대수학은 수학의 기본 주제 중 하나입니다. 다항식은 대수학의 필수적인 부분입니다. Vieta의 공식은 다항식에 사용됩니다. 이 기사는 다항식의 계수에 근의 합과 곱을 연결하는 Vieta의 공식에 관한 것입니다. 이 공식은 특히 대수학에서 사용됩니다.
비에타의 공식
비에타(Vieta)의 공식은 다항식의 계수와 다항식의 근의 합과 곱 사이의 관계를 제공하는 공식입니다. Vieta의 공식은 다항식의 계수를 근의 합과 곱의 형태로 설명합니다.
비에타의 공식
비에타(Vieta)의 공식은 다항식의 근과 계수의 합과 곱을 다룹니다. 근이 주어졌을 때 다항식을 구해야 하거나 근의 합이나 곱을 구해야 할 때 사용됩니다.
이차 방정식에 대한 Vieta의 공식
- 만약에 f(x) = 도끼 2 +bx+c 은 근이 있는 이차방정식이다 ㅏ 그리고 비 그 다음에,
- 근의 합 = α + β = -b/a
- 근의 곱 = αβ = c/a
- 근의 합과 곱이 주어지면 이차방정식은 다음과 같이 주어진다:
- 엑스 2 – (근의 합)x + (근의 곱) = 0
3차 방정식에 대한 비에타의 공식
- 만약에 f(x) = 도끼 삼 + BX 2 +cx +d 는 근이 있는 이차방정식이다 에, 비 그리고 씨 그 다음에,
- 근의 합 = α + β + γ = -b/a
- 두 근의 곱의 합 = αβ + αγ + βγ = c/a
- 근의 곱 = αβγ = -d/a
- 근의 합과 곱이 주어지면 삼차방정식은 다음과 같이 주어진다:
- 엑스 삼 – (근의 합)x 2 + (두 근의 곱의 합)x – (근의 곱) = 0
일반화 방정식에 대한 Vieta의 공식
만약에 에프(엑스) = 에이 N 엑스 N + 에 n-1 엑스 n-1 + 에 n-2 엑스 n-2 + ……… + 에 2 엑스 2 + 에 1 x +a 0 는 근이 있는 이차방정식이다 아르 자형 1 , r 2 , r 삼 , … r n-1 , r N 그 다음에,
아르 자형 1 + r 2 + r 삼 +………. + r n-1 + r N = -a n-1 /ㅏ N
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(아르 자형 1 아르 자형 2 + r 1 아르 자형 삼 +… +r 1 아르 자형 N ) + (r 2 아르 자형 삼 + r 2 아르 자형 4 +… +r 2 아르 자형 N ) + ……… + r n-1 아르 자형 N =a n-2 /ㅏ N
:
:
아르 자형 1 아르 자형 2 …아르 자형 N = (-1) N (ㅏ 0 /ㅏ N )
샘플 문제
문제 1: α, β가 방정식의 근이면: x 2 – 10x + 5 = 0 , 그런 다음 (α의 값을 찾습니다. 2 + 비 2 )/(ㅏ 2 b + ab 2 ).
해결책:
주어진 방정식:
- 엑스2– 10x + 5 = 0
비타의 공식으로
a + b = -b/a = -(-10)/1 = 10
αβ = c/a = 5/1 = 5
(a2+b2) = (a + b )2– 2ab
= (10)2– 2×5
= 100 – 10
(ㅏ2+b2) = 90
이제 (α의 값2+ 비2)/(ㅏ2b + ab2)
= (아2+ 비2)/(αβ(α + β))
= 90/(5×10)
= 90/50
= 1.8
문제 2: α, β가 방정식의 근이라면: x 2 + 7x + 2 = 0 , 14¼(1/α + 1/ β)의 값을 구합니다.
