다항식의 0 실수, 허수 또는 복소수 값을 변수 대신 다항식에 넣으면 결과는 0이 됩니다(이름에서도 0을 암시하므로). 다항식은 실제 생활에서 발생하는 일부 물리적 현상을 모델링하는 데 사용되며 상황을 수학적으로 설명하는 데 매우 유용합니다.

다항식의 0은 다항식을 0과 동일하게 만드는 모든 x 값입니다. 다항식의 0은 다항식 그래프의 x 절편에 대해 알려줍니다. 이번 글에서는 다음과 같은 내용을 다루겠습니다. 다항식의 0, 이를 찾는 방법, 인수 정리 등

내용의 테이블

• 다항식의 0은 무엇입니까?
• 다항식의 0
• 다항식의 영점을 찾는 방법은 무엇입니까?
• 선형 다항식의 경우
• 2차 다항식의 경우
• 3차 다항식의 경우
• 인자 정리
• 0과 계수의 관계
• 2차 방정식의 0과 계수 사이의 관계
• 3차 방정식의 0과 계수 사이의 관계
• 다항식의 0을 사용하여 방정식 형성
• 다항식 그래프의 0
• 선형대수학의 기본정리
• 루트의 다중성
• 다항식의 0 관련 기사
• 다항식의 0에 대한 샘플 문제
• 다항식의 0에 대한 연습 문제

다항식의 0은 무엇입니까?

다항식 P(x)에 대해, P(a) = 0이면 x = a는 다항식의 영점이라고 말하고, 다항식의 모든 영점은 일반적으로 다항식의 영점이라고 합니다. 예를 들어, f(x) = 3x – 12를 생각해 보세요. 이제 x = 4를 다항식에 넣습니다. 즉, f(4) = 3×4 – 12 = 0입니다. 따라서 x = 4는 다항식 f( x) = 3x – 12.

예: f(x) = x의 경우 ^삼 – 6배 ² + 11x – 6, x = 1은 0인가요?

해결책:

x = 1이 f(x) = x의 0인지 확인하려면^삼– 6배²+ 11x – 6인지 아닌지, (x)에 x = 1을 넣습니다.

에프(1) = (1)^삼– 6×(1)²+ 11×(1) – 6

⇒ f(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 12 -12 = 0

따라서 x = 1은 f(x)의 0입니다.

다항식의 0

ax + b 형식의 선형 다항식의 경우 해당 0은 x = -b/a로 제공됩니다.

ax 형태의 2차 다항식의 경우²+ bx + c, 그 0은 x = {- b ± √D}/2a로 지정됩니다. 여기서 D는 b로 지정됩니다.²– 4ac.

다항식의 영점을 찾는 방법은 무엇입니까?

아래에서 설명하는 다양한 방법을 사용하여 다양한 유형의 다항식에 대한 다항식의 영점을 찾을 수 있습니다.

• 선형 다항식의 경우
• 2차 다항식의 경우
• 3차 다항식의 경우

선형 다항식의 경우

선형 다항식의 경우 0을 찾는 것이 가장 쉽습니다. 0은 단 하나뿐이고 0과 동일시하는 다항식 뒤에 다항식을 간단히 재배열하여 계산할 수도 있습니다.

예를 들어, 선형 다항식 f(x) = 2x – 7에 대해 영점을 찾습니다.

해결책:

f(x)의 영점을 찾으려면 f(x)를 0과 동일시하십시오.

⇒ 2x – 7 = 0

⇒ 2배 = 7

⇒ x = 7/2

2차 다항식의 경우

이차 다항식의 근이나 영점을 찾는 방법에는 중간 항을 나누는 방법, Shree Dharacharya 공식이라고도 알려진 이차 공식, 이차 공식과 다소 유사한 제곱 완성 등 이차 공식이 오면 다양한 방법이 있습니다. 일반 이차 방정식의 제곱을 완성하는 것으로부터.

자세히 알아보기 이차 방정식 풀기 또는 다항식과 그 해결 방법. 다음 예에서는 2차 다항식의 영점을 찾는 방법을 자세히 보여줍니다.

자바 연산자

예 1: P(x) = x에 대한 0 찾기 ² + 2배 – 15.

답변:

엑스²+ 2x – 15 = 0

⇒ x²+ 5x – 3x – 15 = 0

⇒ x(x + 5) – 3(x + 5) = 0

⇒ (x – 3) (x + 5) = 0

⇒ x = 3, -5

예 2: P(x) = x에 대한 영점 찾기 ² – 16x + 64.

답변:

엑스²– 16x + 64 = 0

도끼와 비교²+ bx + c = 0,

a = 1, b = -16, c = 64를 얻습니다.

