크기뿐만 아니라 방향도 특징으로 하는 양을 벡터라고 합니다. 속도, 힘, 가속도, 운동량 등은 벡터입니다.

벡터는 두 가지 방법으로 곱할 수 있습니다.

• 스칼라 곱 또는 도트 곱
• 벡터 곱 또는 교차곱

내용의 테이블

• 스칼라 곱/벡터의 내적
• 한 벡터를 다른 벡터에 투영
• 스칼라곱의 특성
• 내적을 기반으로 한 부등식
• 벡터의 외적/벡터 곱
• 외적의 속성
• 행렬식 형태의 외적
• 도트 앤 크로스 프로덕트
• 벡터의 점과 교차곱에 대한 FAQ

스칼라 곱/벡터의 내적

두 벡터의 스칼라 곱/내적은 항상 스칼라 수량입니다. 두 벡터를 고려해보세요 ㅏ 그리고 비 . 스칼라 곱은 a, b의 크기와 이들 벡터 사이의 각도의 코사인의 곱으로 계산됩니다.

스칼라 곱 = |a||b| 왜냐하면 α

여기,

• |아| = 벡터의 크기 ㅏ,
• |b| = 벡터의 크기 비 , 그리고
• α = 벡터 사이의 각도.

사이 각도 α를 갖는 벡터 a와 b

한 벡터를 다른 벡터에 투영

벡터 ㅏ 아래와 같이 라인 l에 투영할 수 있습니다.

CD = 벡터 b에 대한 벡터 a의 투영

C의 피보나치 수열

위 그림을 보면 한 벡터를 다른 벡터 위에 투영할 수 있다는 것이 분명해졌습니다. AC는 벡터 A의 크기입니다. 위 그림에서 AD는 선 l에 수직으로 그려집니다. CD는 벡터의 투영을 나타냅니다. ㅏ 벡터에 비 .

따라서 삼각형 ACD는 직각 삼각형이므로 삼각법 공식을 적용할 수 있습니다.

α가 각도 ACD의 측정값인 경우

왜냐하면 α = CD/AC

또는, CD = AC cos a

그림에서 CD는 벡터 a에 대한 벡터 b의 투영임이 분명합니다.

따라서 우리는 한 벡터가 두 벡터 사이의 각도의 코사인에 의해 다른 벡터 위에 투영될 수 있다는 결론을 내릴 수 있습니다.

스칼라곱의 특성

• 두 벡터의 스칼라 곱은 항상 실수(스칼라)입니다.
• 스칼라 곱은 교환 가능합니다. 즉, a.b =b.a= |a||b| 왜냐하면 α
• α가 90°이면 cos(90) = 0이므로 스칼라 곱은 0입니다. 따라서 x, y 방향의 단위 벡터의 스칼라 곱은 0입니다.
• α가 0°인 경우 스칼라 곱은 다음 크기의 곱입니다. ㅏ 그리고 비 |a||b|.
• 단위 벡터 자체의 스칼라 곱은 1입니다.
• 벡터 a와 그 자체의 스칼라 곱은 |a|²
• α가 180인 경우⁰, 벡터 a와 b의 스칼라 곱은 -|a||b|
• 스칼라 곱은 덧셈에 대한 분배입니다.

ㅏ. ( 비 + 씨 ) = a.b + 교류

• 그러면 임의의 스칼라 k와 m에 대해,

엘 ㅏ. (중 비 ) =km a.b

• 벡터의 구성요소 형태가 다음과 같이 주어지면:

ㅏ =a₁엑스 + 에이₂그리고 +_삼와 함께

비 =b₁x + b₂와이 + 비_삼와 함께

그러면 스칼라 곱은 다음과 같이 주어집니다.

a.b =a₁비₁+ 에₂비₂+ 에_삼비_삼

• 다음과 같은 경우 스칼라 곱은 0입니다.
  • 벡터 a의 크기는 0입니다.
  • 벡터 b의 크기는 0입니다.
  • 벡터 a와 b는 서로 수직입니다.

