- 엑스2= -4ay
그리고 2 = 4도끼, 그리고 2 = -4ax, x 2 = 4ay 및 x 2 = -4ay 포물선의 표준 방정식은 다음과 같습니다.
포물선 관련 기사:
- 원의 방정식
- 타원의 방정식
- 쌍곡선 방정식
- 실생활에서의 포물선 적용
포물선 방정식의 예
예1: 포물선의 방정식이 y일 때 직장의 길이, 초점, 꼭지점을 구합니다. 2 = 12배.
해결책:
주어진,
포물선의 방정식은 y입니다.2= 12배
주어진 방정식을 표준형 y와 비교함으로써2= 도끼 4개
4a = 12
⇒ a = 12/4 = 3
우리는 그것을 알고 있습니다.
포물선의 오른쪽 = 4a = 4 (3) = 12
이제 포물선의 초점 = (a, 0) = (3, 0)
주어진 포물선의 꼭지점 = (0, 0)
예제 2: X축을 기준으로 대칭이고 점 (-4, 5)를 통과하는 포물선의 방정식을 구합니다.
해결책:
주어진,
포물선은 X축을 기준으로 대칭이며 원점에 정점이 있습니다.
따라서 방정식은 y 형식일 수 있습니다.2= 4ax 또는 y2= -4ax, 여기서 기호는 포물선이 왼쪽 또는 오른쪽으로 열리는지 여부에 따라 달라집니다.
포물선은 두 번째 사분면에 있는 (-4, 5)를 통과하므로 왼쪽으로 열려야 합니다.
따라서 방정식은 다음과 같습니다.2= -4ax
위 식에 (-4, 5)를 대입하면,
⇒ (5)2= -4a(-4)
⇒ 25 = 16a
⇒ a = 25/16
따라서 포물선의 방정식은 다음과 같습니다.2= -4(25/16)x (또는) 4년2= -25x.
예시 3: 포물선 x의 초점, 축, 준선의 방정식 및 직장 래투스의 좌표를 구합니다. 2 = 16세.
해결책:
주어진,
포물선의 방정식은 다음과 같습니다: x2= 16세
주어진 방정식을 표준형 x와 비교함으로써2= 4ay,
4a = 16 ⇒ a = 4
y의 계수는 양수이므로 포물선이 위쪽으로 열립니다.
또한 대칭축은 양의 Y축을 따릅니다.
따라서,
포물선의 초점은 (a, 0) = (4, 0)입니다.
준선의 방정식은 y = -a입니다. 즉, y = -4 또는 y + 4 = 0입니다.
배추직장의 길이 = 4a = 4(4) = 16.
예시 4: 포물선의 방정식이 2(x-2)인 경우 직장의 길이, 초점, 꼭지점의 길이를 구합니다. 2 + 16 = 와.
해결책:
주어진,
포물선의 방정식은 2(x-2)입니다.2+ 16 = 및
주어진 방정식을 포물선 y = a(x – h)의 일반 방정식과 비교함으로써2+ k, 우리는 얻는다
a = 2
(h, k) = (2, 16)
우리는 그것을 알고 있습니다.
포물선의 직장의 길이 = 4a
= 4(2) = 8
이제 초점= (a, 0) = (2, 0)
이제 정점 = (2, 16)
예 5: 포물선의 방정식은 x입니다. 2 – 12x + 4y – 24 = 0, 정점, 초점, 준선을 찾습니다.
해결책:
주어진,
포물선의 방정식은 x입니다.2– 12x + 4y – 24 = 0
⇒ x2– 12x + 36 – 36 + 4y – 24 = 0
⇒ (x – 6)2+ 4년 – 60 = 0
⇒ (x – 6)2= -4(y + 15)
얻은 방정식은 (x – h) 형식입니다.2= -4a(y – k)
-4a = -4 ⇒ a = 1
따라서 정점 = (h, k) = (6, – 15)
초점 = (h, k – a) = (6, -15-1) = (6, -16)
준선의 방정식은 y = k + a입니다.
⇒ y = -15 + 1 ⇒ y = -14
⇒ y + 14 = 0
포물선 방정식에 대한 FAQ
포물선의 표준 방정식을 어떻게 찾나요?
포물선의 표준 형태는 y입니다.2= 4축 또는 x2= 4ay.
포물선의 정규 방정식은 무엇입니까?
포물선에 대한 법선의 방정식 y2= 기울기 m을 갖는 4ax는 다음과 같이 주어진다: y = mx – 오전 2시 – 오전 삼
포물선의 꼭지점을 어떻게 찾나요?
주어진 포물선에 대해: y = ax2+ bx + c 그 정점은 x = − b/2a 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다. 이 x 값을 방정식에 다시 연결하여 해당 y 좌표를 찾습니다.
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