두 벡터 사이의 각도 공식

두 벡터 사이의 각도는 꼬리 사이의 각도이며 이 각도는 벡터 공식의 외적 및 내적을 사용하여 쉽게 찾을 수 있습니다. 두 벡터 사이의 각도는 항상 0°에서 180° 사이입니다.

이 기사에서는 두 벡터 사이의 각도, 정의, 공식 및 예에 대해 자세히 알아봅니다.

두 벡터 사이의 각도는 무엇입니까?

두 벡터 사이의 각도는 꼬리의 교차점에서 형성된 각도입니다. 두 벡터 사이의 각도는 벡터의 방향에 따라 예각, 직각 또는 둔각일 수 있습니다.

두 벡터 사이의 각도는 두 가지 공식을 사용하여 구합니다.

벡터의 내적 사용
벡터의 외적 사용

이는 아래 공식으로 설명됩니다.

두 벡터 수식 사이의 각도

두 벡터 사이의 각도 벡터의 스칼라 곱을 사용하여 가장 쉽고 일반적으로 발견됩니다.

두 개의 벡터 A와 B

내적 A와 B의 식은 다음과 같이 주어진다.

vec{A}.vec{B} = |아| |비| cosθ.

특수한 상황들

벡터 사이의 각도가 0도인 경우.

즉 θ = 0°

⇒ |아| |비| cosθ

⇒ |아| |비| cos0°

⇒ |아| |비| [cos0° = 1]

벡터 사이의 각도가 180도인 경우.

⇒ |아| |비| cosθ

⇒ |아| |비| cos180°

⇒ – |아| |비| [cos180° = -1]

벡터 사이의 각도가 90도인 경우.

⇒ |아| |비| cosθ

⇒ |아| |비| cos90°

⇒ |아| |비| × 0 [cos90° = 0]

⇒ 0

두 벡터 사이의 각도의 코사인은 두 벡터의 개별 구성요소의 곱을 두 벡터 크기의 곱으로 나눈 값과 같습니다.

두 벡터 A와 B

vec{A}.vec{B} =| A | | 비 | cosθ.

cosθ=frac{vec{A}.vec{B}}B

θ=코사인^-1 frac{vec{A}.vec{B}}B

데카르트 형식에서는

A = A_엑스나 + 에이_그리고j + 에이_{와 함께}케이

B=B_엑스나는 + B_그리고J + B_{와 함께}케이

cos θ =frac{(Ax.Bx+Ay.By+Az.Bz)}{(sqrt{Ax^2+Ay^2+Az^2}×sqrt{Bx^2+By^2+Bz^2})}
어레이리스트와 링크드리스트

내적의 속성

내적은 교환 가능합니다.

vec{A}.vec{B}=vec{B}.vec{A}

내적은 분배적이다

vec{A}.(vec{B}+vec{C})=(vec{A}.vec{B}+vec{A}.vec{C})

두 벡터 사이의 각도는 0 ≤ θ ≤ 180입니다. 두 벡터의 꼬리 또는 머리가 일치하면 벡터 사이의 각도가 계산됩니다.

꼬리 일치

머리 일치

샘플 문제 두 벡터 사이의 각도 공식

문제 1: 벡터 사이의 각도를 구합니다(정삼각형을 이루는 경우).

a와 b 벡터
b와 c 벡터
a와 c 벡터

a, b, c 벡터로 형성된 정삼각형

해결책:

a와 b 벡터
벡터 a와 b의 경우 두 벡터의 머리가 서로 일치하므로 a와 b 벡터 사이의 각도는 정삼각형의 두 변 사이의 각도 = 60°와 같습니다.

b 및 c 벡터:
위 그림에서 b와 c 벡터의 머리 또는 꼬리가 서로 일치하지 않음을 알 수 있습니다.

따라서 속성을 사용하면 벡터 자체와 평행하게 전송되는 경우 벡터는 변경되지 않은 상태로 유지됩니다.

벡터 c는 자신과 평행하게 이동합니다.

이제 우리는 벡터 b와 c의 꼬리가 서로 일치한다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 정삼각형 = 120°로 만드는 외각과 같습니다.

a와 c 벡터

a와 c의 꼬리가 일치함

벡터 a와 c의 경우 두 벡터의 꼬리가 서로 일치하므로 a와 c 벡터 사이의 각도는 정삼각형의 두 변 사이의 각도 = 60°와 같습니다.

문제 2: 이등변 직각삼각형을 이루는 벡터 사이의 각도를 구합니다.

a와 b 벡터
b와 c 벡터
a와 c 벡터

해결책:

a와 b 벡터

직각 이등변삼각형

위 그림에서 a와 b 벡터의 머리 또는 꼬리가 서로 일치하지 않음을 알 수 있습니다. 따라서 속성을 사용하면 벡터 자체와 평행하게 전송되는 경우 벡터는 변경되지 않은 상태로 유지됩니다.

