동등 클래스 등가 관계에 의해 정의된 특정 등가 개념을 기반으로 하는 집합의 요소 그룹입니다. 동치 관계는 반사성, 대칭성, 전이성이라는 세 가지 속성을 만족하는 관계입니다. 등가 클래스는 집합 S를 분리된 부분 집합으로 분할합니다. 각 하위 집합은 주어진 동등 관계 하에서 서로 관련된 요소로 구성됩니다.

이 기사에서는 정의, 예제, 속성 및 해결 예제를 포함하여 동등 클래스의 개념을 충분히 자세히 논의합니다.

내용의 테이블

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• 동등 클래스란 무엇입니까?
• 동등 클래스의 예
• 동등 클래스의 속성
• 동등 클래스 및 파티션

동등 클래스란 무엇입니까?

동등 클래스는 서로 동등한 모든 요소를 ​​포함하는 S의 하위 집합에 부여하는 이름입니다. 동등성은 동등 관계라고 하는 지정된 관계에 종속됩니다. 두 요소 사이에 동등 관계가 있는 경우 이를 동등하다고 합니다.

동등 클래스 정의

집합 S에 대한 등가 관계가 주어지면 S의 요소 a에 대한 등가 클래스는 a와 관련된 S의 모든 요소의 집합입니다. 즉,

[a] 또는 x는 다음과 관련되어 있습니다.

예를 들어, 정수 집합 ℤ과 합동 모듈로 n으로 정의된 등가 관계를 생각해 보세요. 두 정수 a와 b는 동등한 것으로 간주됩니다(n으로 나눈 나머지가 동일한 경우 (a ñ b mod(n)으로 표시됨). 이 경우 정수 a의 동등 클래스는 다음을 갖는 모든 정수의 집합입니다. n으로 나눈 나머지는 a와 같습니다.

등가관계란 무엇인가?

모든 관계 R은 다음 세 가지 조건을 만족하는 경우에만 동등 Realtion이라고 합니다.

• 반사성: 모든 요소 a에 대해 a는 그 자체와 관련이 있습니다.
• 대칭: a가 b와 관련되어 있으면 b도 a와 관련됩니다.
• 전이성: a가 b와 관련되고 b가 c와 관련되면 a는 c와 관련됩니다.

자세히 알아보기 동등 관계 .

등가 관계의 몇 가지 예는 다음과 같습니다.

집합의 평등: X를 임의의 집합으로 두고, a, b에 대해 a = b인 경우에만 a R b가 되도록 X에 대한 관계 R을 정의합니다. ϵ 엑스.

• 반사성: 매 a마다 ϵ X, a = a (사소한 사실).
• 대칭: a = b이면 b = a입니다(사소하게 사실임).
• 전이성: a = b이고 b = c이면 a = c입니다(사소하게 사실).

합동 모듈로 n: n을 양의 정수로 두고, a – b가 n으로 나누어질 수 있는 경우에만 a Rb가 되도록 정수 ℤ에 대한 관계 R을 정의합니다.

• 반사성: 매 a마다 ϵ ℤ, a – a = 0은 n으로 나누어집니다.
• 대칭: a – b가 n으로 나누어지면 -(a – b) = b – a도 n으로 나누어집니다.
• 전이성: a – b가 n으로 나누어지고 b – c가 n으로 나누어지면 a – c도 n으로 나누어집니다.

동등 클래스의 예

동치 관계의 잘 알려진 예는 같음(=) 관계입니다. 즉, 주어진 집합의 두 요소가 동일한 동등 클래스에 속하면 서로 동등합니다. 등가 관계는 다음 예를 통해 설명할 수 있습니다.

정수의 등가 관계

동등 관계: 합동 모듈로 5(a ñ b [mod(5)] )

• 동등 클래스 0: [0] = {. . ., -10, -5, 0, 5, 10, . . .}
• 동등 클래스 1: [1] = {. . ., -9, -4, 1, 6, 11, . . .}
• 동등 등급 2: [2] = {. . ., -8, -3, 2, 7, 12, . . .}
• 동등 클래스 3: [3] = {. . ., -7, -2, 3, 8, 13, . . .}
• 동등 클래스 4: [4] = {. . ., -6, -1, 4, 9, 14, . . .}

실수의 등가관계

동등 관계: 절대차(|a – b| <1인 경우 a ~ b)

• 동등 클래스 0: [0] = (-0.5, 0.5)
• 동등 클래스 1: [1] = (0.5, 1.5)
• 동등 등급 2: [2] = (1.5, 2.5)
• 동등 클래스 3: [3] = (2.5, 3.5)

더 읽어보기,

• 실수
• 정수
• 유리수

동등 클래스의 속성

동등 클래스의 속성은 다음과 같습니다.

• 모든 요소는 정확히 하나의 동등 클래스에 속합니다.
• 동등 클래스는 분리되어 있습니다. 즉, 두 동등 클래스의 교집합은 널 세트입니다.
• 모든 동등 클래스의 합집합이 원래 세트입니다.
• 두 요소는 동등 클래스가 동일한 경우에만 동일합니다.

더 읽어보기,

• 세트의 합집합
• 세트의 교차점
• 서로소 집합

동등 클래스 및 파티션

동등 관계로 관련된 세트의 요소 그룹인 반면, 중복 없이 전체 세트를 포괄하는 이러한 동등 클래스의 컬렉션을 분할이라고 합니다.

