복소수는 실수의 자연스러운 연속입니다. 현대에는 복소수는 디지털 신호 처리, 암호화 및 많은 컴퓨터 관련 분야와 같은 많은 분야에서 사용됩니다.

이번 글에서는 허수, 복소수와 그 종류, 복소수의 다양한 연산, 복소수의 성질, 복소수의 응용 등에 대해 알아봅니다.

복소수 정의

복소수 는 숫자 형태의 (a + 나는 b) 어디 ㅏ & 비 실수이고 나 √-1을 나타내는 iota라는 가상 단위입니다. 예를 들어, 2 + 3i는 2가 실수이고 3i가 허수인 복소수입니다. 복소수는 a + ib로 쓸 수 있습니다. 여기서 a와 b는 수직선으로 표현될 수 있는 유리수입니다. 무한대 .

복소수의 계수

복소수의 계수는 절대값이며 원점과 주어진 지점 사이의 거리를 나타냅니다. 복소수의 크기라고도 합니다. 복소수 z = a + ib를 고려하면 z의 모듈러스는 다음과 같이 정의됩니다.

|z| = √(a ² + 비 ² )

어디,

• ㅏ 는 복소수 z의 실수 부분이고,
• 비 는 복소수 z의 허수부입니다.

복소수의 인수

복소수의 반지름 벡터와 양의 x축 사이의 각도를 복소수의 인수라고 합니다. 복소수 z = a + ib의 경우 수학적으로 다음과 같이 계산됩니다.

θ = 황갈색 ^-1 (b/a)

어디,

• ㅏ 는 복소수 z의 실수 부분이고,
• 비 는 복소수 z의 허수부입니다.

i(iota)의 거듭제곱

i(iota)는 -1의 제곱근으로 정의됩니다. 따라서 i의 모든 거듭제곱은 i 자체의 반복된 곱셈으로 표현될 수 있습니다. 즉,

• 나는 = √(-1)
• 나²= -1
• 나^삼= - 나
• 나⁴= 1
• 나⁵= 나
• 나⁶= – 1
• 등등..

복소수의 필요성

고대에는 사람들이 자연수에 대해서만 지식을 가지고 있었습니다. 숫자 인간의 두뇌는 이미 양이나 음식과 같은 사물의 시각을 사용하여 이해하고 있기 때문에 본질적으로 가장 직관적입니다. 따라서 우리는 자연수 집합( N ) 그러나 자연수에서는 방정식 x + a = b (a> b) 및 a, b ∈ N에 대한 해가 없습니다. 따라서 자연수의 확장, 즉 정수( 나 ).

이제 이 숫자 집합에는 방정식 ax = b (a ≠ 0) 및 a, b ∈ I에 대한 해가 없습니다. 여기서 a와 b는 모두 정수입니다. 따라서 정수 집합(I)은 유리수 집합으로 확장됩니다( 큐 ).

다시 말하지만, 이 유리수 집합에는 방정식 x에 대한 해가 없습니다.²= a (a> 0) 및 a ∈ Q. 따라서, 큐 x와 같은 숫자를 포함하도록 확장됩니다.²= a(a> 0인 경우) 즉, 무리수입니다. 이 집합의 이름은 실수(Real Numbers)이며 다음과 같이 표현됩니다. 아르 자형 .

이제 이 숫자 집합이 완성된 것처럼 보이기 때문에 또 다른 더 큰 집합을 형성하기 위해 이 실수 집합을 확장할 필요가 없다는 것이 오랫동안 생각되었습니다. 그러나 이 숫자 집합에서 다시 새로운 문제가 발생했습니다. 즉, x와 같은 실수가 없다는 것입니다.²= a (a <0) 및 a ∈ R. 따라서 실수 세트는 이러한 모든 값을 포함하도록 추가로 확장되고 이 세트 복소수라고 명명되며 다음과 같이 표현됩니다. 씨 .

복소수의 분류

우리가 알고 있듯이 복소수의 표준 형식은 다음과 같습니다. z = (a + ib) 여기서 a, b ∈ R, i는 iota(허수 단위)입니다. 따라서 a(실수부라고 함)와 b(허수부라고 함)의 값에 따라 복소수는 네 가지 유형으로 분류됩니다.

