다음 튜토리얼에서는 B Tree 데이터 구조에 대해 배우고 시각화하는 것을 고려해 보겠습니다.

이제 시작하겠습니다.

B 트리란 무엇입니까?

그만큼 B 트리 는 특별한 유형의 다방향 탐색 트리 , 일반적으로 M-웨이 스스로 균형을 유지하는 나무. 균형 잡힌 구조로 인해 이러한 트리는 일반적으로 거대한 데이터베이스를 운영 및 관리하고 검색을 단순화하는 데 사용됩니다. B 트리에서 각 노드는 최대 n개의 하위 노드를 가질 수 있습니다. B 트리는 데이터베이스 관리 시스템(DBMS)의 다중 레벨 인덱싱의 예입니다. 리프 및 내부 노드에는 모두 레코드 참조가 있습니다. B 트리는 모든 리프 노드가 동일한 수준에 있기 때문에 균형 저장 트리(Balanced Stored Tree)로 알려져 있습니다.

다음 다이어그램은 B 트리의 예입니다.

그림 1. 차수가 3인 A B 트리

B 트리의 규칙 이해

B 트리의 중요한 속성은 다음과 같습니다.

1. 모든 리프 노드는 동일한 수준에 있습니다.
2. B 트리 데이터 구조는 최소 차수 'd'라는 용어로 정의됩니다. 'd' 값은 디스크 블록의 크기에 따라 달라집니다.
3. 루트를 제외한 모든 노드는 최소한 d-1개의 키로 구성되어야 합니다. 루트 노드는 최소 1개의 키로 구성될 수 있습니다.
4. 모든 노드(루트 노드 포함)는 최대로 구성될 수 있습니다. (2d-1) 열쇠.
5. 노드의 자식 수는 다음과 같습니다. 그 안에 존재하는 키 수를 추가하고 .
6. 노드의 모든 키는 오름차순으로 정렬됩니다. 두 키 k1과 k2 사이의 하위 키는 각각 k1과 k2 사이의 모든 키로 구성됩니다.
7. 이진 검색 트리와 달리 B 트리 데이터 구조는 루트에서 커지거나 작아집니다. 반면 이진 검색 트리는 아래로 성장하고 아래로 축소됩니다.
8. 다른 자체 균형 이진 검색 트리와 유사하게 검색, 삽입 및 삭제와 같은 작업에 대한 B 트리 데이터 구조의 시간 복잡도는 다음과 같습니다. O(로그?n) .
9. B 트리에 노드 삽입은 리프 노드에서만 발생합니다.

최소 차수가 5인 B 트리의 다음 예를 고려해 보겠습니다.

그림 2. A B 차수 5의 트리

참고: 실제 B 트리에서는 최소 차수의 값이 5보다 훨씬 큽니다.

위 다이어그램에서 우리는 모든 리프 노드가 동일한 레벨에 있고 리프가 아닌 모든 노드에는 빈 하위 트리가 없으며 하위 노드 수보다 하나 적은 키로 구성된다는 것을 알 수 있습니다.

B 트리 규칙의 집합 공식화:

모든 B 트리는 다음과 같이 알려진 양의 상수 정수에 의존합니다. 최저한의 이는 단일 노드에 보관할 수 있는 데이터 요소의 수를 결정하는 데 사용됩니다.

자바 교체

규칙 1: 루트에는 데이터 요소가 하나만 있을 수 있습니다(또는 자식 요소가 없는 경우 데이터 요소가 없을 수도 있음). 다른 모든 노드에는 최소한 최저한의 데이터 요소.

규칙 2: 노드에 저장되는 데이터 요소의 최대 개수는 다음 값의 두 배입니다. 최저한의 .

규칙 3: B 트리의 각 노드의 데이터 요소는 부분적으로 채워진 배열에 저장되며 가장 작은 데이터 요소(인덱스)부터 정렬됩니다. 0 )를 가장 큰 데이터 요소(어레이의 최종 활용 위치)로 복사합니다.