동등 클래스와 파티션의 차이점

동등 클래스와 파티션 간의 주요 차이점은 다음 표에 나와 있습니다.

동등 클래스에 대한 해결된 예

예 1: 관계 R이 관계 R = (p, q):에 의해 주어진 집합 P= { 3, 4, 5,6 }에서 등가 유형임을 증명합니다.

해결책:

주어진: R = (p, q):. 여기서 p, q는 P에 속합니다.

반사 속성

제공된 관계에서 |p – p| = | 0 |=0.

• 그리고 0은 항상 짝수입니다.
• 따라서 |p – p| 짝수이다.
• 따라서 (p, p)는 R과 관련이 있습니다.

따라서 R은 반사적입니다.

대칭 속성

주어진 관계에서 |p – q| = |q – p|.

• 우리는 |p – q| = |-(q – p)|= |q – p|
• 따라서 |p – q| 짝수이다.
• 다음 |q – p| 또한 짝수이다.
• 따라서 (p, q) ∈ R이면 (q, p)도 R에 속합니다.

그러므로 R은 대칭이다.

전이적 속성

• 만약 |p – q| 짝수이면 (p-q)도 짝수입니다.
• 마찬가지로, |q-r| 짝수이면 (q-r)도 짝수입니다.
• 짝수의 합이 너무 짝수입니다.
• 따라서 우리는 이를 p – q+ q-r이 짝수라고 해결할 수 있습니다.
• 다음으로, p – r은 더 짝수입니다.

따라서,

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• |피 – q| 그리고 |q-r| 짝수이면 |p – r| 짝수이다.
• 결과적으로 (p, q) ∈ R 및 (q, r) ∈ R이면 (p, r)도 R을 나타냅니다.

따라서 R은 추이적입니다.

예 2: A = {2, 3, 4, 5} 및 R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), ( 3, 3), (4, 2), (4, 4)}.

해결책:

주어진 경우: A = {2, 3, 4, 5} 및

관계식 R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (3, 3), (4, 2), (4, 4 )}.

R이 등가 관계가 되려면 R이 반사적, 대칭적, 추이적이라는 세 가지 속성을 충족해야 합니다.

반사적 : 관계 R은 (5, 5), (2, 2), (3, 3) 및 (4, 4) ∈ R이므로 반사적입니다.

대칭 : 관계 R은 (a, b) ∈ R, (b, a)가 R과 관련될 때마다 즉, (3, 5) ∈ R ⟹ (5, 3) ∈ R과 같이 대칭입니다.

전이적 : 관계 R은 (a, b)와 (b, c)가 R과 관련될 때마다 추이적이며, (a, c)도 R과 관련됩니다. 즉, (3, 5) ∈ R 및 (5, 3) ∈ R ⟹ ( 3, 3) ∈ R.

따라서 R은 반사적, 대칭적, 추이적입니다.

따라서 R은 동치관계입니다.

동등 클래스 연습 문제

문제 1: a+b가 짝수이면 aRb입니다. 동치관계인지, 그 속성인지 판단합니다.

문제 2: x와 y의 출생 월이 같으면 xSy입니다. 동치관계인지 분석해보세요.

문제 3: A = {2, 3, 4, 5} 및 R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (3, 3)을 고려하십시오. ), (4, 2), (4, 4)}. R이 동치 유형의 관계인지 확인하십시오.

문제 4: 관계 R = is even 에 의해 주어진 집합 P= { 3, 4, 5,6 }에서 관계 R이 등가 유형임을 증명하십시오.

동등 클래스: FAQ

1. 동등 클래스란 무엇입니까?

동등 클래스는 주어진 동등 관계 하에서 서로 동등한 모든 요소를 ​​그룹화하여 형성된 집합 내의 부분 집합입니다. 이는 해당 관계에 의해 동등하다고 간주되는 모든 구성원을 나타냅니다.

2. 동등등급 기호는 무엇인가요?

동등 클래스의 기호는 일반적으로 [a]로 작성되며, 여기서 a는 클래스를 나타내는 요소입니다. 이 표기법은 특정 등가 관계에서 a와 등가인 모든 요소의 집합을 나타냅니다.

3. 세트의 등가 클래스를 어떻게 찾나요?

집합의 등가 클래스를 찾으려면 다음 단계를 따르세요.

1 단계: 동등 관계를 정의합니다.

2 단계: 세트에서 요소를 선택합니다.

3단계: 선택한 요소와 동등한 요소를 식별합니다.

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4단계: 선택한 요소와 동등한 모든 요소를 ​​포함하는 동등 클래스를 형성합니다.

4. 동등 클래스와 파티션의 차이점은 무엇입니까?

등가 클래스는 등가 관계에 의해 형성된 부분 집합인 반면, 파티션은 전체 집합을 포괄하는 겹치지 않는 부분 집합입니다. 모든 동등 클래스는 파티션의 하위 집합이지만 모든 파티션이 동등 관계에서 발생하는 것은 아닙니다.

5. 등가관계란 무엇인가?

집합을 분리된 하위 집합으로 나누는 반사적, 대칭적, 추이적 관계입니다.