베이즈 정리 사건의 조건부 확률을 결정하는 데 사용됩니다. 영국 통계학자의 이름을 따서 명명되었습니다. 토마스 베이즈 그는 1763년에 이 공식을 발견했습니다. 베이즈 정리는 수학에서 매우 중요한 정리로, 수학에서 매우 중요한 정리로, 베이즈의 추론. 이는 해당 이벤트와 관련될 수 있는 조건에 대한 사전 지식을 기반으로 이벤트의 확률을 찾는 데 사용됩니다.

예를 들어, 흰색 구슬이 이미 뽑혀 있었다면 무작위로 뽑은 흰색 구슬이 첫 번째 가방에서 나올 확률을 찾고 싶다면, 각각 흰색과 검은색 구슬이 들어 있는 세 개의 가방이 있다면 베이즈 정리를 사용할 수 있습니다.

이 기사에서는 베이즈 정리의 명제, 증명, 유도 및 공식을 비롯하여 다양한 예를 통해 응용에 대해 살펴봅니다.

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베이즈 정리란 무엇입니까?

베이즈 정리(베이즈 규칙 또는 베이즈 법칙이라고도 함)는 사건 B가 이미 발생한 경우 사건 A의 조건부 확률을 결정하는 데 사용됩니다.

베이즈 정리의 일반적인 설명은 다음과 같습니다. 다른 사건 B가 발생할 때 사건 A의 조건부 확률은 A와 A의 확률을 사건 B의 확률로 나눈 B의 사건의 곱과 같습니다. 즉.

P(A|B) = P(B|A)P(A) / P(B)

어디,

• 아빠) 그리고 피(B) 사건 A와 B의 확률은 다음과 같습니다.
• 피(A|B) 사건 B가 일어났을 때 사건 A가 일어날 확률이다.
• P(B|A) A가 일어날 때 사건 B가 일어날 확률

확인하다: 조건부 확률에 대한 베이즈 정리

베이즈 정리 설명

n개의 사건 집합에 대한 베이즈 정리는 다음과 같이 정의됩니다.

E를 보자₁, 그리고₂,…, 그리고_N표본 공간 S와 연관된 사건의 집합이 됩니다. 여기서 모든 사건 E는₁, 그리고₂,…, 그리고_N발생 확률이 0이 아닙니다. 모든 이벤트 E₁, 그리고₂,..., E는 S의 분할을 형성합니다. A를 확률을 찾아야 하는 공간 S의 사건이라고 가정하면 베이즈 정리에 따라 다음과 같습니다.

체육 _나 |A) = P(E _나 )P(A|E _나 ) / ∑ P(E _케이 )P(A|E _케이 )

k = 1, 2, 3, …., n인 경우

베이즈 정리 공식

임의의 두 사건 A와 B에 대해 베이즈 정리의 공식은 다음과 같이 제공됩니다. (아래 이미지는 베이즈 정리 공식을 제공합니다.)

베이즈 정리 공식

어디,

• 아빠) 그리고 피(B) 사건 A와 B의 확률 또한 P(B)는 결코 0이 아닙니다.
• 피(A|B) 사건 B가 일어났을 때 사건 A가 일어날 확률이다.
• P(B|A) A가 일어날 때 사건 B가 일어날 확률

베이즈 정리 도출

베이즈 정리의 증명은 조건부 확률 공식에 따라 다음과 같이 제공됩니다.

체육 _나 |A) = P(E _나 ∩A) / P(A)…..(i)

그런 다음 확률의 곱셈 법칙을 사용하여 다음을 얻습니다.

체육 _나 ∩A) = P(E _나 )P(A|E _나 )…(ii)

이제 전체 확률 정리에 의해,

P(A) = ∑ P(E _케이 )P(A|E _케이 )…..(iii)

P(E의 값을 대체_나eq(i)의 eq(ii)와 eq(iii)으로부터 ∩A)와 P(A)는 다음과 같습니다.

체육 _나 |A) = P(E _나 )P(A|E _나 ) / ∑ P(E _케이 )P(A|E _케이 )

베이즈 정리는 다음 공식으로도 알려져 있습니다. 원인의 확률 . 우리가 알고 있듯이 E는 _나 s는 표본 공간 S의 분할이고, 주어진 시간에 사건 E 중 하나만 발생합니다. _나 발생합니다. 따라서 우리는 베이즈 정리 공식이 특정 E의 확률을 제공한다고 결론을 내립니다._나, 사건 A가 발생했다는 가정 하에.