규칙 4: 리프가 아닌 노드 아래의 하위 트리의 총 수는 항상 해당 노드의 데이터 요소 수보다 1개 더 많습니다.

• 하위 트리 0,하위 트리 1,...

규칙 5: 리프가 아닌 노드와 관련하여:

1. 인덱스의 데이터 요소가 하위 트리 번호의 모든 데이터 요소보다 큽니다. 나 노드의
2. 인덱스의 데이터 요소는 하위 트리 번호의 모든 데이터 요소보다 작습니다. 나+1 노드의.

규칙 6: B 트리의 모든 리프는 동일한 깊이를 갖습니다. 따라서 B 트리는 불균형 트리 문제를 방지합니다.

B 트리 데이터 구조에 대한 작업

작업 중에 B 트리 데이터 구조의 속성 중 어느 것도 위반되지 않도록 하기 위해 B 트리를 분할하거나 결합할 수 있습니다. 다음은 B 트리에서 수행할 수 있는 몇 가지 작업입니다.

1. B 트리에서 데이터 요소 검색
2. B 트리에 데이터 요소 삽입
3. B 트리의 데이터 요소 삭제

B 트리에서 검색 작업

B 트리의 요소 검색은 이진 검색 트리의 요소 검색과 유사합니다. 그러나 이진 검색 트리처럼 양방향 결정(왼쪽 또는 오른쪽)을 내리는 대신 B 트리는 각 노드에서 m방향 결정을 내립니다. 여기서 m은 노드의 자식 수입니다.

B 트리에서 데이터 요소를 검색하는 단계:

1 단계: 검색은 루트 노드부터 시작됩니다. 검색 요소 k를 루트와 비교합니다.

1.1단계: 루트 노드가 k 요소로 구성되면 검색이 완료됩니다.

1.2단계: k 요소가 루트의 첫 번째 값보다 작으면 가장 왼쪽 자식으로 이동하여 재귀적으로 자식을 검색합니다.

1.3.1단계: 루트에 자식이 두 개만 있으면 가장 오른쪽 자식으로 이동하고 자식 노드를 재귀적으로 검색합니다.

1.3.2단계: 루트에 세 개 이상의 키가 있으면 나머지를 검색합니다.

2 단계: 전체 트리를 순회한 후에도 k 요소가 발견되지 않으면 해당 검색 요소는 B 트리에 존재하지 않습니다.

예제를 통해 위의 단계를 시각화해 보겠습니다. 다음 B 트리에서 k=34 키를 검색한다고 가정해 보겠습니다.

그림 3.1. 주어진 B 트리

1. 먼저, 키가 있는지 확인하겠습니다. k = 34 루트 노드에 있습니다. 키가 루트에 없으므로 하위 노드로 이동하겠습니다. 또한 루트 노드에 두 개의 자식이 있는 것을 볼 수 있습니다. 따라서 두 키 사이에 필요한 값을 비교하겠습니다.
   
   그림 3.2. 키 k가 루트에 존재하지 않습니다.
2. 이제 키 k가 루트 노드, 즉 30보다 크다는 것을 알 수 있으므로 루트의 오른쪽 자식으로 진행하겠습니다.
   
   그림 3.3. 키 k > 30, 오른쪽 자식으로 이동
3. 이제 키 k를 노드에 존재하는 값, 즉 각각 40과 50과 비교할 것입니다. 키 k가 왼쪽 키보다 작기 때문에(즉, 40) 노드의 왼쪽 자식으로 이동합니다.
   
   그림 3.4. 키 k<40, move to left child< li>
4. 40의 왼쪽 자식의 값이 필요한 값인 34이므로 키를 찾았다고 결론을 내릴 수 있고 검색 작업이 완료됩니다.
   
