행렬식은 주어진 행렬에 대한 단일 스칼라 값을 찾는 데 사용되는 선형 대수학의 기본 개념입니다. 이 기사에서는 3 × 3 행렬이 무엇인지, 3 × 3 행렬의 행렬식을 계산하는 방법과 응용 방법을 단계별로 설명합니다. 선형 대수학을 배우는 학생이든 행렬 연산에 대한 더 깊은 이해를 원하는 열광자이든 3 × 3 행렬의 행렬식을 이해하는 것은 습득해야 할 귀중한 기술입니다.

매트릭스의 행렬식은 무엇입니까?

행렬의 행렬식 는 정사각형 행렬에서 계산된 단일 숫자입니다. 선형대수학 분야에서는 정방행렬 내의 값을 이용하여 행렬식을 구합니다. 이 숫자는 배율 인수처럼 작용하여 행렬이 변환되는 방식에 영향을 줍니다. 행렬식은 선형 방정식 시스템을 풀고, 역행렬을 찾고, 다양한 미적분 연산을 수행하는 데 유용합니다.

3×3 매트릭스란 무엇인가?

3×3 매트릭스는 행렬 여기서 행과 열의 개수는 모두 3입니다. 행과 열의 개수가 동일하므로 3 × 3은 3×3 차의 정사각 행렬입니다. 행렬은 행과 열로 구성된 숫자로 구성된 표와 같습니다. 수학 및 기타 분야의 데이터를 저장하고 작업하는 데 사용됩니다. 반면, 3×3 행렬은 3개의 행과 3개의 열로 구성된 특정 유형의 행렬입니다. 이는 다음과 같이 표현될 수 있습니다:

3 × 3 매트릭스

3×3 행렬의 특성

다른 행렬과 마찬가지로 3×3 행렬도 몇 가지 중요한 속성을 가지고 있습니다.

• 정사각형 행렬 : 3×3 행렬은 3개의 행과 3개의 열로 구성되어 정사각형 행렬이 됩니다.

• 결정자: 3 × 3 행렬에는 방정식을 풀고 역함수를 찾는 데 중요한 수치인 행렬식이 있습니다.

• 행렬 곱셈: 첫 번째 행렬의 열 개수가 두 번째 행렬의 행 개수와 일치하는 경우 3 × 3 행렬에 다른 행렬을 곱할 수 있습니다.

• 역: 3 × 3 행렬은 행렬식이 0이 아닌 경우 역행렬을 가질 수 있습니다. 역행렬에 원래 행렬을 곱하면 단위 행렬이 생성됩니다.

3 × 3 행렬식의 행렬식

행렬의 행렬식을 계산하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 가장 일반적인 접근 방식은 주어진 3 × 3 행렬을 더 작은 2 × 2 행렬식으로 나누는 것입니다. 이는 행렬식을 찾는 과정을 단순화하며 선형 대수학에서 널리 사용됩니다.

다음과 같이 쓰여진 3×3 정사각형 행렬을 생각해 봅시다.

행렬 A의 행렬식, 즉 |A|를 계산합니다.

첫 번째 행의 요소를 따라 행렬을 확장합니다.

그러므로,

3 × 3 행렬의 행렬식은 어떻게 찾나요?

예를 들어 3×3 행렬의 계산을 이해해 봅시다. 아래 주어진 3 × 3 행렬에 대해.

egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 4 & 0 & 1 2 & -1 & 2 end{bmatrix}

1단계: 참조 행 또는 열 선택

시작할 행과 열을 선택합니다. 이 예에서는 첫 번째 요소(2)를 참조로 사용하여 3 × 3 행렬의 행렬식을 계산한다고 가정합니다.

따라서 행 R을 따라 확장하면₁

2단계: 행과 열 지우기

2×2 행렬로 단순화하기 위해 선택한 행과 열을 제거합니다.

2×2 매트릭스

3단계: 2 × 2 행렬의 행렬식 찾기

공식을 사용하여 2 × 2 행렬의 행렬식을 구합니다.

행렬식 = (a × d) – (b × c)

교차 곱셈

여기서 a = 0, b = 1, c = -1, d = 2입니다.

위의 행렬식 공식에 이 값을 넣으면, 우리는 다음을 얻습니다.

