선의 방정식 비행기에서는 다음과 같이 주어진다. y = mx + C 여기서 x와 y는 평면의 좌표이고, m은 선의 기울기, C는 절편입니다. 그러나 선의 구성은 평면에만 국한되지 않습니다.
우리는 선이 두 점 사이의 경로라는 것을 알고 있습니다. 이 두 점은 단일 평면에 있든 공간에 있든 상관없이 어디에나 위치할 수 있습니다. 평면의 경우 선의 위치는 (x, y)로 순서쌍으로 배열된 두 개의 좌표로 특징지어지는 반면, 공간의 경우 점의 위치는 (x로 표현되는 세 개의 좌표로 특징지어집니다. , y, z).
이번 글에서는 3차원 공간에서 다양한 형태의 선 방정식을 배워보겠습니다.
내용의 테이블
선 방정식이란 무엇입니까?
선의 방정식은 선이 연결되는 점의 좌표로 선을 표현하는 대수적 방법입니다. 직선의 방정식은 항상 일차 방정식 .
선형 방정식에서 얻은 점을 플로팅하려고 하면 다음과 같습니다. 일직선 . 직선의 표준방정식은 다음과 같이 주어진다.
도끼 + by + c = 0
어디,
- a와 b는 x와 y의 계수입니다.
- c는 상수항
선 방정식의 다른 형태는 다음과 같습니다.
10개 중 10개
다른 형태의 선 방정식 | ||
|---|---|---|
| 방정식 이름 | 방정식 | 설명 |
| 점-경사 형태 | (y – y1) = m(x – x1) | 기울기(m)와 선 위의 점(x1, y1)을 사용하여 선을 나타냅니다. |
| 경사-절편 형태 | y = mx + b | 기울기(m)와 y절편(b)을 사용하여 선을 나타냅니다. |
| 차단 양식 | x/a + y/b = 1 | (a, 0)에서 x축과 (0, b)에서 y축과 교차하는 선을 나타냅니다. |
| 일반형 | x cos θ + y sin θ = p | 선이 양의 x축과 이루는 각도(θ)와 원점에서 선까지의 수직 거리(p)를 사용하여 선을 나타냅니다. |
이제 3차원 선의 방정식을 배워보겠습니다.
3D의 선 방정식
3차원에서 직선의 방정식은 공간에 위치한 두 개의 점을 필요로 합니다. 각 점의 위치는 (x, y, z)로 표시되는 세 개의 좌표를 사용하여 제공됩니다.
선의 3D 방정식은 두 가지 형식으로 제공됩니다. 데카르트 형식 그리고 벡터 형태 . 이 기사에서는 데카르트 형식과 벡터 형식 모두에서 3D 선의 방정식을 배우고 방정식을 도출하는 방법도 배웁니다. 선 방정식의 다양한 경우는 다음과 같습니다.
- 데카르트 형태의 선
- 두 점을 통과하는 선
- 주어진 점을 통과하고 주어진 벡터에 평행한 선
- 선의 벡터 형태
- 두 점을 통과하는 선
- 주어진 점을 통과하고 주어진 벡터에 평행한 선
3D 선 방정식의 데카르트 형태
데카르트 형태의 선은 선이 지나가는 공간에 위치한 두 점의 좌표를 사용하여 제공됩니다. 여기에서는 선이 두 점을 통과하는 경우와 선이 점을 통과하고 벡터에 평행한 경우의 두 가지 경우에 대해 설명합니다.
사례 1: 두 점을 통과하는 데카르트 형태의 선의 3D 방정식
좌표가 A(x)로 주어지는 두 점 A와 B가 있다고 가정해 보겠습니다.1, 그리고1, 와 함께1) 및 B(x2, 그리고2, 와 함께2).
그런 다음 데카르트 형식의 직선의 3D 방정식은 다음과 같이 제공됩니다.
old{frac{x – x_1} {x_2 – x_1} = frac{y – y_1} {y_2 – y_1} = frac{z -z_1} {z_2 – z_1}} 여기서 x, y 및 z는 직교 좌표입니다.
두 점을 지나는 선의 방정식 유도
우리는 다음 단계를 사용하여 직선의 3D 방정식의 데카르트 형식을 도출할 수 있습니다.
