부품별 통합: 부분적분은 두 함수의 곱의 적분을 찾기 위해 미적분학에서 사용되는 기술입니다. 이는 본질적으로 차별화를 위한 제품 규칙을 뒤집은 것입니다.

기능을 통합하는 것이 항상 쉬운 것은 아닙니다. 이 경우 두 기능의 두 곱을 사용하는 부분 개념에 의한 통합을 사용해야 하는 통합을 찾아야 하는 경우 두 개 이상의 기능의 배수인 기능을 통합해야 합니다. 통합을 찾는 방법을 알려줍니다.

이제 자세히 알아보겠습니다. 이 기사에서는 부품별 통합, 공식, 파생 등을 자세히 설명합니다.

부분 통합이란 무엇입니까?

부분적분은 일반적인 기법으로는 적분을 수행할 수 없는 두 개 이상의 기능의 곱의 적분을 찾는 데 사용되는 기법입니다. 두 개의 함수 f(x)와 g(x)가 있고 그 곱의 적분을 찾아야 한다고 가정합니다. 즉, 이 곱의 곱을 더 이상 풀 수 없는 ∫ f(x).g(x) dx입니다. f(x).g(x).

이 통합은 다음 공식을 사용하여 달성됩니다.

∫ f(x).g(x) dx = f(x) ∫ g(x) d(x) – ∫ [f'(x) {∫g(x) dx} dx] dx + c

여기서 f'(x)는 f(x)의 첫 번째 미분입니다.

파일 리눅스 수정

이 공식은 다음과 같이 읽습니다.

첫 번째 함수의 적분에 두 번째 함수를 곱한 것은 (첫 번째 함수)에 (두 번째 함수의 적분) – 적분(첫 번째 함수의 미분과 두 번째 함수의 적분)을 곱한 것과 같습니다.

위 공식에서 우리는 첫 번째 함수와 두 번째 함수를 선택하는 것이 이 공식의 성공에 매우 중요하다는 것을 쉽게 알 수 있으며 첫 번째 함수와 두 번째 함수를 선택하는 방법은 이 기사에서 자세히 설명합니다.

부분 통합이란 무엇입니까?

부분 적분이라고도 알려진 부분 적분은 두 함수의 곱의 적분을 평가하기 위해 미적분학에서 사용되는 기술입니다. 부분 적분 공식은 다음과 같습니다.

∫ u dv = uv – ∫ v du

여기서 u와 v는 x의 미분 가능한 함수입니다. 이 공식을 사용하면 곱을 두 개의 더 간단한 적분으로 분해하여 적분을 단순화할 수 있습니다. 아이디어는 오른쪽의 새로운 적분이 왼쪽의 원래 적분보다 평가하기 쉽도록 u와 dv를 선택하는 것입니다. 이 기술은 단순한 역도함수가 없는 함수의 곱을 처리할 때 특히 유용합니다.

부분통합의 역사

부분별 적분 개념은 유명한 브룩 테일러(Brook Taylor)가 1715년 그의 저서에서 처음 제안했습니다. 그는 미분 공식이 존재하는 두 함수의 곱의 적분을 찾을 수 있다고 썼습니다. 일부 중요한 기능에는 통합 공식이 없으며 두 기능의 곱으로 참여하여 통합을 사용하여 통합이 이루어집니다. 예를 들어, ∫ln x dx는 일반적인 적분 기법을 사용하여 계산할 수 없습니다. 그러나 우리는 이를 부분적분 기법을 사용하여 두 함수, 즉 ∫1.ln x dx의 곱으로 간주하여 적분할 수 있습니다.

부품 공식에 의한 통합

부품별 적분 공식은 두 개 이상의 기능의 곱을 통합하는 데 도움이 되는 공식입니다. 두 함수의 곱을 다음과 같이 통합해야 한다고 가정합니다.

∫u.v dx

여기서 u와 v는 x의 함수이고, 이는 다음을 사용하여 달성할 수 있습니다.

∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u' {∫v dx} dx] dx + c

First 함수와 Second 함수를 선택하는 순서는 매우 중요하며, 첫 번째 함수와 두 번째 함수를 찾는 경우에 대부분 사용되는 개념이 ILATE 개념이다.

위 공식과 ILATE 개념을 사용하면 두 함수의 곱의 통합을 쉽게 찾을 수 있습니다. 부품별 통합 공식은 아래 이미지와 같습니다.

부품별 통합 공식 도출

부품별 적분 공식은 제품 차별화 규칙을 사용하여 파생됩니다. 두 가지 기능이 있다고 가정합니다. ~에 그리고 ~에 그리고 x 그들의 곱의 미분은 공식을 사용하여 달성됩니다.

d/dx(uv) = u(dv/dx) + v(du/dx)

이제 미분의 곱 규칙을 사용하여 부분별 적분 공식을 도출해 보겠습니다.

용어 재정렬

u(dv/dx) = d/dx(uv) - v(du/dx)

x에 대해 양변을 적분하면,

∫ u (dv/dx) (dx) = ∫ d/dx (uv) dx – ∫ v (du/dx) dx

단순화,

∫ u dv = uv – ∫ v du

따라서 부분별 적분 공식이 도출됩니다.

ILATE 규칙

ILATE 규칙은 두 함수의 곱의 통합을 해결하면서 첫 번째 함수와 두 번째 함수를 선택하는 방법을 알려줍니다. xu와 v라는 두 가지 함수가 있고 해당 제품의 통합을 찾아야 한다고 가정한 다음 첫 번째 함수와 ILATE 규칙을 선택합니다.

ILATE 전체 형식은 아래 이미지에서 설명합니다.

부분 통합의 ILATE 규칙

ILATE 규칙은 첫 번째 함수를 취하는 계층 구조를 제공합니다. 즉, 주어진 함수 곱에서 한 함수는 로그 함수이고 다른 함수는 삼각 함수인 경우입니다. 이제 ILATE 규칙의 계층 구조에서 마찬가지로 로그 함수를 첫 번째 함수로 사용하고 그에 따라 첫 번째 함수와 두 번째 함수를 선택합니다.

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메모: ILATE 규칙을 사용하는 것이 항상 적절한 것은 아닙니다. 때로는 다른 규칙도 첫 번째 함수와 두 번째 함수를 찾는 데 사용됩니다.

부품별로 통합을 찾는 방법은 무엇입니까?

부분 적분은 두 기능의 곱의 적분을 찾는 데 사용됩니다. 아래에 설명된 단계를 사용하여 이를 달성할 수 있습니다.

∫uv dx를 단순화해야 한다고 가정합니다.

1 단계: ILATE 규칙에 따라 첫 번째와 두 번째 기능을 선택합니다. u를 첫 번째 함수로 사용하고 v를 두 번째 함수로 사용한다고 가정합니다.

2 단계: x에 대해 u(x)를 미분하면 다음과 같습니다. du/dx를 평가합니다.

3단계: x에 대해 v(x)를 적분하면, 즉, ∫v dx를 평가합니다.

1단계와 2단계에서 얻은 결과를 공식에 사용합니다.

∫uv dx = u∫v dx − ∫((du/dx)∫v dx) dx

4단계: 필요한 통합을 얻으려면 위 공식을 단순화하십시오.

부품별 반복 통합

부분별 반복 적분은 미적분학의 부분별 적분 기법을 확장한 것입니다. 역도함수를 찾기 위해 여러 번 적분이 필요한 함수의 곱이 있을 때 사용됩니다. 이 프로세스에는 결과 적분을 평가하기 쉽거나 알려진 형식을 갖는 지점에 도달할 때까지 부분별 적분 공식을 반복적으로 적용하는 작업이 포함됩니다.