행렬식 = (0 × 2) – (1 × -1)

int 파신트

행렬식 = 0-(-1)

행렬식 = 0+1

∴ 2 × 2 행렬의 행렬식 = 1

4단계: 선택한 요소를 곱하기

2 × 2 행렬의 행렬식에 참조 행에서 선택한 요소(이 경우 2,1, 3)를 곱합니다.

첫 번째 요소 = 2 × 1 = 2

5단계: 선택한 참조 행의 두 번째 요소에 대해 이 과정을 반복합니다.

두 번째 요소의 경우

2×2 행렬의 값을 공식에 ​​대입하여 두 번째 요소 1에 대한 행렬식을 찾습니다.

행렬식 = (a × d) – (b × c)

여기서, a = 4, b= 1, c= 2, d= 2

행렬식 = (4 × 2) – (1 × 2)

행렬식 = 8 - 2

행렬식 = 6

이제 2 × 2 행렬의 행렬식에 참조 행에서 선택한 요소(이 경우 1)를 곱합니다.

두 번째 요소 = 1 × 6 = 6

6단계: 선택한 참조 행의 세 번째 요소에 대해 이 과정을 반복합니다.

세 번째 요소의 경우

2×2 행렬의 값을 공식에 ​​대입하여 세 번째 요소 3에 대한 행렬식을 구합니다.

행렬식 = (a × d) – (b × c)

여기서, a = 4, b= 0, c= 2, d= -1

행렬식 = (4 × -1) – (0 × 2)

이진 트리 중위 순회

행렬식 = -4 - 0

행렬식 = -4

이제 2×2 행렬의 행렬식에 참조 행에서 선택한 요소(이 경우 3)를 곱합니다.

두 번째 요소 = 3 × (-4) = -12

7단계: 수식 사용

4, 5, 6단계의 결과를 모두 더하세요.

2 – 6 + (-12) = (-16)

∴ -16은 3 × 3 행렬의 행렬식입니다.

3 × 3 행렬의 행렬식 적용

행렬의 행렬식은 역함수를 찾고 선형 방정식 시스템을 푸는 데 사용할 수 있습니다. 따라서 우리는 3 × 3 행렬의 역함수를 구하는 방법과 3 × 3 행렬의 행렬식을 사용하는 Cramer의 법칙을 사용하여 선형 방정식 시스템을 푸는 방법을 배웁니다.

3 × 3 행렬의 역행렬

정사각 행렬 A의 역행렬을 구하는 공식은 다음과 같습니다.

A^{-1} = frac{1}{ ext{det}(A)} cdot ext{adj}(A)

어디,

• A-1은 행렬 A의 역수 .
• Det(A)는 행렬 A의 행렬식을 나타냅니다.
• adj(A)는 행렬 A의 adjugate를 나타냅니다.

간단히 말해서 다음 단계에 따라 행렬의 역행렬을 찾을 수 있습니다.

1 단계. 행렬 A의 행렬식을 계산합니다.

2 단계. 행렬 A의 공액을 구합니다.

3단계. 부항의 각 요소에 1/det(A)를 곱합니다.

이 공식은 정사각 행렬(행과 열의 개수가 같은 행렬)에 사용되며 행렬식이 0이 아닌 것으로 가정합니다. 이는 행렬이 역행렬을 갖는 데 필요한 조건입니다.

크레이머의 법칙

크레이머의 법칙 행렬식을 사용하여 선형 방정식 시스템을 풀기 위한 공식을 제공합니다. n개의 변수를 갖는 선형 방정식 시스템의 경우 다음과 같은 형태로 제공됩니다.

도끼=B

어디,

• A = 정사각 행렬의 계수
• X = 변수가 있는 열 행렬
• B = 상수를 갖는 열 행렬

다음 선형 방정식 시스템을 고려하십시오.

ㅏ₁x + b₁와이+씨₁z + . . . = 디₁

ㅏ₂x + b₂와이+씨₂z + . . . = 디₂

. . .

ㅏ_Nx + b_N와이+씨_Nz + . . . = 디_N

변수 x, y, z, …는 다음 공식을 사용하여 결정됩니다.

• x = 디_엑스/디
• 와이 = D_그리고/디
• z = 디_{와 함께}/디

어디:

• D는 계수 행렬의 행렬식입니다.
• 디_엑스는 x의 계수를 우변의 상수로 대체하여 얻은 행렬의 행렬식입니다.
• 디_그리고는 y의 계수를 대체하여 얻은 행렬의 행렬식입니다.
• 디_{와 함께}는 z의 계수를 대체하여 얻은 행렬의 행렬식입니다.