- 1 단계: 주어진 두 점의 해당 위치 좌표의 차이를 취하여 DR(방향 비율)을 찾습니다. 엘 = (엑스2– 엑스1), 중 = (그리고2- 그리고1), N = (지2- 와 함께1); 여기 엘, 엠, 엔 DR입니다.
- 2 단계: 주어진 두 점 중 하나를 선택하십시오. 즉, 우리는 선택합니다. (엑스1, 그리고1, 와 함께1).
- 3단계: 두 점을 지나는 직선의 방정식을 쓰시오. (엑스1, 그리고1, 와 함께1) 및 (x2, 그리고2, 와 함께2).
- 4단계: 데카르트 형태의 직선의 3D 방정식은 다음과 같이 제공됩니다. L: (x – x1)/l = (y – y1)/m = (z – z1)/n = (x – x1)/(엑스2– 엑스1) = (y – y1)/(그리고2- 그리고1) = (z – z1)/(와 함께2- 와 함께1)
어디 (X와 Z) 은 직선 위에 있는 임의의 가변점의 위치좌표이다.
예: 직선이 위치 좌표가 P(2, 3, 5)와 Q(4, 6, 12)인 3차원의 두 고정점을 통과하는 경우 2점 형식을 사용하는 데카르트 방정식은 다음과 같이 제공됩니다.
해결책:
l = (4 – 2), m = (6 – 3), n = (12 – 5)
l = 2, m = 3, n = 7
포인트 P 선택(2, 3, 5)
필요한 직선 방정식
L: (x – 2) / 2 = (y – 3) / 3 = (z – 5) / 7
사례 2: 점을 통과하고 주어진 벡터에 평행한 데카르트식 선의 3D 방정식
선이 점 P(x)를 통과한다고 가정합시다.1, 그리고1, 와 함께1)는 다음과 같이 주어진 벡터와 평행합니다.
그러면 선의 방정식은 다음과 같이 주어진다.
old{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c} 여기서 x, y, z는 직교 좌표이고 a, b, c는 방향 코사인입니다.
주어진 벡터에 평행하고 점을 통과하는 데카르트식 선의 3D 방정식 유도
위치 벡터가 다음과 같이 주어지는 점 P가 있다고 가정해 보겠습니다.
PR은 PR과 평행하기 때문에
이제 PR 선 위로 이동하면 선 위에 있는 모든 점의 좌표는 (x 형식의 좌표를 갖게 됩니다.1+ λa), (및1+ λb), (z1+ λc), 여기서 λ는 우리가 이동하는 P에서 방향에 따라 값이 -무한대에서 +무대까지 범위를 갖는 매개변수입니다.
따라서 새 점의 좌표는 다음과 같습니다.
x = x1+ λa ⇒ λ = x – x1/ㅏ
와이 = 와이1+ λb ⇒ λ = y – y1/비
z = z1+ λc ⇒ λ = z – z1/씨
위의 세 방정식을 비교하면 다음과 같은 선 방정식이 생깁니다.
예: 점 (2, 1, 3)을 통과하고 벡터 3i – 2j + k에 평행한 선의 방정식 찾기
해결책:
점을 통과하고 벡터에 평행한 선의 방정식은 다음과 같이 제공됩니다.
(x – x1)/a = (y – y1)/b = (z – z1)/씨
우리가 가진 질문에서 x1= 2, 그리고1= 1, z1= 3 및 a = 3, b = -2 및 c = k입니다. 따라서 필요한 직선 방정식은 다음과 같습니다.
⇒ (x – 2)/3 = (y – 1 )/-2 = (z – 3)/1
3D 선 방정식의 벡터 형태
3차원 선 방정식의 벡터 형식은 점의 위치 벡터를 포함하는 벡터 방정식을 사용하여 제공됩니다. 이 제목에서는 두 가지 경우에 대해 벡터 형식의 선의 3D 방정식을 얻습니다.
사례 1: 벡터 형태의 두 점을 통과하는 선의 3D 방정식
위치 벡터가 다음과 같이 주어지는 두 점 A와 B가 있다고 가정해 보겠습니다.
그러면 선 L의 벡터 방정식은 다음과 같이 주어진다.
C의 배열에 있는 문자열
vec l = vec a + lambda (vec b – vec a) 어디
(vec b – vec a) 는 두 점 사이의 거리이고 λ는 다음과 같은 매개변수입니다. 라인에.
