술어 논리 - 이산 수학

Predicate Logic은 변수로 구성된 명제인 술어를 다룬다.

술어 논리 - 정의

술어는 특정 영역에서 결정된 하나 이상의 변수를 표현한 것입니다. 변수가 있는 술어는 변수에 값을 부여하거나 변수를 수량화하여 명제를 만들 수 있습니다.

다음은 술어의 몇 가지 예입니다.

수량자:

술어의 변수는 수량사에 의해 수량화됩니다. 술어 논리에는 존재 수량자(Existential Quantifier)와 범용 수량자(Universal Quantifier)라는 두 가지 유형의 수량자가 있습니다.

p(x)가 우주 U에 대한 명제라면, 이는 ∃x p(x)로 표시되고 '변수 x의 우주에는 p(x)가 참이 되는 값이 적어도 하나 이상 존재합니다'로 읽습니다. 수량자 ∃를 존재 수량자라고 합니다.

존재 수량자를 사용하여 명제를 작성하는 방법에는 여러 가지가 있습니다.

C의 배열 문자열

(∃x∈A)p(x) 또는 ∃x∈A는 p(x) 또는 (∃x)p(x) 또는 p(x)가 일부 x ∈A에 대해 참인 경우입니다.

p(x)가 우주 U에 대한 명제라면 ∀x,p(x)로 표시되고 '모든 x∈U,p(x)에 대해 참'이라고 읽습니다. 수량자 ∀를 범용 수량자라고 합니다.

보편적 수량자를 사용하여 명제를 작성하는 방법에는 여러 가지가 있습니다.

∀x∈A,p(x) 또는 p(x), ∀x ∈A 또는 ∀x,p(x) 또는 p(x)는 모든 x ∈A에 대해 참입니다.

포스트그레스의 직렬

양화된 명제를 부정하면, 즉 보편적으로 양화된 명제가 부정되면 실존적으로 양화된 명제가 획득되고, 존재적으로 양화된 명제가 부정되면 보편적으로 양화된 명제가 획득된다.

수량화된 명제의 부정에 대한 두 가지 규칙은 다음과 같습니다. 이는 드모건의 법칙(DeMorgan's Law)이라고도 합니다.

예: 다음 명제를 각각 부정합니다.

1.∀x p(x)∧ ∃ y q(y)

해: ~.∀x p(x)∧ ∃ y q(y))
≅~∀ x p(x)∨∼∃yq (y) (∴∼(p∧q)=∼p∨∼q)
≅ ∃ x ~p(x)∨∀y∼q(y)

2. (∃x∈U) (x+6=25)

해: ~( ∃ x∈U) (x+6=25)
≅∀ x∈U~ (x+6)=25
≅(∀ x∈U) (x+6)≠25

3. ~( ∃ x p(x)∨∀ y q(y)

해: ~( ∃ x p(x)∨∀ y q(y))
≅~∃ x p(x)∧~∀ y q(y) (∴~(p∨q)= ∼p∧∼q)
≅ ∀ x ∼ p(x)∧∃y~q(y))

하나 이상의 변수를 갖는 명제는 여러 수량자를 사용하여 수량화할 수 있습니다. 다중 보편적 한정사는 결과 명제의 의미를 변경하지 않고 임의의 순서로 배열될 수 있습니다. 또한, 다중 존재 수량사는 명제의 의미를 변경하지 않고 임의의 순서로 배열될 수 있습니다.

보편적 수량사와 실존적 수량자를 모두 포함하는 명제는 명제의 의미를 변경하지 않고는 이러한 수량자의 순서를 교환할 수 없습니다. 예를 들어 명제 ∃x ∀ y p(x,y)는 'p가 다음과 같은 x가 존재함'을 의미합니다. (x, y)는 모든 y에 대해 참입니다.'

예: 다음 각각에 대한 부정을 써 보세요. 결과 진술이 참인지 거짓인지 확인합니다. U = R이라고 가정합니다.

1.∀ x ∃ m(x²

해: ∀ x ∃ m(x의 부정²2≧m). ∃ x ∀ m (x²≧m)은 x와 같은 일부 x가 존재한다는 것입니다.²≧m, 매 m마다. x와 같은 더 큰 x가 있으므로 이 진술은 참입니다.²≧m, 매 m마다.

2. ∃ m∀ x(x²

해: ∃ m ∀ x (x)의 부정²2≧m). ∀m∃x(x)의 의미²≧m)은 모든 m에 대해 x와 같은 일부 x가 존재한다는 것입니다.²≧m. 이 진술은 모든 m에 대해 참입니다. x와 같은 더 큰 x가 존재합니다.²≧m.

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