드 모르간(De Morgan)의 법칙은 집합론, 부울 대수학, 집합론에서 가장 일반적인 법칙입니다. 이 기사에서는 드 모건의 법칙, 집합론의 드 모건의 법칙, 부울 대수학의 드 모건의 법칙에 대해 증명, 진리표, 논리 게이트 다이어그램과 함께 알아봅니다. 이 기사에는 해결된 De Morgan의 법칙 예제와 De Morgan의 법칙에 대한 FAQ도 포함되어 있습니다. 드 모르간(De Morgan)의 법칙에 대해 알아봅시다.

내용의 테이블

• 드 모르간(De Morgan)의 법칙이란 무엇입니까?
• 집합론의 드 모르간 법칙
• 첫 번째 드 모건의 법칙
• 두 번째 드 모건의 법칙
• 집합의 대수학을 사용한 증명
• 부울 대수학의 드 모르간 법칙
• 모건의 법칙 공식에서
• 드 모건의 법칙에 대한 해결된 예
• 드 모르간 법칙의 논리 적용

드 모르간(De Morgan)의 법칙이란 무엇입니까?

드 모르간(De Morgan)의 법칙은 집합론에서 합집합, 교차점, 보수 사이의 관계를 나타내는 법칙입니다. 불리언 대수에서는 AND, OR, 변수의 보수 사이의 관계를 나타내고, 논리에서는 문장의 AND, OR, 부정 사이의 관계를 나타낸다. De Morgan의 법칙의 도움으로 우리는 논리 게이트와 관련된 다양한 부울 회로를 최적화할 수 있으며 이는 동일한 작업을 수행하는 데 도움이 되지만 매우 적은 장치를 사용합니다.

집합론의 드 모르간 법칙

드 모르간(De Morgan)의 법칙 집합론 집합의 합집합, 교집합, 보수 사이의 관계를 정의하고 두 집합의 합집합과 교집합의 보수 모두에 대해 제공됩니다. 집합 이론에는 다음과 같은 두 가지 드 모르간(De Morgan)의 법칙이 있습니다.

• 첫 번째 드 모건의 법칙
• 두 번째 드 모건의 법칙

이러한 법률을 다음과 같이 자세히 이해해 보겠습니다.

첫 번째 드 모건의 법칙

First De Morgan의 법칙은 다음과 같습니다. 두 집합의 합집합의 보수는 각 집합의 보수의 교집합과 같습니다.

A와 B를 두 세트로 설정하면 수학적으로 첫 번째 드 모건의 법칙은 다음과 같이 제공됩니다.

(A ∪ B)' = A' ∩ B'

어디

• 안에 세트 간의 합집합 연산을 나타냅니다.
• ∩ 세트 간의 교집합 연산을 나타냅니다.
• ' 집합에 대한 보수 연산을 나타냅니다.

그것은 또한 드 모르간(De Morgan)의 결합 법칙.

드 모르간(De Morgan)의 법칙 증명 자세히 알아보기

집합의 대수학을 사용한 증명

(A ∪ B)' = A' ∩ B'를 증명해야 합니다.

X = (A ∪ B)' 및 Y = A' ∩ B'라고 가정합니다.

p가 X의 임의의 요소라고 가정하면 p ∈ X ⇒ p ∈ (A ∪ B)'

⇒ p ∉ (A ∪ B)

⇒ p ∉ A 또는 p ∉ B

⇒ p ∈ A' 및 p ∈ B'

⇒ p ∈ A' ∩ B'

⇒ 피 ∈ Y

∴X ⊂ Y. . . (에야디야)

다시, q를 Y의 임의의 요소로 놓고 q ∈ Y ⇒ q ∈ A' ∩ B'

⇒ q ∈ A' 및 q ∈ B'

⇒ q ∉ A 또는 q ∉ B

⇒ q ∉ (A ∪ B)

⇒ q ∈ (A ∪ B)'

⇒ q ∈ X

∴Y ⊂X. . . (ii)

(i)와 (ii)로부터 X = Y

(A ∪ B)' = A' ∩ B'

또한 읽어보세요 - 부울 대수학에서 De-Morgan의 법칙 증명

벤다이어그램을 이용한 증명

(A ∪ B)'에 대한 벤 다이어그램

A' ∩ B'에 대한 벤다이어그램

조인 및 조인 유형

두 다이어그램 모두에서 다음과 같이 명확하게 말할 수 있습니다.

