비슷한 삼각형 모양은 같지만 크기가 다양할 수 있는 삼각형입니다. 닮음 삼각형은 대응하는 변이 서로 비례하고 대응 각도가 서로 같습니다. 비슷한 삼각형은 합동 삼각형과 다릅니다. 합동인 두 도형은 항상 유사하지만, 유사한 두 도형이 반드시 합동일 필요는 없습니다.

두 삼각형은 해당 각도가 일치하고 변이 비례할 때 유사한 것으로 간주됩니다. 즉, 비슷한 삼각형은 모양은 동일하지만 크기는 다를 수 있습니다. 반면, 삼각형은 모양이 동일할 뿐만 아니라 대응 변의 길이도 같을 때 합동이라고 정의됩니다.

이제 자세히 알아보겠습니다. 이 기사에서는 유사한 삼각형과 그 속성을 해결된 예 및 기타 사항과 함께 자세히 설명합니다.

내용의 테이블

• 비슷한 삼각형은 무엇입니까?
• 유사한 삼각형 정의
• 비슷한 삼각형의 예
• 기본 비례 정리(탈레스 정리)
• 유사한 삼각형 기준
• 유사한 삼각형 공식
• 기하학의 유사 삼각형 공식
• 유사한 삼각형 규칙
• 각도-각(AA) 또는 AAA 유사성 정리
• 측면-각-측 또는 SAS 유사성 정리
• 측면-측면 또는 SSS 유사성 정리
• 비슷한 삼각형을 찾는 방법?
• 비슷한 삼각형의 영역 - 정리
• 유사한 삼각형과 합동 삼각형의 차이점
• 유사한 삼각형의 응용
• 유사 삼각형에 대한 중요 참고 사항
• 유사한 삼각형에 대한 해결된 질문
• 연습 문제 유사 삼각형

유사한 것 삼각형?

유사 삼각형은 서로 비슷해 보이지만 크기가 다를 수 있는 삼각형입니다. 유사한 물체는 모양은 같지만 크기가 다릅니다. 이는 확대되거나 축소될 때 유사한 모양이 서로 겹쳐져야 함을 의미합니다. 유사한 모양의 이러한 특성은 다음과 같이 알려져 있습니다. 유사성 .

세 가지 유사한 삼각형 정리가 있습니다:

• AA(또는 AAA) 또는 각도-각도 유사성 정리
• SAS 또는 측면-측면 유사성 정리
• SSS 또는 측면-측면 유사성 정리

유사한 삼각형 정의

두 개의 삼각형을 대응 각도가 같고 대응 변의 비율이 같은 경우 유사 삼각형이라고 합니다. 두 개의 유사한 삼각형의 대응 각도는 동일해야 합니다. 닮음삼각형은 각 변의 길이가 다를 수 있지만, 대응하는 변의 길이의 비율은 같아야 합니다.

두 삼각형이 유사할 때 이는 다음을 의미합니다.

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• 삼각형의 해당 각도 쌍은 모두 동일합니다.
• 삼각형의 대응하는 변의 모든 쌍은 비례합니다.

상징물 ∼ 닮음삼각형 사이의 유사성을 나타내는 데 사용됩니다. 그래서 두 삼각형이 닮음이면 △ABC ∼ △DEF라고 씁니다.

비슷한 삼각형의 예

유사한 삼각형의 다양한 예는 다음과 같습니다:

• 변의 비율이 같은 두 개의 삼각형을 취하면 그 두 삼각형은 닮음삼각형입니다.
• 깃대와 그 그림자는 유사한 삼각형을 나타냅니다.

아래 이미지에 표시된 삼각형은 유사하며 이를 △ABC ∼ △PQR로 표현합니다.

기본 비례 정리(탈레스 정리)

탈레스의 정리라고도 알려진 기본 비례 정리는 삼각형의 유사성과 관련된 기하학의 기본 개념입니다. 삼각형의 한 변에 평행한 선을 그리면 나머지 두 변도 비례적으로 나누어진다는 뜻입니다. 간단히 말해서, 삼각형의 한 변에 평행한 선이 다른 두 변과 교차하면 해당 변을 비례적으로 나눕니다.

수학적으로, 선 DE가 삼각형 ABC의 한 변에 평행하게 그려지고 각각 점 D와 E에서 변 AB와 AC를 교차하면 기본 비례 정리에 따라:

BD/DA = CE/HER

이 정리는 평행선과 원래 삼각형의 변으로 형성된 삼각형의 유사성의 결과입니다. 특히 삼각형 ADE와 ABC는 물론 삼각형 ADC와 AEB도 해당 각도가 동일하기 때문에 유사합니다. 결과적으로, 닮음삼각형의 대응변의 비율은 동일하며, 기본 비례 정리에 의해 설명되는 비례 관계로 이어집니다.

기본 비례 정리는 평행선 및 삼각형과 관련된 다양한 문제를 해결하기 위해 기하학 및 삼각법에서 널리 사용됩니다. 이는 닮음삼각형의 성질과 그에 대응하는 변과 각 사이의 관계를 이해하는 데 기본 원리로 사용됩니다. 또한 평행선 정리와 다양한 기하학적 구성 및 증명의 응용과 같은 기하학의 고급 개념에 대한 기초를 형성합니다.

유사한 삼각형 기준

두 삼각형이 유사하다면 다음 규칙 중 하나를 충족해야 합니다.