내적을 기반으로 한 부등식

벡터의 내적을 기반으로 하는 다양한 부등식은 다음과 같습니다.

• 코시 – 슈바르츠 부등식
• 삼각형 부등식

이에 대해 자세히 논의해 보면 다음과 같습니다.

코시 – 슈바르츠 부등식

이 원리에 따르면 임의의 두 벡터에 대해 ㅏ 그리고 비 , 내적의 크기는 항상 벡터 a와 벡터 b의 크기의 곱보다 작거나 같습니다.

|a.b| ≤ |아| |b|

증거:

이후, a.b = |a| |b| 왜냐하면 α

우리는 0이라는 것을 알고 있습니다

따라서 우리는 |a.b| ≤ |a| |b|

삼각형 부등식

임의의 두 벡터에 대해 ㅏ 그리고 비 , 우리는 항상

| ㅏ + 비 | ≤ | ㅏ | + | 비 |

삼각형 부등식

증거:

| ㅏ + 비 |²=| ㅏ + 비 || ㅏ + 비 |

= a.a + a.b + b.a + 비비

= | ㅏ |²+ 2 a.b +| 비 |²(내적은 교환 가능합니다)

≤ | ㅏ |²+ 2| a||b | + | 비 |²

≤ ( |a | + | 비| )²

이는 다음을 증명합니다 | ㅏ + 비 | ≤ | ㅏ | + | 비|

벡터 내적의 예

예 1. |a|=6, |b|=3, α = 60°인 두 벡터를 고려합니다. 내적을 찾아보세요.

해결책:

a.b = |아| |b| 왜냐하면 α

그래서, a.b = 6.3.cos(60°)

=18(1/2)

a.b = 9

예 2. 벡터 a = 3i+j-4k와 벡터 b = 8i-8j+4k가 수직임을 증명합니다.

해결책 :

내적이 0이면 벡터가 수직임을 알 수 있습니다.

a.b = (3i+j-4k)(8i-8j+4k)

= (3)(8) +(1)(-8)+(-4)(4)

=24-8-16 =0

알리야 마나사

스칼라 곱은 0이므로 벡터가 서로 수직이라고 결론을 내릴 수 있습니다.

벡터의 외적/벡터 곱

독자들은 이미 3차원 오른손잡이 직각 좌표계에 익숙합니다. 이 시스템에서 x축이 양의 y축으로 반시계 방향으로 회전한다는 것은 오른쪽(표준) 나사가 그림에 표시된 것처럼 양의 z축 방향으로 전진한다는 것을 나타냅니다.

3D 직사각형 좌표계

그만큼 두 벡터의 벡터 곱 또는 교차곱 ㅏ 그리고 비 그들 사이의 각도 α는 수학적으로 다음과 같이 계산됩니다.

a × b = |a| |b| α가 없는

외적은 특정 방향을 갖는 벡터라는 점에 유의해야 합니다. 결과는 항상 a와 b 모두에 수직입니다.

또한 두 개의 벡터가 주어지면mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)그리고mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3), a × b로 표시되는 교차곱은 다음과 같이 계산됩니다.

mathbf{a} imes mathbf{b} = (a_2b_3 – a_3b_2, a_3b_1 – a_1b_3, a_1b_2 – a_2b_1)

a와 b가 평행 벡터인 경우 결과는 sin(0) = 0이므로 0이 됩니다.

외적의 속성

• 외적은 벡터 수량을 생성합니다. 결과는 항상 a와 b 모두에 수직입니다.
• 평행 벡터/공선 벡터의 외적은 sin(0) = 0이므로 0입니다.

i × i = j × j = k × k = 0

• 각각 단위 크기를 갖는 두 개의 서로 수직인 벡터의 외적은 1입니다. (sin(0)=1이므로)
• 외적은 가환적이지 않습니다.

a × b는 b × a와 같지 않습니다.