따라서,

⇒ x = 8, 8

3차 다항식의 경우

삼차의 영점을 찾는 방법에는 유리근 정리와 장제법 등 여러 가지 방법이 있습니다. 3차 또는 더 높은 차수 다항식의 근을 찾는 한 가지 방법은 다음과 같습니다.

1 단계: 유리근 정리를 사용하여 가능한 근을 찾으세요. 즉, 다항식에 유리수 근이 있는 경우 이는 p/q의 나눗셈이어야 합니다. 여기서 p는 정수 상수이고 q는 선행 계수입니다.

2 단계: 하나의 근을 찾은 후 긴 나눗셈을 사용하여 다항식을 해당 근에 의해 형성된 인수로 나누고 다항식을 몫과 피제수의 곱으로 씁니다.

3단계: 몫이 2차 표현식인 경우 위에서 언급한 2차 다항식 방법을 사용하여 문제를 풉니다. 2차 다항식이 아닌 경우 몫이 2차 다항식이 될 때까지 1단계와 2단계를 반복합니다.

4단계: 3단계의 결과는 필수 인수이며, 해당 인수를 0으로 동일시하면 다항식의 영점을 찾을 수 있습니다.

예: 3차 다항식 p(x) = x의 영점 찾기 ^삼 + 2배 ² – 5배 – 6.

스피커가 뭐야?

해결책:

피(엑스) = 엑스^삼+ 2배²– 5배 – 6

p/q = -6이므로

유리근 정리에 따르면, 다항식의 가능한 모든 유리근은 p/q의 약수입니다.

따라서 제수 = ±1, ±2, ±3, ±6

x = -1, p(x)에서 우리는 다음을 얻습니다.

p(-1) = (-1)^삼+ 2(-1)²– 5(-1) – 6

⇒ p(-1) = -1 + 2 + 5 – 6 = 0

따라서 인수 정리에 따르면 x + 1은 p(x)의 인수입니다.

따라서, x^삼+ 2배²– 5x – 6 = (x+1)(x²+x – 6)

⇒ x^삼+ 2배²– 5x – 6 = (x+1)(x-2)(x+3)

0의 경우 p(x) = 0,

p(x)의 0은 x = -1, x = 2, x = -3입니다.

인자 정리

다항식 P(x)의 경우 인수 정리는 x =a가 P(X)의 0이고 x – a가 P(x)의 인수인 경우라고 명시합니다. 즉, 다음 조건이 모두 충족되어야 합니다.

• a가 P(x)의 0이면 x−a는 P(x)의 인수가 됩니다.
• x−a가 P(x)의 인수이면 a는 P(x)의 0이 됩니다.

이는 이전 사례를 보면 확인할 수 있다. 인자 정리는 다음과 같은 몇 가지 흥미로운 결과를 가져올 수 있습니다.

결과 1: P(x)가 n차 다항식이고 r이 P(x)의 0인 경우 P(x)는 다음 형식으로 쓸 수 있습니다.

P(x) = (x – r) Q(x)

여기서 Q(x)는 n-1차 다항식이며 P(x)를 (x – r)로 나누어 알아낼 수 있습니다.

결과 2: P(x) = (x-r)Q(x)이고 x = t가 Q(x)의 0이면 x = t도 P(x)의 0이 됩니다.

위 사실을 확인하기 위해,

t가 0 Q(x)라고 가정해 보겠습니다. 이는 Q(t) = 0을 의미합니다.

우리는 r이 다항식 P(x)의 0이라는 것을 알고 있습니다. 여기서 P(x) = (x – r) Q(x),

따라서 x = t가 P(x)의 0인지 확인해야 합니다. x = t를 P(x)에 넣어 보겠습니다.

⇒ P(t) = (t – r) Q(t) = 0

따라서 x = t도 0 P(x)입니다.

따라서 입증되었습니다.

0과 계수의 관계

2차 및 3차 방정식의 0과 계수 사이의 관계는 아래에 설명되어 있습니다.

2차 방정식의 0과 계수 사이의 관계

ax 형식의 이차 방정식의 경우²+ bx + c = 0, 이차 방정식의 두 개의 0이 α와 β이면

• 근의 합 = α + β = -b/a
• 근의 곱 = α × β = c/a

3차 방정식의 0과 계수 사이의 관계

α, β, γ가 3차 다항식 도끼의 근인 경우^삼+ BX²+ cx + d = 0이면 영점과 계수 사이의 관계는 다음과 같습니다.

• a + b + c = -b/a
• α × β × γ= -d/a
• αβ + αγ + βγ = c/a

다항식의 0을 사용하여 방정식 형성

• α와 β가 0인 2차 다항식의 경우 2차 다항식은 다음과 같이 지정됩니다.

엑스 ² – (a + b)x + ab .