Cramer의 법칙은 계수 행렬 D의 행렬식이 0이 아닐 때 적용됩니다. D = 0이면 특정 사례에 따라 해가 없거나 무한히 많음을 나타내는 규칙을 적용할 수 없습니다.

또한 확인하세요

• 행렬 유형
• 세 개의 변수가 있는 선형 방정식 시스템
• 매트릭스 연산

3 × 3 행렬의 행렬식 풀이 예

예 1: 행렬 A의 행렬식 찾기 egin{vmatrix} 2 & 3 & 1 0 & 4 & 5 1 & 6 & 2 end{vmatrix}

A의 행렬식 = 2 (4×2 – 5×6) – 3(0×2 – 5×1) + 1(0×6 – 4×1)

⇒ A의 행렬식 = 2(8-30) – 3(0-5) +1(0-4)

여러 테이블에서 SQL 선택

⇒ A의 행렬식 =2(-22) – 3(-5) +1(-4)

⇒ A의 행렬식 = (-44) +15 – 4

⇒ A의 행렬식 =-44+11

∴ A의 행렬식, 즉 |A| = (-33)

예 2: 행렬 B의 행렬식 찾기 = egin{vmatrix} 1 & 2 & 1 0 & 3 & 0 4 & 1 & 2 end{vmatrix}

B의 행렬식 = 1(3×2 – 0×1) – 2(0×2 – 0×4) + 1(0×1 – 3×4)

⇒ B의 행렬식 = 1(6-0) – 2(0) + 1(-12)

⇒ B의 행렬식 = 1(6) – 0 – 12

⇒ B의 행렬식 =6-12

⇒ B의 행렬식 = (-6)

∴ B의 행렬식, 즉 |B| = 6

예 3: 행렬 C의 행렬식 찾기 egin{vmatrix} 3 & 1 & 2 0 & 2 & 5 2 & 0 & 4 end{vmatrix}

행렬 C의 행렬식 = 3(2×4 – 5×0) – 1(0×4 – 5×2) + 2(0×0 – 2×2)

⇒ C의 행렬식 = 3(8-0) – 1(0-10) + 2(0-4)

⇒ C의 행렬식 =3(8) – 1(-10) + 2(-4)

⇒ C의 행렬식 = 24 + 10 -8

⇒ C의 행렬식 = 26

∴ C의 행렬식, 즉 |C| = 26

예제 4: 크래머 법칙을 사용하여 주어진 방정식 시스템 풀기

2x + 3y – z = 7
4x – 2y + 3z = 8
x + y + 2z = 10

해결책:

1 단계: 먼저 행렬식을 구하세요. 디 계수 행렬.

D = egin{vmatrix} 2 & 3 & -1 4 & -2 & 3 1 & 1 & 2 end{vmatrix}

이 행렬식 D를 풀 때

D= 2(-2×2-3×1) – 3(4×2-1×3) – (-1)(4×1-(-2)×3)

⇒ D= 2(-4-3) – 3(8-3) – (-1)(4+6)

⇒ D= 2(-7) – 3(5) – (-1)(10)

⇒ D= -14-15+10

⇒ D= -19

2 단계: 이제 D의 행렬식을 찾으세요._엑스, 디_그리고그리고 디_{와 함께}

D의 경우_엑스, x의 계수를 오른쪽의 상수로 바꿉니다.

Dx = egin{vmatrix} 7 & 3 & -1 8 & -2 & 3 10 & 1 & 2 end{vmatrix}

D의 경우_그리고, y의 계수를 상수로 바꿉니다.

Dy = egin{vmatrix} 2 & 7 & -1 4 & 8 & 3 1 & 10 & 2 end{vmatrix}

D의 경우_{와 함께}, z의 계수를 상수로 대체합니다.