이 공식을 반복적으로 적용할 때 두 함수의 곱을 포함하는 적분으로 시작한 다음 부분별로 적분을 적용하여 더 간단한 적분으로 분해합니다. 그런 다음 추가 응용 프로그램이 필요하지 않거나 적분을 관리할 수 있게 되는 지점에 도달할 때까지 결과 적분에 대해 이 프로세스를 계속합니다.

다음은 부품별 반복 통합이 어떻게 작동하는지에 대한 단계별 예입니다.

1. 두 함수의 적분으로 시작합니다: ∫ u dv.
2. 부품별 적분 공식을 적용하여 다음을 얻습니다: uv – ∫ v du.
3. 오른쪽에서 얻은 새 적분이 여전히 함수의 곱을 포함하는 경우 부분별 적분을 다시 적용하여 더 세분화합니다.
4. 쉽게 평가할 수 있는 더 간단한 적분이나 알려진 적분 형식과 일치하는 적분을 얻을 때까지 이 과정을 계속합니다.

부품별 테이블 형식 통합

테이블 형식 통합 방법 또는 테이블 형식 통합 방법으로도 알려진 테이블 형식 통합은 부분별 통합을 반복적으로 적용하는 적분을 평가하기 위한 대체 기술입니다. 이 방법은 함수 곱을 여러 번 적분하여 간단한 결과를 얻을 수 있는 적분을 처리할 때 특히 유용합니다.

테이블 형식 방법은 부품 프로세스별로 반복되는 적분을 테이블로 구성하므로 용어를 쉽게 추적하고 적분을 효율적으로 단순화할 수 있습니다. 표 형식 방법의 작동 방식은 다음과 같습니다.

1. 적분에 관련된 함수를 두 열에 적는 것으로 시작합니다. 하나는 미분 함수(u)이고 다른 하나는 적분 함수(dv)입니다.
   • 왼쪽 열의 적분(dv) 함수부터 시작하고 오른쪽 열의 미분(u) 함수부터 시작하세요.
2. 0이나 상수에 도달할 때까지 u 열의 함수를 계속 미분합니다. 각 단계에서 추가 통합이 필요하지 않은 지점에 도달할 때까지 dv 열의 함수를 통합합니다.
3. 항을 대각선으로 곱하고 각 항의 부호(+ 및 -)를 번갈아 사용합니다. 통합 결과를 찾으려면 이러한 제품을 요약하세요.

다음은 테이블 형식 통합 방법 :

적분 ∫x sin(x) dx를 계산해 봅시다.

• 1 단계: u(미분 함수)와 dv(적분 함수)에 대한 두 개의 열이 있는 테이블을 만듭니다.

• 2 단계: u 열의 함수를 미분하고 dv 열의 함수를 통합합니다.

• 3단계: 항을 대각선으로 곱하고 부호를 교대로 곱합니다.

(x)(-cos(x)) – (1)(-sin(x)) + (0)(cos(x)) = -x cos(x) + sin(x)

따라서 적분 ∫x의 결과는 sin(x) dx는 -x입니다. cos(x) + 죄(x).

테이블 형식 적분 방법은 미분 또는 적분 시 반복되는 함수가 포함된 적분을 처리할 때 특히 유용하며, 역도함수를 찾는 체계적이고 체계적인 접근 방식을 허용합니다.

부품 통합의 응용

부분별 적분은 적분 미적분학에서 다양한 응용이 가능하며 일반적인 적분 기술이 실패하는 함수의 적분을 찾는 데 사용됩니다. 부분별 적분 개념을 사용하면 역함수와 로그 함수의 적분을 쉽게 찾을 수 있습니다.

부분적분법을 이용하여 Logarithmic function과 Arctan function의 Integration을 찾아보겠습니다.

로그 함수의 적분(log x)

역로그 함수(log x)의 적분은 부품별 적분 공식을 사용하여 달성됩니다. 통합에 대해서는 아래에서 설명합니다.

∫ logx.dx = ∫ logx.1.dx

로그 x를 첫 번째 함수로, 1을 두 번째 함수로 사용합니다.

∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u' {∫v dx} dx] dx 사용

⇒ ∫ logx.1.dx = logx. ∫1.dx – ∫ ((logx)'.∫ 1.dx).dx

⇒ ∫ logx.1.dx = logx.x -∫ (1/x .x).dx

⇒ ∫ logx.1.dx = xlogx – ∫ 1.dx

⇒ ∫ logx.dx = x logx – x + C

이는 로그 함수의 필수 통합입니다.

역삼각함수 적분(tan^-1엑스)

역삼각함수 적분(tan^-1x)는 부품별 통합 공식을 사용하여 달성됩니다. 통합에 대해서는 아래에서 설명합니다.

∫ 그래서^-1x.dx = ∫tan^-1x.1.dx

태닝을 하는 중^-1x는 첫 번째 함수이고 1은 두 번째 함수입니다.

∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u' {∫v dx} dx] dx 사용

⇒ ∫탄^-1x.1.dx = 황갈색^-1x.∫1.dx – ∫((황갈색^-1x)'.∫ 1.dx).dx

⇒ ∫탄^-1x.1.dx = 황갈색^-1엑스. x – ∫(1/(1 + x²).x).dx

⇒ ∫탄^-1x.1.dx = x. 그래서^-1x – ∫ 2x/(2(1 + x²)).dx

⇒ ∫탄^-1x.dx = x. 그래서^-1x – ½.log(1 + x2) + C

역삼각함수의 필수 통합입니다.

부분 통합의 실제 적용

부분 통합의 일반적인 실제 적용 사례는 다음과 같습니다.

• 역도함수 찾기
  • 공학 및 물리학에서는 부분 적분을 사용하여 물리량을 나타내는 함수의 역도함수를 찾습니다. 예를 들어 역학에서는 힘과 가속도 방정식으로부터 운동 방정식을 도출하는 데 사용됩니다.
• 월리스 제품
  • 파이의 무한 곱 표현인 월리스 곱은 부분 적분 기법을 사용하여 파생될 수 있습니다. 이 제품은 정수론, 확률론, 신호 처리 등의 분야에 응용됩니다.
• 감마 함수 항등성
  • 계승 함수를 복소수로 확장하는 감마 함수는 수학, 물리학, 공학 분야에서 다양하게 응용됩니다. 부분 적분은 확률 이론, 통계 역학, 양자 역학과 같은 분야에서 중요한 감마 함수와 관련된 항등식을 증명하는 데 사용됩니다.
• 조화 분석에 사용
  • 부분 통합은 조화 분석, 특히 푸리에 분석에서 중요한 역할을 합니다. 이는 컨볼루션 정리 및 푸리에 급수의 특성과 같은 푸리에 변환의 특성을 유도하는 데 사용됩니다. 이러한 결과는 신호 처리, 이미지 분석, 통신 등의 분야에 적용됩니다.

부품 공식에 의한 통합

부품별 통합 개념을 이용하여 다양한 기능의 통합을 도출할 수 있습니다. 이 기술을 사용하여 파생된 중요한 공식 중 일부는 다음과 같습니다.

• ∫ 그리고^엑스(f(x) + f'(x)).dx = e^엑스에프엑스(x) + 씨
• ∫√(x²+ 에²).dx = ½ . x.√(x²+ 에²)+ 에²/2. 로그|x + √(x²+ 에²)| + C
• ∫√(x²- ㅏ²).dx =½ . x.√(x²- ㅏ²) - ㅏ²/2. 로그|x +√(x²- ㅏ²) | 씨
• ∫√(a²– 엑스²).dx = ½ . x.√(a²– 엑스²) + 에²/2. 없이^-1x/a + C

부품별 통합 예

예 1: ∫ e 찾기 ^엑스 xdx.