• 제로 복소수
• 순수 실수
• 순전히 허수
• 허수

이러한 유형에 대해 자세히 알아보겠습니다.

제로 복소수

임의의 복소수 z = a + ib에 대해 a = 0 & b = 0이면 복소수를 0 복소수라고 합니다. 예를 들어 이것의 유일한 예는 0입니다.

순수 실수

임의의 복소수 z = a + ib에 대해 a ≠ 0 & b = 0이면 복소수는 순전히 실수, 즉 허수부가 없는 숫자라고 합니다. 2, 3, 5, 7 등과 같은 모든 실수는 이에 대한 예입니다.

순전히 허수

임의의 복소수 z = a + ib에 대해 a = 0 & b ≠ 0이면 복소수는 순허수, 즉 실수부가 없는 숫자라고 합니다. 실수 부분이 없는 모든 숫자는 이러한 유형의 숫자(예: -7i, -5i, -i, i, 5i, 7i 등)의 예입니다.

허수

임의의 복소수 z = a + ib에 대해 a ≠ 0 & b ≠ 0이면 복소수를 an이라고 합니다. 허수 . 예를 들어 (-1 – i), (1 + i), (1 – i), (2 + 3i) 등입니다.

다양한 형태의 복소수

복소수에는 다양한 형태가 있습니다.

• 직사각형
• 극지 형태
• 지수형

이제 자세히 알아보겠습니다.

직사각형

직사각형 ~이다 라고도 표준 양식 그리고 그것은 다음과 같이 표현됩니다. (a + ib), 여기서 a와 b는 실수입니다.

예: (5 + 5i), (-7i), (-3 – 4i) 등.

극지 형태

극지 형태 극좌표가 (r, θ)로 표현되는 복소수 표현입니다. 여기서 r은 원점으로부터의 거리이고 θ는 점과 원점을 연결하는 선과 양의 x축 사이의 각도입니다. 복소수를 나타내는 데 사용됩니다. 모든 복소수는 다음과 같이 표현됩니다. r [cos θ + i sin θ].

예: [cos π/2 + i sin π/2], 5[cos π/6 + i sin π/6] 등

지수형

복소수의 지수 형태 는 오일러의 공식을 사용하여 복소수를 표현한 것이며 이 형식에서 복소수는 re로 표현됩니다.^나여기서 r은 원점에서 점까지의 거리이고 θ는 양의 x축과 반경 벡터 사이의 각도입니다.

예를 들면 다음과 같습니다.^나(0), 그것은^나는(π/2), 5.e^나는(π/6), 등.

메모: 위에서 논의한 복소수의 세 가지 형식은 모두 상호 변환 가능합니다. 즉, 한 형식에서 다른 형식으로 매우 쉽게 변환할 수 있습니다.

복소수 연산

복소수에 대해 다음 작업을 수행할 수 있습니다.

• 덧셈
• 빼기
• 곱셈
• 분할
• 동사 변화

복소수 추가

실수 부분과 허수 부분을 별도로 추가하면 두 개의 복소수를 더할 수 있습니다.

예를 들어 (3 + 2i) + (1 + 4i) = 4 + 6i입니다.

복소수의 뺄셈

실수 부분과 허수 부분을 별도로 빼는 것만으로도 두 개의 복소수를 뺄 수 있습니다.

예를 들어 (3 + 2i) – (1 + 4i) = 2 – 2i입니다.

복소수의 곱셈

분배법칙과 i라는 사실을 사용하여 두 복소수를 곱할 수 있습니다.²= -1.

예를 들어 (3 + 2i)(1 + 4i) = 3 + 12i + 2i + 8i²= 3 + 14i – 8 = -5 + 14i.

복소수의 나눗셈

분자와 분모에 분모의 켤레 복소수를 곱하고 표현식을 더욱 단순화함으로써 하나의 복소수를 다른 복소수로 나눌 수 있습니다.

예를 들어 (3 + 2i)/(1 + 4i) = (3 + 2i)(1 – 4i)/(1 + 4i)(1 – 4i) = (11 – 10i)/17입니다.

복소수의 활용

우리는 쉽게 찾을 수 있습니다 복소수의 공액, 단순히 허수부의 부호를 변경하면 됩니다. 복소수의 켤레는 종종 z̄와 같이 숫자 위에 막대로 표시됩니다.