(A ∪ B)' = A' ∩ B'

이것이 제1 드 모르간의 법칙입니다.

두 번째 드 모건의 법칙

두 번째 드 모르간(De Morgan)의 법칙은 다음과 같습니다. 두 집합의 교집합의 보수는 각 집합의 보수의 합집합과 같습니다.

A와 B를 두 세트로 설정하면 수학적으로 첫 번째 드 모건의 법칙은 다음과 같이 제공됩니다.

(A ∩ B)' = A' ∪ B'

어디

• 안에 세트 간의 합집합 연산을 나타냅니다.
• ∩ 세트 간의 교집합 연산을 나타냅니다.
• ' 집합에 대한 보수 연산을 나타냅니다.

그것은 또한 드 모르간(De Morgan)의 교차 법칙 .

집합의 대수학을 사용한 증명

두 번째 드 모건의 법칙: (A ∩ B)' = A' ∪ B'

X = (A ∩ B)' 및 Y = A' ∪ B'라고 가정합니다.

p가 X의 임의의 요소라고 가정하면 p ∈ X ⇒ p ∈ (A ∩ B)'

⇒ p ∉ (A ∩ B)

⇒ p ∉ A 및 p ∉ B

⇒ p ∈ A' 또는 p ∈ B'

⇒ p ∈ A' ∪ B'

⇒ 피 ∈ Y

∴ X ⊂ Y ————–(i)

다시 말하지만, q를 Y의 임의의 요소라고 하면 q ∈ Y ⇒ q ∈ A' ∪ B'입니다.

⇒ q ∈ A' 또는 q ∈ B'

⇒ q ∉ A 및 q ∉ B

⇒ q ∉ (A ∩ B)

⇒ q ∈ (A ∩ B)'

⇒ q ∈ X

∴ Y ⊂ X ————–(ii)

(i)와 (ii)로부터 X = Y

(A ∩ B)' = A' ∪ B'

벤다이어그램을 이용한 증명

(A ∩ B)'에 대한 벤 다이어그램

A' ∪ B'에 대한 벤 다이어그램

두 다이어그램에서 우리는 명확하게 말할 수 있습니다

(A ∩ B)' = A' ∪ B'

이것이 제2 드 모르간의 법칙입니다.

부울 대수학의 드 모르간 법칙

드 모르간(De Morgan)의 법칙 부울 대수학은 OR, AND 및 변수의 보수 간의 관계를 정의하며 두 값의 AND 및 OR 보수 모두에 대해 제공됩니다. 부울 대수학에는 다음과 같은 두 가지 드 모르간(De Morgan)의 법칙이 있습니다.

• 첫 번째 드 모건의 법칙
• 두 번째 드 모건의 법칙

이러한 법률을 다음과 같이 자세히 이해해 보겠습니다.

부울 대수학의 첫 번째 드 모르간 법칙

First De Morgan의 법칙은 다음과 같습니다. 두 개 이상의 변수에 대한 OR의 보수는 각 변수의 보수에 대한 AND와 같습니다.

A와 B를 두 개의 변수로 설정하면 수학적으로 첫 번째 De Morgan의 법칙은 다음과 같이 제공됩니다.

(A + B)' = A' . 비'

어디

• +는 변수 간의 OR 연산자를 나타내며,
• . 변수 간의 AND 연산자를 나타냅니다.
• ' 변수에 대한 보수 연산을 나타냅니다.

첫 번째 드 모건의 법칙 논리 게이츠

논리 게이트 및 부울 대수와 관련하여 De Morgan의 법칙은 논리 게이트 회로, 즉 NOT 게이트가 OR 게이트의 출력에 추가되고 NOT 게이트가 AND 게이트의 입력에 추가되는 것은 모두 동일하다고 명시합니다. 이 두 개의 논리 게이트 회로는 다음과 같습니다.

인스턴스화된 자바

제1 드 모건의 법칙 진리표

드 모건의 첫 번째 법칙에 대한 진리표는 다음과 같습니다.

부울 대수학의 제2 드 모르간 법칙

두 번째 드 모르간(De Morgan)의 법칙은 다음과 같습니다. 두 개 이상의 변수에 대한 AND의 보수는 각 변수의 보수 OR과 같습니다.