해결책:

I = ∫ e라고 하자^엑스xdx

char를 문자열로 변환 java

ILATE 규칙을 사용하여 u와 v 선택

당신 = x
v = 전자^엑스

당신을 차별화

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(x)/dx

⇒ u'(x) = 1

∫v dx = ∫e^엑스dx = 전자^엑스

리눅스 파일 시스템이란 무엇인가

부품별 통합 공식을 사용하면,

⇒ 나 = ∫ 전자^엑스xdx

⇒ 나 = x ∫e^엑스dx − ∫1 (∫ e^엑스dx) dx

⇒ 나 = xe^엑스- 그리고^엑스+ C

⇒ 나 = 전자^엑스(x − 1) + C

예 2: ∫ x sin x dx를 계산합니다.

해결책:

I = ∫ x sin x dx라고 하자

ILATE 규칙을 사용하여 u와 v 선택

당신 = x
v = 죄 x

당신을 차별화

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(x)/dx

⇒ u'(x) = 1

부품별 통합 공식을 사용하면,

⇒ 나는 = ∫ x 죄 x dx

⇒ I = x ∫sin x dx − ∫1 ∫(sin x dx) dx

⇒ I = − x cos x − ∫− cos x dx

⇒ I = − x cos x + 죄 x + C

예 3: ∫ 죄 찾기 ^-1 xdx.

해결책:

내가= ∫ 죄를 짓자^-1xdx

⇒ 나 = ∫ 1.죄^-1xdx

ILATE 규칙을 사용하여 u와 v 선택

너 = 죄^-1엑스
v = 1

당신을 차별화

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(죄^-1x )/dx

⇒ u'(x) = 1/√(1 − x²)

부품별 통합 공식을 사용하면,

⇒ 나 = ∫ 죄^-1xdx

⇒ 나 = 없음^-1x ∫ 1 dx − ∫ 1/√(1 − x²) ∫(1dx)dx

⇒ 나 = x 죄^-1x − ∫( x/√(1 − x²) )dx

t = 1 − x라고 하자²

양쪽을 구별하기

퀵소트

dt = −2x dx

⇒ -dt/2 = xdx

⇒ 나 = ∫ 죄^-1x dx = x 죄^-1x − ∫−(1/2√t ) dt

⇒ 나 = x 죄^-1x + 1/2∫t^-1/2dt

⇒ 나 = x 죄^-1x + 티^1/2+ C

⇒ 나 = x 죄^-1x + √(1 − x²) + C

부분적분에 관한 연습문제

1. xe 통합 ^엑스

2. x sin(x) 적분

3. x를 통합한다 ² ln(x)

4. 전자를 통합하다 ^엑스 왜냐하면(x)

5. ln(x) 적분

부품별 통합에 대한 FAQ

부분통합이란?

부분별 통합은 일반적인 통합 기술이 실패하는 두 기능의 곱의 통합을 찾는 기술입니다. 부품 공식에 의한 통합은,

∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u' {∫v dx} dx] dx + c

부품식 통합이란 무엇입니까?

두 함수 f(x)와 g(x)에 대해 부분별 적분 공식은 다음과 같습니다.

∫ f(x).g(x) dx = f(x) ∫ g(x) d(x) – ∫ [f'(x) {∫g(x) dx} dx] dx + c

어디 에프'(엑스) f(x)의 미분입니다.

부품 공식으로 통합을 도출하는 방법은 무엇입니까?

부품 공식에 의한 통합은 제품 차별화 규칙을 사용하여 파생됩니다.

부품별 통합 공식을 사용하는 이유는 무엇입니까?

부분적분 공식은 일반적인 미분 기법이 실패할 때 함수의 적분을 찾는 데 사용됩니다. 역삼각함수와 로그함수의 적분을 부품별 적분 공식을 이용하여 구할 수 있습니다.

부분 통합의 적용은 무엇입니까?

부분적 통합은 다양한 응용이 있는데, 그 기본적인 응용은 더 이상 단순화할 수 없는 기능의 곱으로 함수를 부여할 때 그 기능의 통합을 찾는데 사용된다는 것이다. 예를 들어 ∫ f(x).g(x) dx는 부분별 적분을 사용하여 달성됩니다.