예를 들어, 3 + 2i의 공액은 3 – 2i입니다.

복소수에 대한 항등식

임의의 두 복소수 z에 대해₁그리고 z₂다음과 같은 대수적 항등식이 주어질 수 있습니다:

• (와 함께 ₁ + z ₂ ) ² = (지 ₁ ) ² + (z ₂ ) ² + 2z ₁ × z ₂
• (와 함께 ₁ - 와 함께 ₂ ) ² = (지 ₁ ) ² + (z ₂ ) ² – 2z ₁ × z ₂
• (와 함께 ₁ ) ² - (와 함께 ₂ ) ² = (지 ₁ + z ₂ )(와 함께 ₁ - 와 함께 ₂ )
• (와 함께 ₁ + z ₂ ) ^삼 = (지 ₁ ) ^삼 + 3(z ₁ ) ² 와 함께 ₂ +3(z ₂ ) ² 와 함께 ₁ + (z ₂ ) ^삼
• (와 함께 ₁ - 와 함께 ₂ ) ^삼 = (지 ₁ ) ^삼 – 3(z ₁ ) ² 와 함께 ₂ +3(z ₂ ) ² 와 함께 ₁ - (와 함께 ₂ ) ^삼

복소수 관련 공식

복소수와 관련된 몇 가지 공식이 있으며 그 중 일부는 다음과 같습니다.

오일러의 공식

오일러의 공식은 지수의 허수 거듭제곱과 삼각비 sin 및 cos 사이의 관계를 보여주며 다음과 같이 제공됩니다.

그것은 ^ix = cos x + 나는 죄 x

드무아브르의 공식

드무아브르의 공식 n을 표현한다^일극 형식의 복소수의 거듭제곱은 다음과 같이 제공됩니다.

(cos x + 나는 죄 x) ^N = cos(nx) + 나는 죄(nx)

복잡한 평면

복소수가 고유하게 표현되는 평면을 복소 평면(Complex plane) 또는 아르간드 평면(Argand plane) 또는 가우시안 평면(Gaussian plane)이라고 합니다.

복합 평면에는 두 개의 축이 있습니다.

• X축 또는 실제 축
• Y축 또는 가상축

X축 또는 실제 축

• 모든 순수 실수 복소수는 그 위의 점으로 고유하게 표현됩니다.
• 모든 복소수의 실수부 Re(z)가 이에 대해 플롯됩니다.
• 그래서 X축이라고도 불린다. 실제 축 .

Y축 또는 가상축

• 모든 순수 허수 복소수는 그 위의 점으로 고유하게 표현됩니다.
• 이에 대해 모든 복소수의 허수부 Im(z)가 그려집니다.
• 그래서 Y축이라고도 불린다. 가상축 .

복소수의 기하학적 표현

우리가 알고 있듯이 모든 복소수(z = a + i b)는 복소 평면의 고유한 점 p(a, b)로 표시되고 복소 평면의 모든 점은 고유한 복소수를 나타냅니다.

복소 평면에서 임의의 복소수 z = (a + i b)를 나타내려면 다음 규칙을 따르십시오.

• z의 실수 부분(Re(z) = a)은 점 p의 X 좌표가 됩니다.

• z의 허수부(Im(z) = b)는 점 p의 Y 좌표가 됩니다.

그리고 마지막으로 복소 평면의 한 점인 z (a + i b) ⇒ p (a, b)입니다.

복소수의 속성

복소수에는 다양한 속성이 있으며 그 중 일부는 다음과 같습니다.

• 임의의 복소수 z = a + ib에 대해 z = 0이면 a = 0이 되고 b = 0이 됩니다.
• z가 되는 4개의 실수 a, b, c, d에 대해₁= a + ib 및 z₂= c + 아이디. 만약 z₁= z₂그러면 a = c이고 b = d입니다.
• 켤레와 복소수를 더하면 순수한 실수, 즉 z + z̄ = 실수가 됩니다.

z = a + ib라고 하자,

z + z̄ = a + 하나 + a – 하나

⇒ z + z̄ = 2a (순수한 실수)

• 켤레 결과를 갖는 복소수의 곱은 순수 실수이기도 합니다. 즉, z × z̄ = 실수

z = a + ib라고 하면

z × z̄ = (a + 하나) × (a – 하나)