두 점을 통과하는 선의 3차원 방정식을 벡터 형태로 유도
위치 벡터가 다음과 같이 주어지는 두 점 A와 B가 있다고 가정합니다.
⇒
이제 우리는 이 선의 모든 점은 위치 벡터의 합으로 주어질 것이라는 것을 알고 있습니다.
따라서 벡터 형식의 선 방정식은 다음과 같습니다.
예: 위치 벡터가 2i + j – k 및 3i + 4j + k로 제공되는 두 점을 통과하는 3D 선의 벡터 방정식을 찾습니다.
해결책:
두 위치 벡터가 2i + j – k 및 3i + 4j + k로 주어진다고 가정하면
거리 d = (3i + 4j + k) – (2i + j -k) = i + 3j + 2k
우리는 선의 방정식이 다음과 같이 주어진다는 것을 알고 있습니다.
vec l = vec a + lambda (vec b – vec a) 따라서 직선의 방정식은 다음과 같습니다.
vec l = 2i + j - k + λ(i + 3j + 2k)
사례 2: 점을 통과하고 벡터에 평행한 선의 3D 방정식의 벡터 형식
위치 벡터가 다음과 같이 주어지는 점 P가 있다고 가정해 보겠습니다.
그러면 선 'l'의 벡터 방정식은 다음과 같이 주어진다.
vec l = vec p + lambda vec d 여기서 λ는 선에 있는 매개변수입니다.
점을 통과하고 벡터에 평행한 선의 3차원 방정식의 벡터 형태 유도
위치 벡터가 다음과 같이 주어지는 점 P를 생각해 보세요.
예: 점 (-1, 3, 2)을 통과하고 벡터 5i + 7j – 3k에 평행한 선 방정식의 벡터 형태를 구합니다.
해결책:
우리는 점을 통과하고 벡터에 평행한 선의 방정식의 벡터 형식이 다음과 같이 주어진다는 것을 알고 있습니다.
vec l = vec p + lambda vec d 점이 (-1, 3, 2)라고 가정하면 점의 위치 벡터는 -i + 3j + 2k가 되고 주어진 벡터는 5i + 7j – 3k가 됩니다.
따라서 필요한 직선 방정식은 다음과 같습니다.
vec l = (-i + 3j + 2k) + λ(5i + 7j – 3k).
3D 라인 수식
| 이름 | 공식 | 설명 |
|---|---|---|
| 벡터 형태 | r = a + λd | 방향 벡터(d)에 평행한 점(a)을 통과하는 선을 나타냅니다. λ는 매개변수입니다. |
| 파라메트릭 형태 | x = x₀ + λa, y = y₀ + λb, z = z₀ + λc | 다양한 위치에 대해 매개변수(λ 또는 t)를 사용하여 선을 설명합니다. (x₀, y₀, z₀)는 선 위의 점이고, (a, b, c)는 방향 벡터입니다. |
| 경사선 사이의 최단 거리 | (공식은 특정 접근 방식에 따라 다릅니다) | 교차하지 않는 두 선 사이의 수직 거리를 계산합니다. |
| 두 점을 통과하는 선의 방정식 | x = x₀ + t a, y = y₀ + t b, z = z₀ + t c | 점 ((x₀, y₀, z₀))과 ((x, y, z))를 연결하는 선을 나타냅니다. t는 매개변수이고, (a, b, c)는 방향 벡터입니다. |
유사한 읽기
- 직선의 방정식
- 탄젠트 및 법선
- 선의 기울기
3D의 선 방정식에 대한 해결된 예
해결된 연습 문제를 통해 3D 선의 방정식을 연습해 보세요.
예시 1: 직선이 위치 벡터가 (2 i + 3 j + 5 k) 및 (4 i + 6 j + 12 k)인 3차원의 두 고정점을 통과하는 경우 두 점을 사용하는 벡터 방정식 형태는 다음과 같이 주어진다.
