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원의 화음

원의 현은 원주 위의 임의의 두 점을 연결하는 선입니다. 원은 다양한 현을 가질 수 있으며 원의 가장 큰 현은 원의 지름입니다. 코드 길이 공식을 사용하여 코드 길이를 쉽게 계산할 수 있습니다. 이름에서 알 수 있듯이 기하학에서 원 안의 현 길이를 계산하는 공식입니다.

이 기사에서는 화음의 정의, 화음과 원의 정리, 속성 설명, 다양한 방법을 사용하여 화음 길이를 계산하는 공식에 대해 알아봅니다. 이 기사에는 더 나은 이해를 위해 몇 가지 해결된 샘플 문제도 있습니다.



내용의 테이블

원 정의

원은 주어진 점에서 주어진 거리에 있는 평면의 모든 점으로 구성된 완벽한 둥근 모양입니다. 중심점을 중심으로 하는 닫힌 곡선으로 구성됩니다. 선 위에 있는 점들은 중심점으로부터 같은 거리에 있습니다. 원의 중심까지의 거리를 반지름이라고 합니다.

원 정의의 현

원주 위의 임의의 두 점을 연결하는 선분을 원의 현이라고 합니다. 지름은 원의 원주에 있는 두 점을 연결하므로 원의 현이기도 합니다. 실제로 지름은 원의 현 중 가장 긴 현입니다. 즉, 현은 양쪽 끝이 원의 원주에 있는 선분입니다. 다음 그림은 우리가 더 많은 것을 이해하는 데 도움이 될 수 있습니다.



현 길이 공식이란 무엇입니까?

코드의 길이를 계산하는 두 가지 기본 방법이나 공식이 있습니다. 현의 길이는 삼각법뿐만 아니라 원 중심으로부터의 수직 거리를 사용하여 결정할 수 있습니다. 따라서 코드의 길이를 알 수 있습니다

  • 피타고라스 정리 사용
  • 코사인 법칙 사용

이러한 방법을 다음과 같이 자세히 이해해 보겠습니다.

방법 1: 피타고라스 정리 사용

현에 대한 다음 다이어그램에서 우리가 알고 있듯이 원의 중심에서 현까지 그린 수직선은 원을 두 부분으로 이등분합니다.



하랄드 발드르

삼각형 OAM에서 다음을 사용합니다. 피타고라스 정리 ,

아르 자형2= x2+ 디2

⇒ x2= r2– 디2

⇒ x = √(r2– 디2)

x는 코드 길이의 절반이므로

따라서 중심으로부터 수직 거리를 가진 모든 원의 현 길이는 다음과 같이 주어집니다.

원의 현 길이 = 2 ×[√(r 2 – 디 2 )]

어디,

  • 아르 자형 는 원의 반지름이고,
  • 디 원의 중심과 현 사이의 수직 거리입니다.

방법 2: 코사인 법칙 사용

변 a, b, c로 구성된 삼각형 ABC에 대해 알고 있듯이 코사인의 법칙 상태,

씨 2 =a 2 + 비 2 – 2ab cos C

원의 중심에서 θ 각도에 해당하는 다음 다이어그램에서 이 법칙을 사용하여 현의 길이를 찾을 수 있습니다.

삼각형 OAB에서 코사인 법칙을 이용하면,

⇒ x2= r2+ r2– 2×r×r×cosθ

⇒ x2= 2r2– 2r2cos θ

⇒ x2= 2r2(1-코사인θ)

⇒ x = sqrt{2r^2(1- cos heta)}

Rightarrow x =rsqrt{2(sin^2 heta/2 + cos^2 heta/2 – cos^2 heta/2 + sin^2 heta/2)}

Rightarrow x =rsqrt{4sin^2 heta/2 }

Rightarrow x =2rsin heta/2

따라서 코드 길이는 다음과 같이 지정됩니다.

현 길이 = 2r × sin [θ/2]

어디,

  • 나 는 중심에서 현이 이루는 각도이고,
  • 아르 자형 원의 반지름입니다.