베이즈 정리 관련 용어

베이즈 정리에 대해 자세히 학습한 후, 공식과 유도에서 다룬 개념과 관련된 몇 가지 중요한 용어를 이해해 보겠습니다.

• 가설: 표본공간에서 일어나는 사건 그리고 ₁ , 그리고 ₂ ,… 그리고 _N 가설이라고 한다

• 사전 확률: 사전 확률은 새로운 데이터가 고려되기 전에 사건이 발생할 초기 확률입니다. 체육_나)는 가설 E의 사전 확률입니다._나.

• 사후 확률: 사후 확률은 새로운 정보를 고려한 후 업데이트된 사건의 확률입니다. 확률 P(E_나|A)는 가설 E의 사후 확률로 간주됩니다._나.

조건부 확률

• 다른 사건 B의 발생에 기초한 사건 A의 확률은 다음과 같습니다. 조건부 확률 .
• 다음과 같이 표시됩니다. 피(A|B) 사건 B가 이미 발생한 경우 A의 확률을 나타냅니다.

결합 확률

두 가지 이상의 사건이 함께 동시에 발생할 확률을 측정하면 이를 결합 확률(Joint Probability)이라고 표시합니다. 두 사건 A와 B에 대해 결합 확률은 다음과 같이 표시됩니다. P(A∩B).

무작위 변수

무작위 실험에 의해 가능한 값이 결정되는 실수 변수를 무작위 변수라고 합니다. 이러한 변수를 찾을 확률은 실험 확률입니다.

베이즈 정리 응용

베이지안 추론은 매우 중요하며 의학, 과학, 철학, 공학, 스포츠, 법률 등 다양한 활동에 응용되고 있으며, 베이지안 추론은 베이즈 정리에서 직접 파생됩니다.

예: 베이즈 정리는 사람이 질병에 걸릴 가능성과 테스트의 전반적인 정확도를 고려하여 의료 테스트의 정확도를 정의합니다.

조건부 확률과 베이즈 정리의 차이점

조건부 확률과 베이즈 정리의 차이점은 아래 표를 통해 이해할 수 있습니다.

총 확률의 정리

E를 보자₁, 그리고₂, . . ., 그리고_N무작위 실험과 관련된 상호 배타적이고 철저한 이벤트이며 E를 일부 E에서 발생하는 이벤트로 둡니다._나. 그럼 증명해봐

P(E) = ^N ∑ _나는=1 오줌 _나 ) . 체육 _제이 )

증거:

S를 표본 공간으로 둡니다. 그 다음에,

S = E₁∪ E₂∪ E_삼∪ . . . ∪ 하나와 E_나∩ 전자_제이= ∅ for i ≠ j.

E = E ∩ 에스

⇒ E = E ∩ (E₁∪ E₂∪ E_삼∪ . . . ∪ E_N)

⇒ E = (E ∩ E₁) ∪ (E ∩ E₂) ∪ . . . ∪ (E ∩ E_N)

P(E) = P{(E ∩ E₁) ∪ (E ∩ E₂)∪ . . . ∪(E ∩ E_N)}

⇒ P(E) = P(E ∩ E₁) + P(E ∩ E₂) + . . . + P(E ∩ E_N)

{그러므로 (E ∩ E₁), (E ∩ E₂), . . . ,(E ∩ E_N)}는 쌍으로 분리되어 있습니다.}

⇒ P(E) = P(E/E₁) . 체육₁) + P(E/E₂) . 체육₂) + . . . + P(E/E_N) . 체육_N) [곱셈 정리에 의함]

⇒ P(E) =^N∑_나는=1오줌_나) . 체육_나)

베이즈 정리 관련 기사

• 확률 분포
• 조건부 확률에 대한 베이즈 정리
• 순열 및 조합
• 이항정리

결론 – 베이즈 정리

베이즈 정리는 새로운 증거나 정보를 기반으로 가설의 확률을 업데이트하기 위한 강력한 프레임워크를 제공합니다. 사전 지식을 통합하고 관찰된 데이터로 업데이트함으로써 Bayes의 정리는 통계, 기계 학습, 의학, 금융을 포함한 광범위한 분야에서 보다 정확하고 정보에 기반한 의사 결정을 가능하게 합니다. 그 응용 분야는 의료 진단 및 위험 평가부터 스팸 필터링 및 자연어 처리까지 다양합니다.