   그림 3.4. 키 k = 34, 왼쪽 자식 40

위의 예에서 키를 찾을 때까지 4가지 다른 값과 비교했습니다. 따라서 B Tree에서 탐색 연산에 필요한 시간복잡도는 다음과 같다. O(로그?n) .

B 트리에 작업 삽입

B 트리에 데이터 요소를 삽입하는 동안 먼저 해당 요소가 트리에 이미 존재하는지 여부를 확인해야 합니다. 데이터 요소가 B 트리 내에서 발견되면 삽입 작업이 발생하지 않습니다. 그러나 그렇지 않은 경우 추가로 삽입을 진행하겠습니다. 리프 노드에 요소를 삽입하는 동안 처리해야 하는 두 가지 시나리오가 있습니다.

노드는 최대 개수 이상의 키로 구성되지 않습니다.노드의 적절한 위치에 키를 삽입하겠습니다.노드는 최대 개수의 키로 구성됩니다.전체 노드에 키를 삽입하면 분할 작업이 수행되어 전체 노드가 세 부분으로 분할됩니다. 두 번째 또는 중앙값 키는 상위 노드로 이동하고 첫 번째 및 세 번째 부분은 각각 왼쪽 및 오른쪽 하위 노드 역할을 합니다. 이 프로세스는 상위 노드가 최대 개수의 키로 구성된 경우에도 반복됩니다.

B 트리에 데이터 요소를 삽입하는 단계:

1 단계: B 트리의 순서를 기준으로 노드의 최대 키 수를 계산하는 것부터 시작하겠습니다.

2 단계: 트리가 비어 있으면 루트 노드가 할당되고 루트 노드 역할을 하는 키를 삽입합니다.

3단계: 이제 삽입할 해당 노드를 검색하겠습니다.

4단계: 노드가 가득 찬 경우:

4.1단계: 데이터 요소를 오름차순으로 삽입하겠습니다.

4.2단계: 데이터 요소가 최대 키 수보다 크면 중앙값에서 전체 노드를 분할합니다.

4.3단계: 중앙값 키를 위쪽으로 밀고 왼쪽 및 오른쪽 키를 왼쪽 및 오른쪽 자식으로 분할합니다.

5단계: 노드가 가득 차지 않으면 오름차순으로 노드를 삽입합니다.

예제를 통해 위의 단계를 시각화해 보겠습니다. 순서 4의 B 트리를 생성해야 한다고 가정합니다. B 트리에 삽입해야 하는 데이터 요소는 다음과 같습니다. 5,3,21,11,1,16,8,13,4 및 9 .

1. m은 3과 같으므로 노드의 최대 키 수 = m-1 = 3-1 = 2 .
2. 삽입부터 시작하겠습니다. 5 빈 나무에서.
   
   그림 4.1. 5개 삽입
3. 이제 트리에 3을 삽입하겠습니다. 3은 5보다 작으므로 같은 노드에서 5의 왼쪽에 3을 삽입합니다.
   
   그림 4.2. 3개 삽입
4. 이제 트리에 21을 삽입할 것이며, 21은 5보다 크므로 동일한 노드에서 5의 오른쪽에 삽입됩니다. 그러나 노드의 최대 키 개수는 2개이므로 이 키 중 하나는 분할하기 위해 상위 노드로 이동됩니다. 따라서 중간 데이터 요소인 5는 위로 이동하고 3과 21은 각각 왼쪽 및 오른쪽 노드가 됩니다.
   
   그림 4.3. 21 삽입
5. 이제 다음 데이터 요소, 즉 5보다 크고 21보다 작은 11을 삽입할 차례입니다. 따라서 21을 키로 구성하는 노드의 왼쪽에 11이 키로 삽입됩니다.
   
   그림 4.4. 11 삽입
6. 마찬가지로 다음 데이터 요소 1을 트리에 삽입할 것이며 관찰할 수 있듯이 1은 3보다 작습니다. 따라서 3개로 구성된 노드의 왼쪽에 키로 삽입됩니다.
   