⇒ z × z̄= a²- 나²비²

⇒ z × z̄ = a²+ 비²(순전히 실제입니다)

• 복소수는 다음과 같습니다. 교환적 덧셈과 곱셈의 연산을 받습니다. 두 개의 복소수 z를 생각해 봅시다₁그리고 z₂, 그런 다음

와 함께 ₁ +z ₂ = z ₂ +z ₁

와 함께 ₁ × z ₂ = z ₂ × z ₁

• 복소수는 다음과 같습니다. 연관 덧셈과 곱셈의 연산으로. 세 개의 복소수 z를 생각해 봅시다.₁, 와 함께₂, 그리고 z_삼그 다음에

(와 함께 ₁ +z ₂ ) +z _삼 = z ₁ + (z ₂ +z _삼 )

(와 함께 ₁ ×z ₂ )×z _삼 = z ₁ ×(z ₂ ×z _삼 )

• 복소수는 분배 재산 덧셈보다 곱셈도 마찬가지다. 세 개의 복소수 z를 생각해 봅시다.₁, 와 함께₂, 그리고 z_삼그 다음에

와 함께 ₁ ×(z ₂ +z _삼 ) = z ₁ ×z ₂ + z ₁ ×z _삼

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• 복소수 나누기
• 복소수의 Z 바

복소수에 대한 예

예 1: 다음 복소수 z를 도표화합니다. = 3 + 2i(복소 평면)

해결책:

주어진:

와 함께 = 3 + 2 나는

따라서 점은 z(3, 2)입니다. 이제 아래 그래프에 이 점을 표시합니다. 이 그래프에서 x축은 실수부를 나타내고 y축은 허수부를 나타냅니다.

예 2: 다음 복소수 z를 도표화합니다. ₁ = (2 + 2i), z ₂ = (-2 + 3i), z _삼 = (-1 – 3 i), z ₄ = (1 – i) 복소 평면.

해결책:

주어진:

와 함께₁= (2 + 2 나는)

와 함께₂= (-2 + 3i)

와 함께_삼= (-1 – 3i)

와 함께₄= (1 – 나)

따라서 점은 z입니다.₁(2, 2), z₂(-2, 3), z_삼(-1, -3) 및 z₄(1, -1). 이제 아래 그래프에 이러한 점을 표시합니다. 이 그래프에서 x축은 실수부를 나타내고 y축은 허수부를 나타냅니다.

복소수에 대한 FAQ

복소수를 정의합니다.

a+ib 형식의 숫자를 복소수라고 하며, 여기서 a와 b는 실수이고 i는 -1의 제곱근을 나타내는 허수 단위입니다.

실수와 복소수의 차이점은 무엇입니까?

실수와 복소수의 차이점은 실수를 표현하려면 하나의 숫자만 필요하지만 복소수를 표현하려면 두 개의 실수가 필요하다는 것입니다.

복소수의 실수부와 허수부는 무엇입니까?

복소수 a + ib에서 a는 복소수의 실수부이고, b는 복소수의 허수부라고 합니다.

복소수의 켤레복소수란 무엇입니까?

복소수 a + ib에 대해 a - ib를 복소공액이라고 합니다. 복소공액은 단순히 허수부의 부호를 바꾸면 찾을 수 있습니다.

복소수의 계수는 무엇입니까?

원점과 아르간드 평면의 복소수로 표시되는 점 사이의 거리를 해당 완전수의 계수라고 하며 z = a + ib의 경우 수학적으로 다음과 같이 계산됩니다.

|z| = √(a ² + 비 ² )

복소수의 논증은 무엇입니까?

복소수의 반경 벡터와 양의 x축 사이의 각도를 복소수의 인수라고 하며 z = a + ib의 경우 수학적으로 다음과 같이 계산됩니다.

θ = 황갈색 ^-1 (b/a)

복소수의 극형은 무엇입니까?

임의의 복소수 z = a + ib에 대해 극형은 다음과 같이 지정됩니다.

r [코사인 θ + 나는 죄 θ]

오일러의 공식은 무엇입니까?

오일러의 공식은 지수의 허수 거듭제곱과 삼각비 sin 및 cos 사이의 관계를 보여주며 다음과 같이 제공됩니다.

그것은 ^ix = cos x + 나는 죄 x