해결책:
{vec {p}} = (4 나 + 6 제이 + 12 케이 ) - (2 나 + 3 제이 + 5 케이 )
{vec {p}} = (2 나 + 3 제이 + 7 케이 ) ; 여기{vec {p}} 직선에 평행한 벡터이다위치 벡터 선택(2 나 + 3 제이 + 5 케이 )
필요한 직선 방정식
엘 :
{vec {r}} = (2 나 + 3 제이 + 5 케이 ) + 티 . (2 나 + 3 제이 + 7 케이 )
예 2: 직선이 3차원 공간에서 위치 좌표가 (3, 4, -7)과 (1, -1, 6)인 두 고정점을 통과하는 경우 두 점을 사용하는 벡터 방정식 형태는 다음과 같이 주어진다.
해결책:
char에서 int로 변환 java
주어진 점의 위치 벡터는 (3 i + 4 j – 7 k) 및 (i – j + 6 k)입니다.
{vec {p}} = (3i + 4j – 7k) – (i – j + 6k)
{vec {p}} = (2i + 5j – 13k) ; 여기{vec {p}} 직선에 평행한 벡터이다위치 벡터 선택(i – j + 6 k)
필요한 직선 방정식
엘 :
{vec {r}} = (i – j + 6k) + 티 . (2i + 5j – 13k)자바 배열의 len
예시 3: 직선이 위치 벡터가 (5 i + 3 j + 7 k) 및 (2 i + j – 3 k)인 3차원의 두 고정점을 통과하는 경우 2점 형식을 사용하는 벡터 방정식 에 의해 주어진다
해결책:
{vec {p}} = (5i + 3j + 7k) – (2i + j – 3k)
{vec {p}} = (3i + 2j + 10k) ; 여기{vec {p}} 직선에 평행한 벡터이다위치 벡터 선택(2 i + j – 3 k)
필요한 직선 방정식
엘:
{vec {r}} = (2i + j – 3k) + 티 . (3i + 2j + 10k)
예 4: 직선이 위치 좌표가 A(2, -1, 3)와 B(4, 2, 1)인 3차원의 두 고정점을 통과하는 경우 두 점을 사용하는 데카르트 방정식 형태는 다음과 같이 주어진다.
해결책:
l = (4 – 2), m = (2 – (-1)), n = (1 – 3)
l = 2, m = 3, n = -2
A점 선택(2, -1, 3)
필요한 직선 방정식
L : (x – 2) / 2 = (y + 1) / 3 = (z – 3) / -2 또는
L: (x – 2) / 2 = (y + 1) / 3 = (3 – z) / 2
예시 5: 직선이 위치 좌표가 X(2, 3, 4)와 Y(5, 3, 10)인 3차원의 두 고정 점을 통과하는 경우 2점 형식을 사용하는 데카르트 방정식은 다음과 같이 제공됩니다.
해결책:
l = (5 – 2), m = (3 – 3), n = (10 – 4)
l = 3, m = 0, n = 6
X(2, 3, 4) 지점 선택
필요한 직선 방정식
L : (x – 2) / 3 = (y – 3) / 0 = (z – 4) / 6 또는
L: (x – 2) / 1 = (y – 3) / 0 = (z – 4) / 2
3D의 선 방정식 – FAQ
3D의 선 방정식은 무엇입니까?
3D의 선 방정식은 (x – x)로 제공됩니다.1)/(엑스2– 엑스1) = (y – y1)/(그리고2- 그리고1) = (z – z1)/(와 함께2- 와 함께1)
3D 선 방정식의 데카르트 형식은 무엇입니까?
3D 선 방정식의 데카르트 형식은 두 가지 경우에 대해 제공됩니다.
사례 1: 선이 두 점을 통과하는 경우:
{frac{x – x_1} {x_2 – x_1} = frac{y – y_1} {y_2 – y_1} = frac{z -z_1} {z_2 – z_1}} 사례 2: 선이 한 점을 통과하고 벡터와 평행할 때:
{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}
3D 선 방정식의 벡터 형식은 무엇입니까?
3D 선 방정식의 벡터 형식은 두 가지 경우에 제공됩니다.
사례 1: 두 점을 통과하는 선:
vec l = vec a + lambda (vec b – vec a) 사례 2: 점을 통과하고 벡터에 평행한 선 통과:
vec l = vec p + lambda vec d
선의 경사점 방정식은 무엇입니까?
기울기 점 선의 방정식은 y = mx + C로 제공됩니다. 여기서 m은 기울기입니다.
선의 표준 방정식은 무엇입니까?
직선의 표준 방정식은 ax + by + c = 0입니다.