   그림 4.5. 1개 삽입 중
7. 이제 11보다 크고 21보다 작은 데이터 요소 16을 트리에 삽입하겠습니다. 그러나 해당 노드의 키 수가 최대 키 수를 초과합니다. 따라서 노드가 분할되어 중간 키가 루트로 이동됩니다. 따라서 16은 5의 오른쪽에 삽입되어 11과 21을 두 개의 별도 노드로 분할합니다.
   
   그림 4.6. 16 삽입
8. 데이터 요소 8은 11의 왼쪽에 키로 삽입됩니다.
   
   그림 4.7. 8 삽입
9. 16보다 작고 11보다 큰 13을 트리에 삽입합니다. 따라서 데이터 요소 13은 8과 11로 구성된 노드의 오른쪽에 삽입되어야 합니다. 그러나 트리의 최대 키 수는 2만 있으면 분할이 발생하여 중간 데이터 요소 11을 위 노드로 이동하고 8과 13을 두 개의 별도 노드로 이동합니다. 이제 위의 노드는 5, 11, 16으로 구성되며, 이는 다시 최대 키 수를 초과합니다. 따라서 또 다른 분할이 발생하여 데이터 요소 11을 5와 16을 하위로 갖는 루트 노드로 만듭니다.
   
   그림 4.8. 13 삽입
10. 데이터 요소 4는 5보다 작고 3보다 크므로 1과 3으로 구성된 노드 오른쪽에 삽입되며, 이는 다시 노드의 최대 키 수를 초과하게 됩니다. 따라서 유출이 다시 발생하여 3이 5 옆의 상위 노드로 이동합니다.
    
    그림 4.9. 4개 삽입
11. 마지막으로 8보다 크고 11보다 작은 데이터 요소 9가 8로 구성된 노드의 오른쪽에 키로 삽입됩니다.
    
    그림 4.10. 9 삽입

위의 예에서는 다양한 비교를 수행했습니다. 첫 번째 값은 트리에 직접 삽입되었습니다. 그 후 모든 값은 해당 트리에서 사용 가능한 노드와 비교되어야 했습니다. B 트리에서 삽입 작업의 시간 복잡도는 노드 수와 에 따라 다릅니다.

B 트리에서 작업 삭제

B 트리의 데이터 요소 삭제에는 세 가지 주요 이벤트가 포함됩니다.

1. 삭제할 키가 존재하는 노드를 검색하면,
2. 키를 삭제하고,

• 필요한 경우 트리 균형을 조정합니다.

트리에서 요소를 삭제하는 동안 언더플로라는 조건이 발생할 수 있습니다. 언더플로는 노드가 최소 키 수보다 적게 구성될 때 발생합니다. 그것은 유지되어야합니다.

다음은 삭제/제거 작업을 시각화하기 전에 이해해야 할 몇 가지 용어입니다.

순서대로 전임자:노드의 왼쪽 자식에 있는 가장 중요한 키를 순서대로 선행하는 키라고 합니다.순서대로 후임자:노드의 오른쪽 자식에 있는 마이너 키를 순서대로 후속 키라고 합니다.

B 트리에서 삭제 작업의 대표적인 세 가지 사례는 다음과 같습니다.

사례 1: 키 삭제/제거는 리프 노드에 있습니다. 이 사건은 다시 두 가지 경우로 나누어집니다.

1. 키의 삭제/제거는 노드가 보유해야 하는 최소 키 수의 속성을 위반하지 않습니다.

다음 B 트리에서 키 32를 삭제하는 예를 사용하여 이 사례를 시각화해 보겠습니다.

그림 4.1: B 트리에서 리프 노드 키(32) 삭제

우리가 볼 수 있듯이 이 트리에서 32를 삭제해도 위의 속성을 위반하지 않습니다.

