정규 분포: 정규 분포는 무작위 변수 분포의 가장 일반적이거나 정규 형태입니다. 따라서 이름은 정규 분포입니다. 그것은 또한 가우스 분포 통계 또는 확률. 우리는 이 분포를 사용하여 많은 수의 무작위 변수를 나타냅니다.

에 대해 알아봅시다 정규분포의 공식, 특성, 예시 등을 자세하게 설명합니다.

내용의 테이블

• 정규분포란 무엇입니까?
• 정규 분포의 예
• 정규분포 공식
• 정규분포곡선
• 정규분포 표준편차
• 정규분포 그래프
• 정규분포표
• 정규분포의 속성
• 통계의 정규분포
• 정규분포 문제와 해결책

정규분포란 무엇입니까?

우리는 정규 분포를 주어진 시스템에 대한 연속 확률 변수의 확률 밀도 함수로 정의합니다. 이제 정규 분포를 정의하기 위해 임의 변수 X에 대한 확률 밀도 함수로 f(x)를 사용한다고 가정합니다.

또한 함수는 구간 (x, {x + dx}) 사이에 적분되고,

f(x) ≥ 0 ∀ x ϵ (−무한대,+무한대),

_-무한대 ∫ ^{+ Infini} 에프(엑스) = 1

정규분포의 상위 값에 의해 추적되는 곡선이 종 모양임을 관찰합니다. 따라서 정규분포는 정규분포라고도 합니다. 벨 곡선 .

확인하다: Python – 통계의 정규 분포

정규 분포의 예

다음을 포함하는 다양한 유형의 데이터에 대해 정규 분포를 그릴 수 있습니다.

• 사람의 키 분포
• 모든 측정에서 오류 분포
• 환자의 혈압 분포 등

정규분포 공식

정규분포(Gaussian Distribution)의 확률밀도함수 공식은 아래와 같이 추가됩니다.

어디,

• x는 무작위 변수
• μ는 평균
• σ는 표준 편차

정규분포곡선

어떤 경우에도 정규 분포, 확률 변수는 분포와 관련하여 알 수 없는 값을 취하고 일반적으로 범위로 묶이는 변수입니다.

무작위 변수의 예는 다음과 같습니다. 학급 내 학생의 키 분포에 따라 확률 변수는 이 값에서 임의의 값을 가질 수 있습니다. 그러나 일반적으로 물리적으로 강제되기 때문에 2피트에서 6피트의 경계로 제한됩니다.

• 모든 범위 정규분포는 무한할 수 있습니다. 이 경우 정규분포는 범위에 영향을 받지 않는다고 말합니다. 이 경우 범위는 –무한대에서 +무한대까지 확장됩니다.
• 벨 곡선은 여전히 ​​존재합니다. 이 경우 해당 범위의 모든 변수를 연속 변수라고 합니다. 모든 값이 일반적으로 평균값에 맞춰 정렬되어 있으므로 해당 분포를 정규 분포라고 합니다.
• 그만큼 그래프 또는 이에 대한 곡선을 정규 분포 곡선 또는 정규 분포 그래프라고 합니다.

정규분포 표준편차

그래프로 퍼져 있는 모든 데이터의 평균은 그래프의 대칭선을 찾는 데 도움이 되는 반면, 표준 편차는 데이터가 양쪽 평균 값에서 얼마나 멀리 퍼져 있는지를 알려줍니다. 표준편차 값이 작을수록 그래프의 값은 가까워지고 그래프는 좁아집니다. 표준 편차 값이 높을수록 그래프의 값이 더 많이 분산되고 그래프가 더 넓어집니다.

표준편차의 경험적 법칙

일반적으로 정규분포는 양의 표준편차를 가지며, 표준편차는 정규곡선의 면적을 더 작은 부분으로 나누고, 각 부분은 특정 영역에 속하는 데이터의 비율을 정의합니다. 이를 정규분포의 표준편차 경험법칙이라고 합니다. .