현 길이에 대한 기타 관련 공식

두 원이 공통현을 공유하는 경우 해당 공통현의 길이는 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

두 원의 공통현 길이 = 2R 1 × R 2 /디

어디,

  • 아르 자형 1 그리고 아르 자형 2 원의 반지름을 말합니다
  • 디 원의 두 중심 사이의 거리이다.

원 정리의 화음

원의 현은 원의 다양한 개념을 증명하는 데 도움이 되는 원 중심의 각도를 나타냅니다. 원의 현에 기초한 다양한 정리가 있는데,

  • 정리 1: 동일 화음 동일 각도 정리
  • 정리 2: 동일 각도 동일 화음 정리(정리 1의 반대)
  • 정리 3: 중심 정리로부터 등거리에 있는 등화음

이제 아래 기사에서 동일한 내용을 논의해 보겠습니다.

정리 1: 동일 현은 동일 각도 정리

진술: 동일 현은 원의 중심에서 동일한 각도를 나타냅니다. 즉, 현이 동일하면 현이 이루는 각도는 동일합니다.

증거:

그림에서,

ΔAOB 및 ΔDOC에서

  • AB = CD …eq(i) (주어진)
  • OA = OD …eq(ii)(원 반경)
  • OB = OC …eq(iii) (원 반경)

따라서 SSS 일치 조건에 의해 삼각형 ΔAOB와 ΔCOD는 일치합니다.

따라서,

∠AOB = ∠DOC (CPCT 기준)

따라서 정리가 검증되었습니다.

정리 2: 동일 각도 동일 화음 정리(정리 1의 반대)

성명: 원의 중심에서 동일한 각도를 이루는 현의 길이는 동일합니다. 이는 첫 번째 정리의 반대입니다.

그림에서,

ΔAOB 및 ΔDOC에서

  • ∠AOB = ∠DOC …eq(i) (주어진)
  • OA = OD …eq(ii)(원 반경)
  • OB = OC …eq(iii) (원 반경)

따라서 SAS 일치 조건에 의해 삼각형 ΔAOB와 ΔCOD는 합동입니다.

따라서,

AB = CD(CPCT 기준)

따라서 정리가 검증되었습니다.

정리 3: 중심 정리로부터 등거리에 있는 등화현

성명: 등현은 중심으로부터 등거리에 있습니다. 즉, 원의 중심과 등현 사이의 거리는 항상 같습니다.

그림에서,

ΔAOL 및 ΔCOM에서

  • ∠ALO = ∠CMO …eq(i) (90도)
  • OA = OC …eq(ii) (원 반경)
  • OL = OM …eq(iii) (주어진)

따라서 RHS 일치 조건에 의해 삼각형 ΔAOB와 ΔCOD는 합동입니다.

따라서,

AL = CM(CPCT 기준)…(iv)

호버링 CSS

이제 우리는 중심에서 그린 수직선이 현을 이등분한다는 것을 알고 있습니다.

eq(iv)에서

2AL=2CM

AB = CD

따라서 정리가 검증되었습니다.

원의 현 속성

원 안에는 다양한 화음 속성이 있으며, 그 속성 중 일부는 다음과 같습니다.

  • 원의 중심을 통과하는 현을 지름이라고 하며, 원에서 가장 긴 현입니다.
  • 원의 중심에서 그려지는 현에 대한 수직선은 현을 이등분합니다.
  • 원의 중심에서 같은 거리에 있는 현의 길이는 같습니다.
  • 세 개의 동일선상 점을 통과하는 원은 단 하나뿐입니다.
  • 길이가 같은 현은 원의 중심에서 같은 각도를 이룹니다.
  • 현의 수직 이등분선은 원의 중심을 통과합니다.
  • 반지름이 현에 수직이면 현과 교차하는 호를 이등분합니다. 이것은 수직 이등분선 정리로 알려져 있습니다.
  • 현의 대응각이 같으면 현의 길이도 같습니다.
  • 원 안의 두 현이 교차하는 경우 한 현의 세그먼트 곱은 다른 현 세그먼트의 곱과 같습니다. 이것은 교차 화음 정리로 알려져 있습니다.
  • 중앙에 있는 현이 이루는 각도는 원주에 있는 현이 이루는 각도의 두 배입니다.

