관련된 부분 순서를 완벽하게 설명하는 유용한 도구입니다. 따라서 주문 다이어그램이라고도 합니다. 집합 A의 관계에 대한 방향 그래프를 동등한 Hasse 다이어그램으로 변환하는 것은 매우 쉽습니다. 따라서 Hasse 다이어그램을 그릴 때 다음 사항을 기억해야 합니다.
- Hasse 다이어그램의 꼭지점은 원이 아닌 점으로 표시됩니다.
- 부분 순서는 반사적이므로 A의 각 꼭지점은 자신과 관련되어야 하므로 꼭지점에서 자신까지의 가장자리는 Hasse 다이어그램에서 삭제됩니다.
- 부분 순서는 추이적이므로 aRb, bRc마다 aRc가 있습니다. Hasse 다이어그램의 전이 속성에 의해 암시된 모든 모서리를 제거합니다. 즉, a에서 c까지의 모서리를 삭제하고 다른 두 모서리는 유지합니다.
- 정점 'a'가 모서리, 즉 aRb에 의해 정점 'b'에 연결되면 정점 'b'가 정점 'a' 위에 나타납니다. 따라서 하세다이어그램에서는 모서리 부분에서 화살표를 생략할 수 있다.
Hasse 다이어그램은 부분 순서의 방향 그래프보다 훨씬 간단합니다.
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예: 집합 A = {4, 5, 6, 7}을 생각해 보세요. R을 A에 대한 관계 ≤로 설정합니다. 방향 그래프와 R의 Hasse 다이어그램을 그립니다.
해결책: 집합 A의 관계 ≤는 다음과 같이 주어진다.
R = {{4, 5}, {4, 6}, {4, 7}, {5, 6}, {5, 7}, {6, 7}, {4, 4}, {5, 5} , {6, 6}, {7, 7}}
관계 R의 방향 그래프는 그림과 같습니다.
부분 순서의 Hasse 다이어그램을 그리려면 다음 사항을 적용하십시오.
- 반사 속성에 의해 암시된 모든 가장자리를 삭제합니다. 즉,
(4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7) - 전이적 속성에 의해 암시된 모든 가장자리를 삭제합니다. 즉,
(4, 7), (5, 7), (4, 6) - 정점을 나타내는 원을 점으로 바꿉니다.
- 화살표는 생략하세요.
Hasse 다이어그램은 그림과 같습니다.
상한: B를 부분적으로 정렬된 집합 A의 부분 집합이라고 생각합니다. 모든 y ∈ B에 대해 y ≤ x인 경우 요소 x ∈ A를 B의 상한이라고 합니다.
하한: B를 부분적으로 정렬된 집합 A의 부분 집합이라고 생각합니다. 모든 x ∈ B에 대해 z ≤ x인 경우 요소 z ∈ A를 B의 하한이라고 합니다.
예: 그림에 표시된 포즈 A = {a, b, c, d, e, f, g}를 고려하십시오. 또한 B = {c, d, e}로 둡니다. B의 상한과 하한을 결정합니다.
해결책: B의 모든 요소가 e, f, g이기 때문에 B의 상한은 e, f, g입니다.
B의 하한은 a와 b입니다. 왜냐하면 a와 b는 B의 모든 요소에 '≤'이기 때문입니다.
최소 상한(SUPREMUM):
A를 부분적으로 정렬된 집합 S의 부분 집합으로 둡니다. M이 A의 모든 요소에 성공하면 S의 요소 M을 A의 상한이라고 합니다. 즉, A의 모든 x에 대해 x가 있는 경우입니다.<=m< p>
A의 상한이 A의 다른 모든 상한보다 앞에 있으면 이를 A의 상한이라고 하며 Sup(A)로 표시됩니다.
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최대 하한(INFIMUM):
포셋 S의 요소 m은 m이 A의 모든 요소보다 앞에 있는 경우, 즉 A의 모든 y에 대해 m이 있는 경우 S의 부분 집합 A의 하한이라고 합니다.<=y < p>
A의 하한이 A의 다른 모든 하한에 이어지면 이를 A의 하한이라고 하며 Inf(A)로 표시합니다.
예: Hasse 다이어그램이 그림에 표시된 포셋의 B = {a, b, c}(존재하는 경우)의 최소 상한과 최대 하한을 결정합니다.
해결책: 최소 상한은 c입니다.
가장 큰 하한은 k입니다.