베이즈 정리를 이해하고 적용하면 더 나은 예측을 하고, 불확실성을 추정하고, 데이터에서 의미 있는 통찰력을 얻을 수 있으며, 궁극적으로 복잡하고 불확실한 상황에서 정보에 입각한 결정을 내리는 능력이 향상됩니다.

또한 확인하십시오:

벨포드 알고리즘

• 데이터 마이닝의 베이즈 정리
• 인공지능의 베이즈 정리
• 기계 학습의 베이즈 정리

베이즈 정리 예

예시 1: 어떤 사람이 일을 맡았습니다. 비가 내리거나 내리지 않고 제 시간에 작업을 완료할 확률은 각각 0.44와 0.95입니다. 비가 올 확률이 0.45라면 작업이 제시간에 완료될 확률을 구하십시오.

해결책:

E를 보자₁채굴 작업이 제 시간에 완료되고 E₂비가 내리는 사건이 발생합니다. 우리는

P(A) = 0.45,

P(비 없음) = P(B) = 1 − P(A) = 1 − 0.45 = 0.55

확률의 곱셈 법칙에 의해,

체육₁) = 0.44, 그리고 P(E₂) = 0.95

사건 A와 B는 전체 확률 정리에 따라 표본 공간 S의 분할을 형성하므로 다음과 같습니다.

P(E) = P(A) P(E₁) + P(B) P(E₂)

⇒ P(E) = 0.45 × 0.44 + 0.55 × 0.95

⇒ P(E) = 0.198 + 0.5225 = 0.7205

따라서 작업이 제시간에 완료될 확률은 0.7205입니다.

예 2: 흰색 공 3개와 검은색 공 2개가 들어 있는 항아리 3개가 있습니다. 흰색 공 2개와 검은색 공 3개; 검정색 공 1개, 흰색 공 4개. 각 항아리가 선택될 확률은 동일합니다. 하나의 공은 무작위로 선택된 동일한 확률입니다. 흰 공이 뽑힐 확률은 얼마인가?

해결책:

E를 보자₁, 그리고₂, 그리고 E_삼각각 첫 번째, 두 번째, 세 번째 항아리를 선택하는 이벤트가 됩니다. 그 다음에,

체육₁) = P(E₂) = P(E_삼) =1/3

E를 흰색 공이 뽑히는 사건이라고 하자. 그 다음에,

오줌₁) = 3/5, P(E/E₂) = 2/5, P(E/E_삼) = 4/5

총 확률의 정리에 따르면,

P(E) = P(E/E₁) . 체육₁) + P(E/E₂) . 체육₂) + P(E/E_삼) . 체육_삼)

⇒ P(E) = (3/5 × 1/3) + (2/5 × 1/3) + (4/5 × 1/3)

⇒ P(E) = 9/15 = 3/5

예시 3: 52장의 카드 팩 중 카드 1장이 분실되었습니다. 팩의 나머지 카드에서 두 장의 카드를 뽑아 두 카드 모두 하트인 것으로 밝혀졌습니다. 잃어버린 카드가 하트일 확률을 찾아보세요.

해결책:

E를 보자₁, 그리고₂, 그리고_삼,그리고 E₄각각 하트, 클럽, 스페이드, 다이아몬드 카드를 잃는 사건이 되십시오.

그러면 P(E₁) = P(E₂) = P(E_삼) = P(E₄) = 13/52 = 1/4.

E는 나머지 51장의 카드에서 하트 2장을 뽑는 사건이라고 하겠습니다. 그 다음에,

P(E|E₁) = 하트 카드가 없을 경우 하트 2개를 뽑을 확률

⇒ P(E|E₁) =¹²씨₂/⁵¹씨₂= (12 × 11)/2! × 2!/(51 × 50) = 22/425

P(E|E₂) = 클럽 카드가 누락된 경우 클럽 2개를 뽑을 확률

⇒ P(E|E₂) =¹³씨₂/⁵¹씨₂= (13 × 12)/2! × 2!/(51 × 50) = 26/425

P(E|E_삼) = 하트 카드가 없을 경우 스페이드 2개를 뽑을 확률

⇒ P(E|E_삼) =¹³씨₂/⁵¹씨₂= 26/425

P(E|E₄) = 다이아몬드 카드가 누락된 경우 다이아몬드 2개를 뽑을 확률

⇒ P(E|E₄) =¹³씨₂/⁵¹씨₂= 26/425

그러므로,

자바 브레이크

체육₁|E) = 남은 51장의 카드에서 하트 2개를 뽑았으므로 잃어버린 카드가 하트일 확률이 높습니다.