• 3개의 0 α, β, γ를 갖는 3차 다항식의 경우 3차 다항식은 다음과 같이 지정됩니다.

엑스 ^삼 – (a + b + c)x ² + (ab + ag + bg)x – abg

다항식 그래프의 0

다항식 y = f(x)의 그래프에서 실수 0은 그래프가 x축과 교차하거나 닿는 지점입니다. (가상의 0이 있는 그래프는 x축을 자르지 않습니다.) 즉, 3차 다항식의 실수해가 3개 있으면 해당 3차 다항식의 그래프는 x축과 세 번 교차하지만, 일부 3차 다항식에 대한 실수해가 하나만 있는 경우 그래프는 x축만 자릅니다. 한 번.

선형대수학의 기본정리

P(x)가 n차 다항식인 경우 P(x)는 정확히 n개의 0을 가지며 그 중 일부는 반복될 수 있습니다.

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이는 k가 다중성일 때 모든 0을 나열하고 각각을 k번 나열하면 의미합니다. 목록에는 정확히 n개의 숫자가 있습니다. 이는 다항식에 0이 몇 개 있어야 하는지에 대한 아이디어를 제공할 수 있으므로 유용할 수 있습니다. 따라서 필요한 0 개수에 도달하면 0 찾기를 중단할 수 있습니다.

루트의 다중성

인수분해하는 다항식 P(x) = 0이 있다고 가정합니다.

P(x) = (x – r) ^케이 (x – a) ^중

r이 다항식의 0이고 근을 생성하는 항의 지수가 k라면 우리는 r이 다음을 갖는다고 말합니다. 다중도 k . 다중도가 1인 0은 종종 호출됩니다. 단순한 2의 다중도를 갖는 0과 0을 다항식의 이중근이라고 합니다.

예: P(x)는 인수분해된 5차 다항식입니다. 뿌리와 그 다양성을 나열하십시오.

P(x) = 5x ⁵ -20x ⁴ +5배 ^삼 +50배 ² −20x−40=5(x+1) ² (x−2) ^삼

해결책:

주어진 경우, P(x) = 5(x+1)²(x−2)^삼

⇒ P(x) = 5(x+1)(x+1)(x+1)(x−2)(x−2)

0을 찾으려면 P(x) = 0

⇒ x = -1, -1, 2, 2, 2

-1은 0으로 두 번 발생하므로 다중도는 2이고 0 2의 다중도는 3입니다.

다항식의 0 관련 기사

• 다항식
• 이차 방정식의 근
• 대수적 표현

다항식의 0에 대한 샘플 문제

문제 1: x = 2가 P(x) = x의 0이라고 가정하면 ^삼 +2배 ² −5x−6. 나머지 두 개의 0을 찾으세요.

해결책:

앞서 공부한 기본 정리에서 P(x)는 3차 다항식이므로 0이 3개 있을 것이라고 말할 수 있습니다. 그 중 하나는 x = 2입니다.

그래서 우리는 P(x)를 다시 쓸 수 있습니다.

P(x) = (x – 2) Q(x)

다른 두 개의 0을 찾으려면 Q(x)를 찾아야 합니다.

Q(x)는 P(x)를 (x-2)로 나누어 알 수 있습니다.

나눈 후 Q(x)는 다음과 같이 나옵니다.

Q(x) = x²+ 4x + 3

나머지 두 개의 0은 이것으로부터 알아낼 수 있습니다.

Q(x) = x²+ 3x + x + 3

⇒ x(x + 3) + 1(x + 3)

⇒ (x + 1) (x + 3)

Q(x) = 0,

x = -1, -3

따라서 나머지 두 개의 0은 x = -1 및 x = -3입니다.

문제 2: x = r이 다항식의 0이라고 가정하고, 다항식의 다른 0을 찾아보세요.

P(x) = x ^삼 -6배 ² -16x; r = -2

해결책:

우리는 x = -2가 0이라는 것을 알고 있습니다.

따라서 P(x)는 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다. P(x) = (x + 2) Q(x) {나눗셈 알고리즘을 사용하여}

이제 Q(x)를 찾기 위해 이전 질문에서 했던 것과 동일한 작업을 수행합니다. P(x)를 (x + 2)로 나눕니다.

우리는 얻습니다.

Q(x) = x²– 8배

이제 다른 두 개의 0을 찾으려면 Q(x)를 인수분해하세요.

Q(x) = x(x – 8) = 0

따라서 0은 x = 0, 8입니다.

따라서 세 개의 0(x = -2, 0, 8)이 있습니다.