A와 B를 두 개의 변수로 설정하면 수학적으로 Second De Morgan의 법칙은 다음과 같이 제공됩니다.

(A . B)' = A' + B'

어디

• +는 변수 간의 OR 연산자를 나타내며,
• . 변수 간의 AND 연산자를 나타냅니다.
• ' 변수에 대한 보수 연산을 나타냅니다.

두 번째 드 모건의 법칙 논리 게이츠

논리 게이트 및 부울 대수와 관련하여 De Morgan의 법칙은 논리 게이트 회로, 즉 NOT 게이트가 AND 게이트의 출력에 추가되고 NOT 게이트가 OR 게이트의 입력에 추가되는 것은 모두 동일하다고 명시합니다. 이 두 개의 논리 게이트 회로는 다음과 같습니다.

두 번째 드 모건의 법칙 진리표

두 번째 De Morgan의 법칙에 대한 진리표는 다음과 같습니다.

모건의 법칙 논리에서

De Morgan의 논리 법칙에서 아래 전치사는 동어반복어입니다.

∼ (a ∧ b) zzo ∼ a ∨ ∼ b

∼ (a ∨ b) zzo ∼ a ∧ ∼ b

어디,

• ∧ statemetns의 결합을 나타냅니다.
• ∨ 진술의 분리를 나타냅니다.
• ~ 진술의 부정을 나타낸다.
• = 진술의 동등성을 나타냅니다.

모건의 법칙 공식에서

다음 목록에 De Morgan의 법칙에 대한 모든 공식을 정리해 보겠습니다.

집합 이론의 경우:

• (A ∪ B)' = A' ∩ B'
• (A ∩ B)' = A' ∪ B'

부울 대수학의 경우:

• (A + B)' = A' . 비'
• (A . B)' = A' + B'

논리의 경우:

• ∼ (a ∧ b) zzo ∼ a ∨ ∼ b
• ∼ (a ∨ b) zzo ∼ a ∧ ∼ b

드 모건의 법칙에 대한 해결된 예

문제 1: U = {2, 3, 7, 8, 9}, A = {2, 7} 및 B = {2, 3, 9}라고 가정합니다. 드 모르간(De Morgan)의 제2법칙을 증명하십시오.

해결책:

U = {2, 3, 7, 8, 9}, A = {2, 7} 및 B = {2, 3, 9}

증명하려면: (A ∩ B)' = A' ∪ B'

(A ∩ B) = {2}

(A ∩ B)' = U – (A ∩ B) = {2, 3, 7, 8, 9} – {2}

(A ∩ B)' = {3, 7, 8, 9}

A' = U – A = {2, 3, 7, 8, 9} – {2, 7}

A' = {3, 8, 9}

B' = U – B = {2, 3, 7, 8, 9} – {2, 3, 9}

B' = {7, 8}

A' ∪ B' = {3, 8, 9} ∪ {7, 8}

A' ∪ B' = {3, 7, 8, 9}

(A ∩ B)' = A' ∪ B'

문제 2: U = {1, 4, 6, 8, 9}, A = {1, 9} 및 B = {4, 6, 9}라고 가정합니다. 드 모르간(De Morgan)의 제1법칙을 증명하십시오.

해결책:

U = {1, 4, 6, 8, 9}, A = {1, 9} 및 B = {4, 6, 9}

증명: (A ∪ B)' = A' ∩ B'

(A ∪ B) = {1, 4, 6, 9}

(A ∪ B)' = U – (A ∪ B) = {1, 4, 6, 8, 9} – {1, 4, 6, 9}

(A ∪ B)' = {8}

A' = U – A = {1, 4, 6, 8, 9} – {1, 9}

A' = {4, 6, 8}

B' = U – B = {1, 4, 6, 8, 9} – {4, 6, 9}

B' = {1, 8}

A' ∩ B' = {4, 6, 8} ∩ {1, 8}

문자열을 int로 변환 자바

A' ∩ B' = {8}

(A ∪ B)' = A' ∩ B'

따라서 증명됨

문제 3: 부울 표현식 단순화: Y = [(A + B).C]'

해결책:

Y = [(A + B).C]'

De Morgan의 법칙을 적용하면 (A . B)' = A' + B'

Y = (A + B)' + C'

De Morgan의 법칙을 적용하면 (A + B)' = A'입니다. 비'

Y=A'. 비'+씨'

문제 4: 부울 표현식 단순화: X = [(A + B)' + C]'

해결책:

X = [(A + B)' + C]'

De Morgan의 법칙을 적용하면 (A + B)' = A'입니다. 비'

X = [(A + B)']' . 씨'

X = (A + B). 씨'

자세한 내용은 이 소스를 확인하세요.