경험적 규칙에 따르면,

• 데이터의 68%는 대략 평균의 1 표준편차 내에 속합니다. 즉, { 평균 - 1개의 표준편차, 평균 + 1개의 표준편차 }
• 데이터의 95%는 대략 평균의 두 표준편차 내에 속합니다. 즉, { 평균 - 2개의 표준편차, 평균 + 2개의 표준편차 }
• 데이터의 99.7%는 대략 평균의 세 번째 표준 편차 내에 속합니다. 즉, { 평균 - 세 번째 표준 편차 및 평균 + 세 번째 표준 편차 }

정규분포 그래프

공부하는 그래프를 보면 경험적 규칙을 사용하여 데이터를 세 부분으로 광범위하게 배포한다는 것이 분명합니다. 따라서 경험적 규칙은 68 – 95 – 99.7 규칙이라고도 합니다.

확인하다: 수학 | 확률 분포 세트 3(정규 분포)

정규분포표

정규분포 Z 테이블이라고도 불리는 정규분포 테이블은 정규분포에 대한 z값을 나타내는 테이블입니다. 이 정규 분포 Z 테이블은 다음과 같이 제공됩니다.

e-r 모델 다이어그램

정규분포의 속성

정규 분포의 몇 가지 중요한 속성은 다음과 같습니다.

• 데이터의 정규 분포의 경우 평균, 중앙값, 최빈값은 동일합니다(즉, 평균 = 중앙값 = 모드).
• 정규 분포 곡선 아래의 전체 면적은 1과 같습니다.
• 정규 분포 곡선은 평균을 따라 중앙에서 대칭입니다.
• 정규 분포 곡선에서는 중앙 값의 오른쪽에 정확히 절반 값이 있고 중앙 값의 오른쪽에 정확히 절반 값이 있습니다.
• 정규분포는 평균과 표준편차의 값을 사용하여 정의됩니다.

• 정규 분포 곡선은 단봉 곡선, 즉 피크가 하나만 있는 곡선입니다.

사람들은 또한 본다:

• 포아송 분포
• 이항 분포
• 확률 분포

통계의 정규분포

• 가우스 분포라고도 알려진 정규 분포 는 수많은 실제 현상을 설명하는 종 모양의 곡선 . 이는 많은 연구 분야에서 나타나기 때문에 통계에서 가장 중요한 개념 중 하나입니다.
• 종 모양의 곡선 : 가운데가 가장 높은 지점이고 꼬리가 양쪽으로 점점 가늘어지는 대칭형 종을 상상해 보십시오. 이것이 정규분포의 기본 형태입니다. 대부분의 데이터 포인트는 중심 주위에 모여 있으며, 중심에서 멀어질수록 데이터 포인트의 빈도는 줄어듭니다.
• 중심 경향: 종형 곡선의 중심은 데이터의 중심 경향을 나타냅니다. 즉, 대부분의 값이 어디에 집중되어 있는지를 나타냅니다. 이는 특정 데이터 세트에 따라 평균, 중앙값 또는 모드일 수 있습니다.
• 데이터 확산: 종형 곡선의 너비는 데이터가 얼마나 퍼져 있는지를 나타냅니다. 곡선이 넓을수록 데이터 포인트가 더 분산되어 있음을 의미하고, 곡선이 좁을수록 데이터 포인트가 서로 더 가깝다는 것을 의미합니다.
• 무작위 변수: 정규 분포는 일반적으로 특정 범위 내의 모든 값을 취할 수 있는 연속 무작위 변수와 함께 사용됩니다. 예로는 키, 몸무게, IQ 점수, 시험 성적 등이 있습니다.

확인하다 : 비즈니스 통계의 정규 분포

정규분포 문제와 해결책

정규분포의 몇 가지 문제를 해결해 보겠습니다.

예 1: 다음 데이터의 정규 분포의 확률 밀도 함수를 구합니다. x = 2, μ = 3 및 σ = 4.

해결책:

주어진,

• 변수(x) = 2
• 평균 = 3
• 표준편차 = 4

정규분포의 확률밀도 공식을 이용하여

f(x,mu , sigma ) =frac{1}{sigma sqrt{2pi }}e^frac{-(x-mu)^2}{2sigma^{2}}

단순화,

f(2, 3, 4) = 0.09666703

예시 2: 확률변수의 값이 4, 평균이 4, 표준편차가 3인 경우 가우스 분포의 확률밀도함수를 구합니다.