해결책:
주어진 방정식:
- 엑스2+ 7x + 2 = 0
비타의 공식으로
a + b = -b/a = -7/1 = -7
αβ = c/a = 2/1 = 2
이제 (1/α + 1/β) = (α + β)/αβ
(1/a + 1/b) = -7/2
현재 값 14¼(1/α + 1/ β)
= 14 ¼ (-7/2)
= 14 × (-2/7)
= -4
문제 3: α, β가 방정식의 근이라면: x 2 + 10x + 2 = 0 이면 (α/β + β/α) 값을 구합니다.
해결책:
주어진 방정식:
미아 칼리파 나이
- 엑스2+ 10x + 2 = 0
비타의 공식으로
a + b = -b/a = 10/1 = 10
αβ = c/a = 2/1 = 2
(a2+b2) = (a + b )2– 2ab
= 102– 2×2
= 100 – 4
= 96
이제 (a/b + b/a)의 값 = (a2+b2)/ab
= 96/2
while 및 Java에서 while 루프 수행= 48
문제 4: α와 β가 방정식의 근이고 α + β = -100이고 αβ = -20이면 이차 방정식을 찾으십시오.
해결책:
주어진,
- 근의 합 = α + β = -100
- 근의 곱 = αβ = -20
이차 방정식은 다음과 같이 주어진다:
엑스2– (근의 합)x + (근의 곱) = 0
엑스2– (-100)x + (-20) = 0
엑스 2 + 100x – 20 = 0
문제 5: α , β 및 γ가 방정식의 근이고 α + β + γ= 10, αβ + αγ + βγ = -1 및 αβ γ = -6이면 3차 방정식을 찾으십시오.
해결책:
주어진,
- 근의 합 = α + β + γ = 10,
- 두 근의 곱의 합 = αβ + αγ + βγ = -1
- 뿌리의 곱 = 평균 = -6
3차 방정식은 다음과 같이 주어진다:
엑스삼– (근의 합)x2+ (두 근의 곱의 합)x – (근의 곱) = 0
엑스삼– 10배2+ (-1)x – (-6) = 0
엑스 삼 – 10배 2 - x + 6 = 0
문제 6: α , β 및 γ가 방정식 x의 근이라면 삼 + 1569x 2 – 3 = 0이면 [(1/α) + (1/β )] 값을 구합니다. 삼 + [(1/c) + (1/b )] 삼 + [(1/c) + (1/a )] 삼
해결책:
주어진,
- 근의 합 = α + β + γ= -b/a = -1569/1 = -1569
- 두 근의 곱의 합 = αβ + αγ + βγ = c/a = 0/1 = 0
- 근의 곱 = αβγ = -d/a = -(-3)/1 = 3
이후 (p삼+ q삼+ r삼– 3pqr) = (p + q + r)(p2+q2+ r2– pq – qr – pr) …(1)
p = (1/a) + (1/b ), q = (1/c) + (1/b ), r = (1/c) + (1/a )라고 하자.
p + q + r = 2[(1/α) + (1/β ) + (1/γ) ] = 2(αβ + αγ + βγ)/αβγ
= 2(0/3) = 0
방정식 (1)에서:
배열과 배열리스트의 차이점(피삼+ q삼+ r삼– 3pqr) = 0
피삼+ q삼+ r삼= 3인
[(1/a) + (1/b )]삼+ [(1/c) + (1/b )]삼+ [(1/c) + (1/a )]삼= 3[(1/a) + (1/b )][(1/c) + (1/b )][(1/c) + (1/a )]
= 3(-1/c)(-1/a) (-1/b )
= -3/평균 = -3/3
= -1
문제 7: α와 β가 방정식 x의 근이라면 2 – 3x +2 =0 그런 다음 α 값을 찾습니다. 2 – 비 2 .
해결책:
주어진,
- 근의 합 = α + β = -b/a = -(-3)/1 = 3
- 근의 곱 = αβγ = c/a = 2/1 = 2
(a – b)로2= (a + b)2-4ab
(a – b)2= (3)2– 4(2) = 9 – 8 = 1
(a – b) = 1
부터,
ㅏ2– 비2= (a – b)(a + b) = (1)(3) = 3
ㅏ 2 – 비 2 = 3