부정을 이해하려면 먼저 다음과 같이 설명되는 진술을 이해해야 합니다.
진술은 감탄사, 명령, 질문이 아닌 문장으로 설명할 수 있습니다. 진술은 항상 거짓이거나 항상 참인 경우에만 허용됩니다. 때때로 우리는 주어진 수학적 진술의 반대를 알고 싶을 때가 있습니다. 이 경우 부정이 사용됩니다. 따라서 진술의 부정은 주어진 진술의 반대라고 설명할 수 있습니다.
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부정
이산 수학에서 부정은 주어진 수학적 진술의 반대를 결정하는 과정으로 설명될 수 있습니다. 예를 들어: 주어진 진술이 '크리스틴은 개를 좋아하지 않는다'라고 가정해보자. 그러면 이 진술의 부정은 '크리스틴은 개를 좋아한다'는 진술이 될 것이다. 명제 X가 있으면 이 명제의 부정은 ~X가 됩니다. 부정을 나타내는 데 '~' 또는 '¬' 기호가 사용됩니다. 그러므로 만약 우리가 참인 명제가 있다면, 이 명제의 부정은 거짓이 될 것입니다. 이와 대조적으로, 거짓인 명제가 있다면, 이 명제의 부정은 참이 될 것입니다.
즉, 부정은 어떤 것을 거부하거나 거부하는 것으로 설명할 수 있습니다. 만약 당신의 여동생이 당신을 거짓말쟁이라고 생각하는데 당신은 그렇지 않다고 말한다면, 이 말은 부정이 될 것입니다. '나는 내 아내를 죽이지 않는다', '나는 그 여자의 이름을 모른다'와 같은 다른 부정문도 있을 수 있다. 특정 명제의 반대 의미를 찾으려고 할 때 부정을 삽입하면 쉽게 이를 수행할 수 있습니다. 부정의 단어에는 'not', 'no', 'never'가 있습니다. 예를 들어 , '나는 놀고 있지 않다'라고 말하는 것만으로 '나는 놀고 있다'라는 진술과 반대되는 말을 할 수 있습니다.
부정된 진술을 부정하면 일반 진술이 원래 진술이 됩니다. 우리는 다음과 같이 설명되는 예를 통해 이 개념을 이해할 것입니다.
- 여기서는 X로 표현되는 '인도의 인구는 매우 크다'라는 명제를 가정하겠습니다.
- 따라서 주어진 명제의 부정은 ~X로 표시되는 '인도의 인구는 그다지 크지 않습니다'가 됩니다.
- 위 부정문의 부정문은 ~(~X)로 표현되는 '인도의 인구는 매우 크다'가 될 것입니다.
따라서 부정 명제의 부정이 주어진 원래 명제가 될 것임을 증명한다.
부정문을 얻는 규칙
명제의 부정을 얻는 데는 다음과 같은 다양한 규칙이 있습니다.
먼저, 주어진 진술을 'not'이라는 단어로 작성해야 합니다. 예를 들어 , 3과 5의 곱셈은 15입니다. 주어진 명제의 부정은 '3과 5의 곱셈은 15가 아닙니다'입니다.
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'모두'와 '일부'가 포함된 이러한 유형의 진술이 있는 경우 적절하게 수정해야 합니다. 예를 들어: '어떤 사람들은 종교적이지 않습니다'. 이 진술의 부정은 '모든 사람은 종교적이다'이다.
X 또는 Y의 부정
이를 위해 '우리는 바니아이거나 건강하다'라는 진술을 가정하겠습니다. 우리가 바니아가 될 수 없고 건강할 수 없다면 이 진술은 거짓이 될 것입니다. 이 진술의 반대는 Bania도 아니고 Healthy도 아니라는 것입니다. 또는 이 진술을 원래 진술의 형태로 다시 작성하려면 '우리는 바니아도 아니고 건강하지도 않습니다'가 됩니다.
'We are Bania'라는 진술을 X로 가정하고 'We are Healthy'라는 진술을 Y로 가정하면 X와 Y의 부정은 'Not X and Not Y'가 됩니다.
일반적으로 우리는 또한 같은 진술을 얻게 될 것입니다. 즉, X와 Y의 부정은 'X와 Y가 아님'이라는 진술입니다.