De Morgan의 법칙 쇼케이스 사례

모건의 법칙 실제 사례에서

예 1: 피자 토핑

피자 파티에 갔는데 버섯과 올리브를 함께 제외한 토핑을 선택할 수 있다는 말을 들었다고 상상해 보세요.

• 드 모르간(De Morgan)의 법칙 사용 : 즉, 버섯과 올리브를 모두 원하지 않으면(버섯과 올리브 아님) 피자에 버섯을 넣지 않거나(버섯 아님) 올리브를 넣지 않을 수 있습니다(올리브 아님). 따라서 버섯만 포함하거나 올리브만 포함하거나 둘 다 포함하지 않은 피자를 먹을 수 있습니다!

예 2: 도서관 서적

선생님이 마법사나 용에 관한 책을 교실에 가져갈 수 없다고 말씀하셨어요.

• 드 모르간(De Morgan)의 법칙 사용 : 즉, 마법사나 드래곤에 관한 책(마법사 또는 드래곤 아님)이 허용되지 않으면 마법사에 관한 책(마법사 아님)과 드래곤에 관한 책(드래곤 아님)을 가져올 수 없다는 의미입니다. 그러니 우주나 동물에 관한 책은 그래도 괜찮습니다!

예 3: 밖에서 놀기

엄마가 비가 오는데 추우면 밖에서 놀면 안 된다고 하셨어요.

• 드 모르간(De Morgan)의 법칙 사용 : 비가 오고 추워서(Not(Raining and Cold)), 그냥 비가 내리거나(Not Raining) 그냥 추우면(Not Cold) 나가지 않겠다는 뜻입니다. 하지만 날씨가 화창하고 따뜻하다면 가셔도 좋습니다!

예 4: 영화 선택

친구가 무섭거나 지루한 영화는 보고 싶지 않다고 합니다.

• 드 모르간(De Morgan)의 법칙 사용 : 친구가 무섭거나 지루한 영화를 원하지 않고(무섭거나 지루하지 않음) 무서운 영화를 원하지 않고(무섭지 않음) 지루한 영화를 원하지 않는 경우(지루하지 않음)를 의미합니다. . 그러니 재미있거나 신나는 영화가 딱 좋을 것 같아요!

드 모르간 법칙의 논리 적용

모건의 법칙에서 – FAQ

세트 이론에 대한 State De Morgan의 첫 번째 법칙 선언문입니다.

집합론에서 드 모르간(De Morgan)의 제1법칙은 두 집합의 합집합의 보수는 개별 보수의 교집합과 같다고 말합니다.

부울 대수학에 대한 State De Morgan의 두 번째 법칙 설명입니다.

부울 대수학에서 드 모르간(De Morgan)의 두 번째 법칙은 두 개 이상의 변수에 대한 AND의 보수는 각 변수의 보수에 대한 OR과 같다고 명시합니다.

집합론에서 드 모르간(De Morgan)의 법칙 공식을 작성하세요.

집합론에서 De Morgan의 법칙 공식은 다음과 같습니다.

(i) (A ∪ B)' = A' ∩ B'

(ii) (A ∩ B)' = A' ∪ B'

부울 대수학으로 드 모르간(De Morgan)의 법칙 공식을 작성하세요.

부울 대수학의 드 모르간(De Morgan) 법칙 공식:

(i) (A + B)' = A' . 비'

(ii) (A . B)' = A' + B'

드 모르간(De Morgan)의 법칙을 적용해 보세요.

드 모르간 법칙의 적용 중 일부는 복잡한 부울 표현을 최소화하고 단순화하는 것입니다.

드 모르간(De Morgan)의 법칙을 증명하는 방법은 무엇입니까?

집합론의 드 모르간 법칙은 벤 다이어그램으로 증명할 수 있고 부울 대수학의 드 모르간 법칙은 진리표로 증명할 수 있습니다.