2. 키의 삭제/제거는 노드가 보유해야 하는 최소 키 수의 속성을 위반합니다. 이 경우, 왼쪽에서 오른쪽 순서로 가까운 형제 노드로부터 키를 빌려야 합니다.

먼저, 가까운 왼쪽 형제를 방문하겠습니다. 왼쪽 형제 노드에 최소 개수보다 많은 키가 있는 경우 이 노드에서 키를 빌립니다.

그렇지 않으면 가까운 Right 형제 노드에서 빌려오는지 확인합니다.

이제 위의 B 트리에서 31을 삭제하는 예를 통해 이 사례를 시각화해 보겠습니다. 이 경우 왼쪽 형제 노드에서 키를 빌릴 것입니다.

그림 4.2: B 트리에서 리프 노드 키(31) 삭제

두 인접 형제 노드가 이미 최소 수의 키로 구성되어 있는 경우 노드를 왼쪽 형제 노드 또는 오른쪽 노드와 병합합니다. 이 병합 프로세스는 상위 노드를 통해 수행됩니다.

위 B 트리에서 키 30을 삭제하여 다시 시각화해 보겠습니다.

그림 4.3: B 트리에서 리프 노드 키(30) 삭제

사례 2: 키 삭제/제거는 리프가 아닌 노드에 있습니다. 이 사건은 다음과 같이 또 다른 사건으로 나누어집니다.

1. 제거된 비리프/내부 노드는 왼쪽 하위 노드에 최소 키 개수보다 많은 키가 있는 경우 순서대로의 전임 노드로 교체됩니다.

Java 객체를 json으로 변환

B 트리에서 키 33을 삭제하는 예를 사용하여 이 사례를 시각화해 보겠습니다.

그림 4.4: B 트리에서 리프 노드 키(33) 삭제

2. 제거된 비리프/내부 노드는 오른쪽 하위 노드에 최소 키 개수보다 많은 키가 있는 경우 순서대로의 후속 노드로 대체됩니다.

두 하위 중 하나에 최소 개수의 키가 있는 경우 왼쪽 및 오른쪽 하위 노드를 병합합니다.

B 트리에서 키 30을 삭제하여 이 사례를 시각화해 보겠습니다.

그림 4.5: B 트리에서 리프 노드 키(30) 삭제

병합 후 상위 노드의 키 수가 최소 개수보다 적으면 다음과 같이 형제를 찾을 수 있습니다. 사례 1 .

사례 3: 다음 경우에는 트리의 높이가 줄어듭니다. 대상 키가 내부 노드에 있고 키를 제거하면 노드에 더 적은 수의 키(필요한 최소값보다 적음)가 발생하는 경우 순서대로의 선행 키와 순서대로의 후속 키를 찾습니다. 두 자녀 모두 최소 개수의 키를 갖고 있으면 대출이 발생할 수 없습니다. 이로 인해 사례 2(3) , 즉 하위 노드를 병합합니다.

열쇠를 빌릴 형제자매를 다시 찾아보겠습니다. 그러나 형제 노드도 최소 개수의 키로 구성된 경우 부모 노드와 함께 형제 노드와 노드를 병합하고 요구 사항(오름차순)에 따라 자식 노드를 정렬합니다.

주어진 B 트리에서 데이터 요소 10을 삭제하는 예를 통해 이 사례를 시각화해 보겠습니다.

그림 4.6: B 트리에서 리프 노드 키(10) 삭제

위 예의 시간 복잡도는 키를 삭제해야 하는 위치에 따라 달라집니다. 따라서 B 트리에서 삭제 작업의 시간 복잡도는 다음과 같습니다. O(로그?n) .

결론

이 튜토리얼에서 우리는 B 트리에 대해 배웠고 다양한 예제를 통해 다양한 작업을 시각화했습니다. 우리는 또한 B 트리의 몇 가지 기본 속성과 규칙을 이해했습니다.