X와 Y의 부정
여기서도 이를 이해하기 위해 예를 들어보겠습니다. 이를 위해 '우리는 바니아이고 건강하다'라는 진술을 가정하겠습니다. 우리가 Bania가 아니거나 Healthy가 아닐 수 있다면 이 진술은 거짓이 될 것입니다. '우리는 바니아입니다'라는 진술을 X로 가정하고 '우리는 건강합니다'라는 또 다른 진술을 Y로 가정하면 X와 Y의 부정은 '우리는 바니아가 아니거나 건강하지 않습니다' 또는 '우리는 건강하지 않습니다'라는 진술이 됩니다. X 아니면 Y 아님'.
'X라면 Y'의 부정
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X와 Y를 부정할 수 있도록 'If X, then Y'라는 진술 대신 'X and Not Y'라는 또 다른 진술을 사용할 수 있습니다. 처음에는 대체된 이 진술이 혼란스러워 보입니다. 이를 이해하기 위해 간단한 예를 들어 이것이 왜 옳은 일인지 이해하는 데 도움이 될 것입니다.
이를 위해 '우리가 바니아라면 건강한 것이다'라는 명제를 가정하겠습니다. 우리가 건강하지 않고 바니아여야 한다면 이 진술은 거짓이 될 것입니다. '우리는 바니아입니다'라는 진술을 X로 가정하고 '우리는 건강합니다'라는 또 다른 진술을 Y로 가정하면 X와 Y의 부정(X ⇒ Y)은 '우리는 바니아입니다' = X라는 진술이 되며, '우리는 건강하지 않다' = Y가 아니다. 결론적으로 'X라면 Y'의 부정은 'X이고 Y가 아니다'가 된다.
예를 들어: 이 예에서 우리는 수학의 진술을 고려할 것입니다. 따라서 우리는 '만약 n이 짝수이면 n/2는 정수이다'라는 명제를 가정할 것입니다. 이 진술이 거짓임을 보여주고 싶다면 n/2가 정수가 아닌 짝수 n을 결정해야 합니다. 따라서 'n은 짝수이고 n/2는 정수가 아니다'라는 진술은 주어진 진술의 반대라고 말할 수 있습니다.
'모든 ...'에 대한 부정, '존재한다...'
이산수학에서는 때때로 'for Every', 'for all', 'for any', 'There presents'와 같은 문구를 사용합니다.
이를 위해 '모든 정수 n에 대해 n은 짝수이거나 홀수이다'라는 진술을 가정합니다. 이 표현은 위에서 배운 다른 표현과 조금 다릅니다. 이 진술은 '만약 X이면 Y'라는 형식으로 설명할 수 있습니다. 위의 진술은 'n이 정수이면 n은 짝수이거나 홀수입니다'와 같이 바꿔 쓸 수 있습니다.
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이 진술의 반대/거짓을 결정하거나 이 진술을 부정하려면 짝수도 아니고 홀수도 아닌 정수를 결정해야 합니다. 이 명제를 다음과 같이 설명할 수 있는 다른 방법이 있습니다. '정수 n이 존재하므로 n은 짝수도 아니고 n도 홀수가 아닙니다.'
'for all', 'for Every'라는 문구와 관련된 진술을 부정하는 경우 이 문구는 '존재합니다'로 대체됩니다. 마찬가지로, '존재한다'라는 문구와 관련된 진술을 부정할 때 이 문구는 'for all', 'forever'로 대체됩니다.
예:
이 예에서는 '바니아 사람들이 모두 건강하다면 펀자브 사람들은 모두 날씬하다'라는 진술을 고려해 보겠습니다. 이를 이해하기 위해 '만약 모든 바니아 사람들이 건강하다면'이라는 진술을 X로 가정하고, '모든 펀잡인들이 말랐다면'이라는 진술을 Y로 가정하겠습니다. 우리는 이 진술을 'X라면 Y'라는 형식으로 가정하겠습니다. . 따라서 이 명제의 부정은 'Y가 아닌 X' 형식이 됩니다. 그래서 우리는 Y를 부정해야 한다고 말할 수 있습니다. 따라서 Y의 부정은 '말랐지 않은 펀잡인이 존재합니다'라는 진술이 될 것입니다.
이 진술들을 종합하면 '모든 바니아인이 건강하다면 모든 펀자브인은 마른다'라는 부정으로 '바니아인은 모두 건강하지만 날씬하지 않은 펀자브인이 존재한다'가 된다.