문제 3: 다항식 4x의 영점 찾기 ^삼 -3배 ² -25x-6 = 0

해결책:

3차 다항 방정식을 푸는 요령,

다항식 값을 0으로 만들 수 있는 가장 작은 정수를 찾고 1,-1,2부터 시작하는 식으로…

x = -2에 대해 표현식의 값이 0이 된다는 것을 알 수 있습니다.

따라서 근 중 하나는 -2입니다.

인자 정리에 따르면 a가 다항식의 0 중 하나이면 (x-a)는 주어진 다항식의 인자입니다.

아두이노의 기능

따라서 이 {x – (-2)} = (x+2)는 다항식보다 높은 인수 pof입니다.

우리는 이차 방정식을 얻었고 0이 이미 있습니다.

(4배²-11x-3)(x+2) = 0

이차 방정식을 인수분해하면,

(4배²-12x+x-3)(x+2) = 0

[4x(x-3)+1(x-3)](x+2) = 0

(4x+1)(x-3)(x+2) = 0

x = -2, x = 3, x = -1/4

문제 4: 다항식 4x의 영점 찾기 ⁶ – 16배 ⁴ = 0

해결책:

다항식은 최대 6차까지 가지므로 다항식에는 6개의 0이 존재합니다.

4배⁴(엑스²-4) = 0

4배⁴(엑스²-2²) = 0

4배⁴[(x+2)(x-2)] = 0

따라서 x= 0, 0, 0, 0, 2, -2

저장

문제 5: 다항식 함수 f(x) = x의 영점 찾기 ^삼 – 2배 ² – 5x + 6

해결책:

이 다항식의 영점을 찾기 위해 f(x) = 0으로 설정하고 x를 해결합니다.

에프(엑스) = 엑스^삼– 2배²– 5x + 6 = 0

d/a = 6이므로

유리근 정리에 따르면, 다항식의 가능한 모든 유리근은 다음과 같습니다.

d/a의 제수 = ±1, ±2, ±3, ±6

x = 1, p(x)에서 우리는 다음을 얻습니다.

에프(1) = (1)^삼– 2(1)²– 5(1) – 6

f(-1) = 1 – 2 – 5 + 6 = 0

따라서 인수 정리에 따르면 x – 1은 p(x)의 인수입니다.

따라서, x^삼+ 2배²– 5x – 6 = (x-1)(x²-x – 6)

엑스^삼+ 2배²– 5x – 6 = (x-1)(x+2)(x-3)

0의 경우 p(x) = 0,

p(x)의 0은 x = 1, x = -2, x = 3입니다.

다항식의 0에 대한 연습 문제

1. 다항식 f(x) = x의 모든 영점을 찾습니다. ^삼 – 6배 ² + 11x – 6

2. 다항식 g(x) = 2x의 모든 0을 결정합니다. ⁴ – 7배 ^삼 + 3배 ² + 4x – 4

3. 다항식 h(x) = x의 영점 찾기 ⁵ – 3배 ⁴ + 2배 ^삼 – 6배 ² + 엑스 + 2

4. 다항식의 모든 0을 결정합니다. p(x) = 3x ⁴ – 16배 ^삼 + 18배 ² + 16x – 12.

다항식의 0에 대한 FAQ

다항식의 0은 무엇입니까?

다항식의 값에 대한 이러한 실수 값은 0이 됩니다. 즉, p(x)가 다항식이고 p(a) = 0이면 x = a는 p(x)의 0입니다.

다항식의 0을 찾는 방법은 무엇입니까?

중항 및 이차 공식을 2차로 유출하는 것과 같이 다양한 다항식에 대해 0을 찾는 다양한 방법이 있습니다. 선형적이고 단순한 변수 재배열과 삼차의 경우 유리근 정리, 장제법, 인자 정리, 나머지 정리의 조합을 사용합니다.

다항식은 하나 이상의 0을 가질 수 있습니까?

예, 다항식은 하나 이상의 0을 가질 수 있습니다. 실제로 n도의 다항식은 최대 n개의 실수 0을 가질 수 있습니다.

다항식의 0의 다중성은 무엇입니까?

인수분해 과정에서 다항식의 하나의 인수 또는 하나의 0이 여러 번 나온 다음 인수 또는 0이 여러 번 나오는 것을 해당 근의 다중성이라고 합니다.

대수학의 기본 정리는 무엇입니까?

대수 상태의 기본 정리 P(x)가 n차 다항식이면 P(x)는 정확히 n개의 0을 가지며 그 중 일부는 반복될 수 있습니다.

차수가 n인 다항식은 항상 n개의 실수근을 가집니까?

아니요, n차 다항식은 항상 n개의 실수 근을 갖는 것은 아닙니다. 일부 근은 허수이거나 복소수일 수 있기 때문입니다.

영다항식의 차수는 무엇입니까?

0 다항식의 차수는 0입니다.