• 교차곱은 덧셈에 대한 분배입니다.

× ( 비 + 씨 ) = ㅏ ×b + ㅏ × 씨

• k가 스칼라이면,

k(a × b) = k(a) × b = a × k(b)

• 시계 방향으로 이동하고 두 쌍의 단위 벡터의 외적을 취하면 세 번째 벡터를 얻고 시계 반대 방향으로 이동하면 음의 결과를 얻습니다.

시계방향과 반시계방향의 외적

다음과 같은 결과가 확립될 수 있습니다:

행렬식 형태의 외적

벡터의 경우 ㅏ 로 표현된다 a = a1x + a2y + a3z 그리고 벡터 비 로 표현된다 b = b1x + b2y + b3z

그런 다음 교차곱 a × b 행렬식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

문자열을 int로 자바

egin{array}{ccc} x & y & z a 1 & a 2 & a 3 b 1 & b 2 & b 3 end{array}

그 다음에, a × b = x(a₂비_삼– 비₂ㅏ_삼) + y(a_삼비₁- ㅏ₁비_삼) + z(a₁비₂- ㅏ₂비₁)

a와 b가 평행사변형 OXYZ의 인접한 변이고 α는 벡터 a와 b 사이의 각도입니다.

그러면 평행사변형의 면적은 다음과 같이 주어진다. a × b | = |아| |b|sin.a

평행사변형의 인접한 변인 벡터 a와 b

예 C의 벡터스의 로스곱

예 1. 크기가 각각 5와 10인 경우 두 벡터 a와 b의 외적을 구합니다. 그 사이의 각도는 30°입니다.

해결책:

a × b = a.b.sin (30) = (5) (10) (1/2) = 25 수직 ㅏ 그리고 비

예 2. 인접한 변이 다음과 같은 평행사변형의 면적을 구합니다.

a = 4i+2j -3k

b= 2 i +j-4k

해결책 :

인접한 변의 외적을 구하여 면적을 계산합니다.

a × b = x(a₂비_삼– 비₂ㅏ_삼) + y(a_삼비₁- ㅏ₁비_삼) + z(a₁비₂- ㅏ₂비₁)

= i(-8+3) + j(-6+16) + k(4-4)

= -5i +10j

따라서 면적의 크기는sqrt{(5^2 +10^2)}

=sqrt{(25+100)}

=sqrt{(125)} =5sqrt{5}

도트 앤 크로스 프로덕트

벡터의 내적과 외적의 일반적인 차이점은 다음과 같습니다.

더 읽어보기,

• 벡터 대수학
• 스칼라와 벡터
• 두 벡터의 스칼라 곱
• 벡터의 산물

벡터의 점과 교차곱에 대한 FAQ

내적은 기하학적으로 무엇을 나타냅니까?

두 벡터의 내적은 크기와 사이 각도의 코사인에 따라 크기가 조정된 한 벡터의 다른 벡터에 대한 투영을 나타냅니다.

기하학에서 내적은 어떻게 사용되나요?

벡터 간의 각도를 찾고, 직교 벡터를 결정하고, 투영을 계산하고, 벡터 간의 유사성을 측정하는 데 사용됩니다.

두 벡터의 내적이 0이면 어떻게 될까요?

내적이 0이면 벡터가 서로 직교(수직)함을 의미합니다.

외적은 기하학적으로 무엇을 나타냅니까?

두 벡터의 외적은 원래 벡터를 포함하는 평면에 수직인 벡터를 나타냅니다. 그 크기는 벡터에 의해 형성된 평행사변형의 면적과 같습니다.

외적의 방향을 어떻게 찾나요?

오른손 법칙을 사용하세요. 오른쪽 엄지손가락은 첫 번째 벡터 방향을 가리키고, 집게손가락은 두 번째 벡터 방향을 가리키고, 가운데 손가락은 외적 방향을 가리킵니다.