⇒ P(E₁|E) = P(E₁). P(E|E₁)/체육₁). P(E|E₁) + P(E₂). P(E|E₂) + P(E_삼). P(E|E_삼) + P(E₄). P(E|E₄)

⇒ P(E₁|E) = (1/4 × 22/425) / {(1/4 × 22/425) + (1/4 × 26/425) + (1/4 × 26/425) + (1/4 × 26/425)}

⇒ P(E₁|E) = 22/100 = 0.22

따라서 필요한 확률은 0.22입니다.

예시 4: 남자 300명 중에 남자 15명이, 여자 1000명 중에 25명이 훌륭한 웅변가라고 가정해 보세요. 연설가는 무작위로 선택됩니다. 남자가 선택될 확률을 구해 보세요. 남성과 여성의 수가 동일하다고 가정합니다.

해결책:

기븐,

• 총 남성 = 300명
• 총 여성 = 1000
• 남성 중 훌륭한 웅변가 = 15
• 여성 중 좋은 연설가 = 25

훌륭한 웅변가의 총 수 = 15(남자) + 25(여자) = 40

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남성 연설가를 선택할 확률:

P(Male Orator) = 남성 연설자 수 / 전체 연설자 수 = 15/40

예 5: 한 남자는 4번 중 1번 거짓말을 하는 것으로 알려져 있습니다. 그는 주사위를 던져서 그것이 6이라고 보고했습니다. 실제로 6이 될 확률을 구하세요.

해결책:

주사위를 던지면

그리고₁= 6을 얻는 이벤트,

그리고₂= 6을 얻지 못한 사건 그리고

E = 남자가 6이라고 보고한 사건.

그러면, P(E₁) = 1/6, 그리고 P(E₂) = (1 – 1/6) = 5/6

P(E|E₁) = 실제로 6이 발생했는데 그 사람이 6이 발생했다고 보고할 확률

⇒ P(E|E₁) = 그 사람이 진실을 말할 확률

⇒ P(E|E₁) = 3/4

P(E|E₂) = 실제로는 6이 발생하지 않았는데 그 사람이 6이 발생했다고 보고할 확률

⇒ P(E|E₂) = 그 사람이 진실을 말하지 않을 확률

⇒ P(E|E₂) = (1 – 3/4) = 1/4

남자가 6이라고 보고했을 때 6이 나올 확률

체육₁|E) = P(E|E₁) × P(E₁)/P(E|E₁) × P(E₁) + P(E|E₂) × P(E₂) [베이즈 정리에 의함]

⇒ P(E₁|E) = (3/4 × 1/6)/{(3/4 × 1/6) + (1/4 × 5/6)}

⇒ P(E₁|E) = (1/8 × 3) = 3/8

따라서 필요한 확률은 3/8입니다.

베이즈 정리에 대한 FAQ

베이즈 정리란 무엇입니까?

베이즈 정리는 이름에서 알 수 있듯이 사건의 조건부 확률을 찾는 데 사용되는 수학 정리입니다. 조건부 확률은 미래에 일어날 사건의 확률이다. 이는 이벤트의 이전 결과를 기준으로 계산됩니다.

베이즈 정리는 언제 사용되나요?

베이즈 정리는 특히 새로운 데이터를 기반으로 확률을 업데이트하는 분야에서 폭넓게 적용됩니다. 베이즈 규칙을 사용하면 다음을 계산할 수 있습니다. 사후(또는 업데이트된) 확률. 사건의 조건부 확률을 계산하는 데 사용됩니다.

베이즈 정리를 이해하는 데 필요한 주요 용어는 무엇입니까?

주요 용어 중 일부는 다음과 같습니다.

• 사전 확률(P(A))
• 사후 확률(P(A | B))
• 가능성(P(B | A))
• 한계 확률(P(B))

베이즈 정리는 언제 사용하는가?

베이즈 정리는 사건의 조건부 확률이 주어졌을 때 적용 가능하며, 사건의 역확률을 찾는 데 사용됩니다.

베이즈 정리는 조건부 확률과 어떻게 다릅니까?

베이즈 정리는 사건의 이전 조건을 기반으로 사건의 확률을 정의하는 데 사용됩니다. 반면, 베이즈 정리는 조건부 확률을 사용하여 사건의 역확률을 찾습니다.

베이즈 정리의 공식은 무엇입니까?

베이즈 정리 공식은 아래에 설명되어 있습니다.

P(A|B) = [P(B|A) P(A)] / P(B)