해결책:

주어진,

• 변수(x) = 4
• 평균 = 4
• 표준편차 = 3

정규분포의 확률밀도 공식을 이용하여

f(x,mu , sigma ) =frac{1}{sigma sqrt{2pi }}e^frac{-(x-mu)^2}{2sigma^{2}}

단순화,

f(4, 4, 3) = 1/(3√2π)e⁰

f(4, 4, 3) = 0.13301

결론 - 정규분포

가우스 분포라고도 알려진 정규 분포는 통계 및 확률 이론의 기본 개념입니다. 평균을 중심으로 대칭을 이루는 종 모양의 곡선이 특징입니다. 평균 및 표준 편차와 같은 정규 분포의 속성은 많은 통계 분석 및 응용에서 중요한 역할을 합니다. 정규분포는 금융, 공학, 자연과학, 사회과학 등의 분야에서 광범위한 현상을 모델링하고 분석하는 데 널리 사용됩니다. 정규 분포를 이해하면 데이터를 더 잘 해석하고, 확률을 추정하고, 통계적 추론을 기반으로 현명한 결정을 내릴 수 있습니다.

정규 분포에 대한 FAQ

정규분포란 무엇입니까?

통계에서 정규분포는 평균을 기준으로 대칭인 확률 분포로, 평균에 가까운 데이터가 평균에서 멀리 있는 데이터보다 발생 빈도가 더 높다는 것을 나타냅니다.

정규분포를 정규분포라고 부르는 이유는 무엇입니까?

가우시안 분포(Gaussian Distribution)라고도 불리는 정규 분포(Normal Distribution)는 다양한 자연 과정이 일반적으로 가우스 분포(Gaussian distribution)를 따르므로 정규 분포(Normal Distribution)라는 이름이 붙기 때문에 정규라고 불립니다.

정규분포 그래프란 무엇입니까?

가우스 분포 또는 종형 곡선이라고도 알려진 정규 분포 그래프는 특정 유형의 확률 분포입니다. 그래프에 표시할 때 대칭적인 종 모양의 곡선이 특징입니다.

정규분포 Z 테이블이란 무엇입니까?

표준 정규 분포 테이블 또는 Z-점수 테이블이라고도 알려진 Z 테이블은 표준 정규 분포의 특정 값과 관련된 확률을 찾기 위해 통계에 사용되는 참조 테이블입니다.

정규분포의 특징은 무엇입니까?

정규 분포의 속성은 다음과 같습니다.

예각

• 정규 분포 곡선은 평균을 기준으로 대칭입니다.
• 정규 분포는 본질적으로 단봉형입니다. 즉, 단일 피크 값을 갖습니다.
• 정규분포곡선은 항상 종 모양입니다.
• 정규 분포의 평균, 모드 및 중앙값 항상 동일합니다.
• 정규 분포는 경험적 규칙을 따릅니다.

정규분포의 평균이란 무엇입니까?

평균(μ로 표시)은 데이터의 중앙값 또는 평균값을 나타냅니다. 이는 데이터가 대칭적으로 분포되는 지점이기도 합니다.

정규분포의 표준편차란 무엇입니까?

표준 편차(σ로 표시됨)는 분포에서 데이터 포인트의 확산 또는 분산을 측정합니다. σ가 작을수록 데이터 포인트가 평균 주위에 촘촘하게 밀집되어 있음을 나타내고, σ가 클수록 더 많이 퍼져 있음을 나타냅니다.

경험적 규칙(68-95-99.7 규칙)이란 무엇입니까?

정규 분포 상태에 대한 경험적 규칙,

• 데이터의 약 68%가 평균의 1표준편차 내에 속합니다.
• 약 95%가 평균의 두 표준편차 내에 속합니다.
• 약 99.7%가 평균의 3가지 표준편차 내에 속합니다.

정규 분포의 용도는 무엇입니까?

정규 분포의 다양한 용도는 다음과 같습니다.

• 다양한 자연현상을 연구하기 위해
• 금융 데이터를 연구합니다.
• 사회과학에서는 다양한 매개변수 등을 연구하고 예측합니다.

정규분포의 한계는 무엇입니까?

정규 분포는 매우 중요한 정적 개념이지만, 심지어 다음과 같은 몇 가지 제한 사항도 있습니다.

• 데이터의 다양한 분포는 정규분포를 따르지 않으므로 이러한 데이터에 대해 언급할 수 없습니다.
• 정규 분포 또는 종형 곡선에 너무 많이 의존하는 것은 100% 정확하지 않기 때문에 데이터를 예측하는 좋은 방법이 아닙니다.