더 읽어보기,

원의 현에 대한 문제 해결

문제 1: 원은 반지름이 5cm인 각도가 70도입니다. 원의 현 길이를 계산합니다.

해결책:

주어진

  • 반경 = 5cm
  • 각도 = 70°

지금,

현 길이 = 2R × Sin [각도/2]

= 2 × 5 × 죄 [70/2]

= 10 × sin35°

= 10 × 0.5736

= 5.73cm

문제 2: 원 안에 , 반지름은 7cm이고 원의 중심에서 현까지의 수직 거리는 6cm입니다. 코드의 길이를 계산합니다.

해결책:

주어진

  • 반경 = 7cm
  • 거리 = 6cm

지금,

현의 길이 = 2 √r2– 디2

= 2 √72– 62

= 2 √ 49- 36

= 2 √13cm

문제 3: 원은 반지름이 12cm인 각도가 60도입니다. 원의 현 길이를 계산합니다.

해결책:

주어진

  • 반경 = 12cm
  • 각도 = 60°

지금,

현 길이 = 2R × Sin [각도/2]

⇒ 2 × 12 × 죄 [60/2]

⇒ 24 × sin30°

⇒ 24×0.5

⇒ 12cm

문제 4: 원의 반지름은 16cm이고 원의 중심에서 현까지의 수직 거리는 5cm입니다. 코드의 길이를 계산합니다.

해결책:

주어진

  • 반경 = 16cm
  • 거리 = 5cm

지금,

현의 길이 = 2 √r2– 디2

⇒ 2 √(16)2- (5)2

스위치 케이스 자바

⇒ 2 √ 256- 25

⇒ 2 √231

⇒ 2×15.1

⇒ 30.2cm

문제 6: 반지름이 각각 6cm와 5cm인 원 사이의 공통 현의 길이를 계산하세요. 그리고 두 중심 사이의 거리는 8cm로 측정되었다.

해결책:

주어진

두 중심 사이의 거리 = 8cm

두 원의 반지름은 R1그리고 R2길이는 각각 6cm, 5cm

지금,

두 원의 공통 현의 길이 = (2R1× R2) / 원의 두 중심 사이의 거리

⇒ 2 × 5 × 6/8

⇒ 60/8

⇒ 7.5cm

원의 현에 대한 FAQ

코드를 정의합니다.

원주 위의 두 점을 연결하는 선분을 현이라고 합니다.

현 길이 공식이란 무엇입니까?

현 길이 공식은 원 안의 현 길이를 계산합니다.

현의 길이가 원의 지름보다 클 수 있나요?

아니요, 지름이 원의 가장 긴 현이므로 현의 길이는 지름보다 클 수 없습니다.

원의 중심에 가까울수록 현의 길이는 어떻게 영향을 받나요?

현이 원의 중심에 가까워지면 길이는 최대 길이, 즉 지름에 가까워집니다.

원의 가장자리에 가까울수록 현의 길이는 어떻게 영향을 받습니까?

현이 원의 가장자리에 가까워질수록 길이는 0에 가까워집니다. 따라서 현의 길이와 가장자리로부터의 거리는 반비례 관계에 있습니다.

현 길이와 원의 중심각 사이의 관계는 무엇입니까?

e현 길이와 원의 중심각 사이의 관계는 다음과 같습니다.

현 길이 = 2r × sin [θ/2]

어디,

  • 나 는 중심에서 현이 이루는 각도이고,
  • 아르 자형 원의 반지름입니다.

현 길이 공식을 모든 원에 사용할 수 있나요?

예, 반지름과 중심각만 알면 현 길이 공식을 모든 원에 사용할 수 있습니다.

지름은 원의 현인가요?

예, 지름은 원의 현입니다. 원의 가능한 가장 긴 현입니다. 원 반지름의 2배와 같습니다.

D = 2r

어디,

  • 디 원의 지름입니다
  • 아르 자형 원의 반경입니다