이번 글에서는 두 집합의 대칭적 차이에 대해 알아보겠습니다. 여기서는 두 집합 간의 대칭적 차이의 속성에 대해서도 설명합니다.
이 기사가 두 집합 간의 대칭적 차이를 이해하는 데 도움이 되기를 바랍니다.
대칭적 차이란 무엇입니까?
차이의 또 다른 변형은 대칭 차이입니다. A와 B라는 두 개의 집합이 있다고 가정합니다. 두 집합 A와 B 사이의 대칭적 차이는 공통 요소를 제외하고 두 집합에 모두 존재하는 요소를 포함하는 집합입니다.
두 집합 사이의 대칭차는 다음과 같이 불립니다. 분리적 결합 . 두 집합 사이의 대칭적 차이는 두 집합에 모두 있지만 교집합에는 없는 요소 집합입니다. 두 집합 A와 B 사이의 대칭적 차이는 다음과 같이 표현됩니다. AD B 또는 ㅏ ? 비 .
우리는 예를 통해 그것을 이해할 수 있습니다.
실시예 1 일부 요소를 포함하는 두 개의 세트가 있다고 가정합니다.
A = {1, 2, 3, 4, 5}로 설정
세트 B = {3, 5}
따라서 주어진 집합 A와 B의 대칭 차이는 {1, 2, 4}입니다.
아니면, 우리는 이렇게 말할 수 있습니다 A Δ B = {1, 2, 4} .
실시예2 일부 요소를 포함하는 두 개의 세트가 있다고 가정합니다.
A = {a, b, c, k, m, n}으로 설정
세트 B = {c, n}
따라서 주어진 집합 A와 B의 대칭 차이는 {a, b, k, m}입니다.
아니면, 우리는 이렇게 말할 수 있습니다 A Δ B = {a, b, k, m} .
아래 벤 다이어그램에서 두 세트 간의 대칭 차이를 볼 수 있습니다.
위 벤다이어그램에서 피부색으로 음영 처리된 부분은 주어진 세트 간의 대칭 차이입니다. AD B .
두 집합 간의 대칭적 차이의 몇 가지 속성을 살펴보겠습니다.
속성
다음과 같이 대칭차이의 몇 가지 속성이 나열되어 있습니다.
- 대칭적 차이는 두 상대 보수의 합집합으로 표현될 수 있습니다. 즉,
A Δ B = (A / B) ∪ (B / A) - 두 집합 사이의 대칭적 차이는 두 집합의 합집합에서 두 집합 사이의 교집합을 뺀 값으로 표현될 수도 있습니다.
A Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B) - 대칭적 차이는 교환적일 뿐만 아니라 연관적이기도 합니다.
A Δ B = B Δ A
(A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C) - 빈 집합은 중립적입니다(수학에서 중립 요소는 이항 연산을 수행하기 위해 집합의 요소와 결합될 때 요소를 변경하지 않고 그대로 두는 특별한 유형의 요소라고 합니다. 아이덴티티 요소 ).
A Δ ∅ = A
A Δ A = ∅ - 집합 A가 집합 B와 같을 경우 두 집합 간의 대칭 차이는 -
A Δ B = ∅ {A = B일 때}
'두 세트 간의 대칭 차이' v/s '두 세트 간의 차이'
두 세트의 차이점
두 집합 A와 B의 차이는 A에 속하지만 B에는 속하지 않는 모든 요소의 집합이며 다음과 같이 표시됩니다. A - B .
예: A = {1, 2, 3, 4}라고 하자.
그리고 B = {3, 4, 5, 6}
그러면 A - B = {3, 4}이고 B - A = {5, 6}입니다.
두 집합의 대칭적 차이
두 세트 A와 B 사이의 대칭 차이는 A 또는 B에 있지만 둘 다에는 없는 모든 요소를 포함하는 세트입니다. 그것은 다음과 같이 표현됩니다. AD B 또는 ㅏ ? 비 .
예: A = {1, 2, 3, 4}라고 하자.
그리고 B = {3, 4, 5, 6}
그러면 A Δ B = {1, 2, 5, 6}
이제 두 집합 간의 대칭적 차이를 보다 명확하게 이해하기 위해 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.