벡터가 자기 자신과 평행하게 이동한 경우

이제 a와 b 벡터 꼬리가 서로 일치하고 직각 이등변삼각형의 외각 = 135°와 같은 각도를 만듭니다.

b와 c 벡터

직각 이등변삼각형

위 그림에서 b와 c 벡터의 머리 또는 꼬리는 서로 일치하지 않습니다. 따라서 이 속성을 사용하면 벡터가 자신과 평행하게 전송되는 경우 벡터가 변경되지 않은 상태로 유지됩니다.

b 벡터는 자신과 평행하게 이동합니다.

이제 b와 c 벡터 꼬리는 서로 일치하고 직각 이등변삼각형의 외각 = 135°와 같은 각도를 만듭니다.

a와 c 벡터

직각 이등변삼각형

위 그림에서 a와 c 벡터의 머리 또는 꼬리가 서로 일치하지 않습니다. 따라서 속성을 사용하면 벡터 자체와 평행하게 전송되는 경우 벡터는 변경되지 않은 상태로 유지됩니다.

c 벡터가 자신과 평행하게 이동합니다.

이제 a와 c 벡터의 꼬리가 서로 일치하여 이등변삼각형의 직각 = 90°와 같은 각도를 만듭니다.

문제 3: 벡터 A = i + j + k와 벡터 B = -2i – 2j – 2k 사이의 각도를 구합니다.

해결책:

공식으로부터,
터미널 칼리 리눅스

A = A_엑스나 + 에이_그리고j + 에이_{와 함께}케이

B=B_엑스나는 + B_그리고J + B_{와 함께}케이

cosθ=frac{(Ax.Bx+Ay.By+Az.Bz)}{(sqrt{Ax^2+Ay^2+Az^2}×sqrt{Bx^2+By^2+Bz^2})}

여기 주어진 질문에서,

A= i + j + k

B= -2i -2j -2k

공식의 값 대체

⇒ cosθ =frac{(1.(-2)+1.(-2)+1.(-2))}{(sqrt{1^2+1^2+1^2}×sqrt{(-2)^2+(-2)^2+(-2)^2})}

⇒ cosθ =frac{(-2-2-2)}{(sqrt{1+1+1}×sqrt{4+4+4})}

⇒ cosθ =frac{-6}{(sqrt{3}×sqrt{12})}

⇒ cosθ =frac{-6}{(sqrt{36})}

⇒ cosθ = -6/6

⇒ cosθ= -1

⇒ θ = 180°

문제 4: 벡터 A = 3i + 4j와 B = 2i + j 사이의 각도 찾기

해결책:

A = A_엑스나 + 에이_그리고j + 에이_{와 함께}케이

비 = 비_엑스나는 + B_그리고J + B_{와 함께}케이

cosθ =frac{(Ax.Bx+Ay.By+Az.Bz)}{(sqrt{Ax^2+Ay^2+Az^2}×sqrt{Bx^2+By^2+Bz^2})}

여기 주어진,

A= 3i + 4j + 0k

B= 2i + j + 0k

공식의 값을 대체하면,

⇒ cosθ =frac{(3.2+4.1+0.0)}{(sqrt{3^2+4^2+0^2}×sqrt{2^2+1^2+0^2})}

⇒ cosθ =frac{(6+4+0)}{(sqrt{9+16+0}×sqrt{4+1+0})}

⇒ cosθ =frac{(10)}{(sqrt{25}×sqrt{5})}

⇒ cosθ =frac{(10)}{(sqrt{125})}

⇒ θ = cos^-1(frac{(10)}{5.(sqrt{5})})

⇒ θ = cos^-1(frac{2}{(sqrt{5})})

문제 5: 벡터 A = i + j와 벡터 B = j + k 사이의 각도를 구합니다.

해결책:

공식으로부터,

A = A_엑스나 + 에이_그리고j + 에이_{와 함께}케이

비 = 비_엑스나는 + B_그리고J + B_{와 함께}케이

cosθ =frac{(Ax.Bx+Ay.By+Az.Bz)}{(sqrt{Ax^2+Ay^2+Az^2}×sqrt{Bx^2+By^2+Bz^2})}

여기 주어진 질문에서,

⇒ A = i + j

⇒ B = j + k

⇒ cosθ =frac{(1.0+1.1+0.1)}{(sqrt{1^2+1^2+0^2}×sqrt{0^2+1^2+1^2})}

⇒ cosθ =frac{(1)}{(sqrt{1+1+0}×sqrt{0+1+1})}

⇒ cosθ =frac{1}{(sqrt{2}×sqrt{2})}

⇒ θ = cos^-1(1/2)

⇒ θ = 60°