Dz = egin{vmatrix} 2 & 3 & 7 4 & -2 & 8 1 & 1 & 10 end{vmatrix}

행렬식 D 풀기_엑스

디_엑스= 7(-2×2 – 3×1) – 3(8×2 – 3×10) – (-1)(8×1 – (-2×10)

⇒ D_엑스= 7(-4 – 3) – 3(16 – 30) – (-1)(8 + 20)

⇒ D_엑스= 7(-7) – 3(-14) + 28

⇒ D_엑스= -49 + 42 + 28

목록 인덱스

따라서 D_엑스= 21

행렬식 D 풀기_그리고

디_그리고= 2(-2×2 – 3×10) – 7(4×2 – 1×10) – (-1)(4×1 – (-2×10)

⇒ D_그리고= 2(-4 – 30) – 7(8 – 10) – (-1)(4 + 20)

⇒ D_그리고= 2(-34) – 7(-2) + 24

마이크로서비스 튜토리얼

⇒ D_그리고= -68 + 14 + 24

⇒ D_그리고= -30

행렬식 D 풀기_{와 함께}

디_{와 함께}= 2(-2×(-2) – 3×(-2)) – 3(4×(-2) – 1×(-10)) – 7(4×3 – (-2×1)

⇒ D_{와 함께}= 2(4 + 6) – 3(-8 + 10) – 7(12 + 2)

⇒ D_{와 함께}= 2(10) – 3(2) – 7(14)

⇒ D_{와 함께}= 20 – 6 – 98

⇒ D_{와 함께}= -84

3단계: 이제 D, D의 값을 입력합니다._엑스,디_그리고그리고 디_{와 함께}카머의 법칙 공식에서 x, y, z 값을 구합니다.

x = 디_엑스/D = 21/(-19)

와이 = D_그리고/D = (-30)/(-19)

z = 디_{와 함께}/D = (-84)/(-19)

3 × 3 행렬의 행렬식에 관한 연습 문제

Q1. 단위 행렬의 행렬식을 계산합니다.

egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end{bmatrix}

Q2. 행렬의 행렬식을 구합니다:

egin{bmatrix} 3 & 2 & 0 0 & 4 & -1 2 & 1 & 5 end{bmatrix}

Q3. 행렬의 행렬식을 결정합니다.

egin{bmatrix} 2 & 1 & 1 1 & 2 & 1 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Q4. 행렬의 행렬식을 계산합니다.

egin{bmatrix} -1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & -3 end{bmatrix}

Q5. 행렬의 행렬식을 구합니다:

egin{bmatrix} 4 & 3 & 2 1 & 0 & 1 2 & 1 & 4 end{bmatrix}

Q6. 행렬의 행렬식을 결정합니다.

egin{bmatrix} 0 & 1 & 2 2 & -1 & 3 1 & 0 & -2 end{bmatrix}

3 × 3 행렬의 행렬식 – FAQ

1. 매트릭스란 무엇인가?

행렬은 행과 열로 구성된 숫자 또는 요소의 직사각형 배열입니다. 수학, 과학, 공학 문제를 표현하고 해결하기 위해 다양한 분야에서 사용됩니다.

2. 3×3 행렬의 행렬식의 의미는 무엇입니까?

3 × 3 행렬의 행렬식은 행렬의 속성에 대한 정보를 제공하므로 중요합니다. 이는 선형 방정식 시스템이 다른 응용 분야 중에서 고유한 솔루션을 가지고 있는지 확인하는 데 도움이 됩니다.

3. 행렬식의 정의는 무엇입니까?

행렬의 행렬식은 행렬의 요소에서 계산된 스칼라 값으로, 해당 속성에 대한 정보를 제공합니다. 선형 방정식 시스템을 풀고, 역함수를 찾는 등의 작업에 사용됩니다.

4. 3 × 3 행렬의 행렬식이 0이면 어떻게 되나요?

3 × 3 행렬의 행렬식이 0이면 해당 행렬은 특이 행렬이고 역행렬이 없음을 의미합니다. 기하학적 측면에서 이는 행렬로 표현된 변환이 면적이나 부피를 0으로 축소함을 나타냅니다. 행렬식은 항상 0입니다. 이는 모든 크기의 매트릭스에 적용 가능합니다.

5. 3 × 3 행렬의 행렬식이 음수가 될 수 있나요?

예, 행렬식은 음수일 수 있습니다. 행렬식의 부호는 행렬 요소의 배열과 계산 방법에 따라 행렬 요소의 결과가 양수인지 음수인지에 따라 달라집니다.

6. 3 × 3 행렬의 행렬식을 찾는 실제 응용 프로그램은 무엇입니까?

행렬식은 물리학, 공학, 컴퓨터 그래픽, 경제학 등 다양한 분야에서 사용됩니다. 이는 선형 방정식 시스템을 풀고, 기하학적 변환을 분석하고, 동적 시스템의 안정성을 결정하는 데 도움이 됩니다.