질문 1 - A = {10, 15, 17, 19, 20} 및 B = {15, 16, 18} 집합이 있다고 가정합니다. 두 세트 A와 B의 차이를 알아보고 둘 사이의 대칭 차이도 알아보세요.
해결책 - 주어진,
xor cpp
A = {10, 15, 17, 19, 20}
B = {15, 16, 18}
두 세트의 차이점은 -
A - B = {10, 15, 17, 19, 20} - {15, 16, 18}
= {10, 17, 19, 20}
두 세트의 대칭적 차이는 -
A Δ B = {10, 15, 17, 19, 20} - {15, 16, 18}
= {10, 16, 17, 18, 19, 20}
질문2 - A = {2, 4, 6, 8} 및 B = {2, 5, 7, 8} 집합이 있다고 가정합니다. 대칭 차이 B Δ A를 알아보세요. 또한 주어진 두 집합 간의 대칭 차이를 나타내는 벤 다이어그램을 그려보세요.
해결책 - 주어진 경우, A = {2, 4, 6, 8} 및 B = {2, 5, 7, 8}
우리는 B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A)라는 것을 알고 있습니다.
질문을 단계별로 해결해 보도록 하겠습니다. 따라서 첫 번째 단계는 집합 A와 집합 B의 합집합을 찾는 것입니다.
따라서 (B ∪ A) = {2, 5, 7, 8} ∪ {2, 4, 6, 8}
= {2, 4, 5, 6, 7, 8}
그런 다음 두 세트 간의 교집합을 계산해야 합니다.
(B ∩ A) = {2, 5, 7, 8} ∩ {2, 4, 6, 8}
= {2, 8}
이제 공식에 명시된 대로 집합 A와 B의 합집합과 교집합의 차이를 찾아야 합니다.
따라서 (B ∪ A) - (B ∩ A) = {2, 4, 5, 6, 7, 8} - {2, 8}
= {4, 5, 6, 7}
따라서 B Δ A = {4, 5, 6, 7}
이는 위에서 언급한 대로 A Δ B와 같습니다. '대칭적 차이는 교환 가능합니다.' 이제 벤다이어그램을 통해 두 세트 사이의 대칭적 차이를 보여드리겠습니다.
벤다이어그램에서는 먼저 세트 A와 B를 나타내는 두 개의 원을 그립니다. 위에서 계산한 대로 두 세트 간의 교차점은 {2, 8}이므로 교차 영역에 이러한 요소를 나열했습니다. 그런 다음 각 집합 원에 나머지 요소를 나열합니다(예: 집합 A의 {4, 6} 및 집합 B의 {5, 7}). 요소를 정렬한 후 벤 다이어그램은 다음과 같습니다.
위의 벤다이어그램을 보면 보편집합 U가 있습니다. 세트 A와 B는 모두 보편집합 U의 부분집합입니다. 원소 {2, 8}은 교차하는 원소이므로 교차하는 영역에 표현됩니다. 연한 주황색 영역은 교차하는 영역을 제외한 집합의 합집합입니다. 이 영역은 세트 A와 B의 대칭 차이이며 다음과 같이 표시됩니다.
B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A) = {4, 5, 6, 7}
질문 3 - A = {5, 6, 8, 9, 10} 및 B = {2, 4, 7, 10, 19} 집합이 있다고 가정합니다.
주어진 집합을 사용하여 대칭차가 교환 가능함을 증명하십시오.
해결책 - 주어진 경우, A = {5, 6, 8, 9, 10} 및 B = {2, 7, 8, 9, 10}
를 입증하기 위해: A Δ B = B Δ A
LHS를 선택하세요.
A Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B)
(A ∪ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∪ (2, 7, 8, 9, 10}
= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(A ∩ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∩ (2, 7, 8, 9, 10}
= {8, 9, 10}
따라서 A Δ B = {2, 5, 6, 7}
이제 RHS를 선택하세요.
B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A)
(B ∪ A) = (2, 7, 8, 9, 10} ∪ {5, 6, 8, 9, 10}
= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(B ∩ A) = (2, 7, 8, 9, 10} ∩ {5, 6, 8, 9, 10}
= {8, 9, 10}
따라서 B Δ A = {2, 5, 6, 7}
따라서 A Δ B = B Δ A
따라서 대칭적 차이는 교환 가능합니다.