• 대응하는 두 쌍의 각도는 동일합니다. (AA 규칙)
• 세 쌍의 대응변은 비례합니다. (SSS 규칙)
• 대응하는 두 쌍의 변은 비례하고 그 사이의 대응 각도는 동일합니다. (SAS 규칙)

자세히 읽어보세요: 유사 삼각형의 기준

유사한 삼각형 공식

마지막 섹션에서는 주어진 삼각형이 유사한지 여부를 확인할 수 있는 두 가지 조건을 연구했습니다. 조건은 두 삼각형이 유사할 때입니다. 해당 각도가 동일하거나 해당 변의 비율이 같습니다. 두 조건 중 하나를 사용하여 다음 유사 삼각형 공식 세트에서 △PQR과 △XYZ가 유사하다는 것을 증명할 수 있습니다.

기하학의 유사 삼각형 공식

△PQR과 △XYZ에서 if,

1. ∠P = ∠X, ∠Q = ∠Y, ∠R = ∠Z
2. PQ/XY = QR/YZ = RP/ZX

위의 두 삼각형은 유사하다. 즉, △PQR ∼ △XYZ이다.

유사한 삼각형 규칙

유사성 정리는 두 삼각형이 유사한지 여부를 찾는 데 도움이 됩니다. 각도나 삼각형의 변의 길이를 알 수 없을 때 유사성 정리를 사용합니다.

유사성 규칙에는 다음과 같이 세 가지 주요 유형이 있습니다.

• AA(또는 AAA) 또는 각도-각도 유사성 정리
• SAS 또는 측면-측면 유사성 정리
• SSS 또는 측면-측면 유사성 정리

각도-각(AA) 또는 AAA 유사성 정리

AA 유사성 기준은 삼각형의 임의의 두 각도가 다른 삼각형의 임의의 두 각도와 각각 같으면 유사 삼각형이어야 함을 나타냅니다. AA 유사성 규칙은 각도의 크기만 알고 삼각형의 변의 길이에 대해 전혀 모르는 경우 쉽게 적용됩니다.

아래 이미지에서 ∠B = ∠G, ∠C = ∠F라고 알려진 경우:

그리고 AA 유사성 기준에 따르면 △ABC와 △EGF는 유사하거나 △ABC ∼ △EGF라고 할 수 있다.

⇒AB/EG = BC/GF = AC/EF 및 ∠A = ∠E.

측면-각-측 또는 SAS 유사성 정리

SAS 유사성 정리에 따르면 첫 번째 삼각형의 두 변이 두 번째 삼각형의 두 변과 정확히 비례하고 개별 삼각형의 두 변이 이루는 각도가 동일하면 두 삼각형은 닮음 삼각형이어야 합니다. 이 규칙은 일반적으로 두 삼각형의 두 변의 크기와 두 변 사이에 형성된 각도만 알 때 적용됩니다.

아래 이미지에서 AB/DE = AC/DF, ∠A = ∠D라고 알려진 경우

그리고 SAS 유사성 기준에 따르면 △ABC와 △DEF는 유사하거나 △ABC ∼ △DEF라고 할 수 있다.

측면-측면 또는 SSS 유사성 정리

SSS 유사성 정리에 따르면 두 삼각형의 모든 변의 해당 비율이 동일하면 두 삼각형은 서로 유사합니다. 이 기준은 삼각형의 변의 크기만 알고 삼각형의 각도에 대한 정보가 적을 때 일반적으로 사용됩니다.

아래 이미지에서 PQ/ED = PR/EF = QR/DF라고 알려진 경우

그리고 SSS 유사성 기준에 따르면 △PQR과 △EDF는 유사하거나 △PQR ∼ △EDF라고 할 수 있다.

유사한 삼각형 속성

유사 삼각형은 다양한 기하학적 문제를 해결하는 데 널리 사용되는 다양한 특성을 가지고 있습니다. 유사한 삼각형의 일반적인 속성 중 일부는 다음과 같습니다.

• 비슷한 삼각형의 모양은 고정되어 있지만 크기는 다를 수 있습니다.
• 닮음삼각형의 대응각은 같습니다.
• 닮음삼각형의 대응변의 비율은 같습니다.
• 비슷한 삼각형의 면적 비율은 해당 변의 비율의 제곱과 같습니다.

비슷한 삼각형을 찾는 방법?

주어진 두 개의 삼각형은 위에서 주어진 정리를 사용하여 유사 삼각형으로 증명될 ​​수 있습니다. 주어진 삼각형이 유사한지 여부를 확인하려면 아래 단계를 수행할 수 있습니다.

1 단계: 삼각형의 주어진 치수(해당 변 또는 해당 각도)를 기록해 두십시오.

2 단계: 이러한 차원이 유사 삼각형 정리(AA, SSS, SAS)의 조건을 따르는지 확인하세요.

3단계 : 주어진 삼각형은 유사성 정리 중 하나라도 만족하면 유사성을 나타내는 ∼ 기호를 사용하여 나타낼 수 있습니다.

이는 다음 예를 통해 더 잘 이해할 수 있습니다.

예: △ABC와 △PQR이 닮음 삼각형인지 또는 주어진 데이터를 사용하여 확인하지 않습니다: ∠A = 65°, ∠B = 70° 및 ∠P = 70°, ∠R = 45°.

주어진 각도 측정을 사용하면 주어진 삼각형이 AA 유사성 기준을 따르는지 여부를 결론 내릴 수 없습니다. 세 번째 각도의 크기를 찾아 평가해 보겠습니다.

우리는 삼각형의 각도 합 속성을 사용하여 △ABC = 180° – (∠A + ∠B) = 180° – 135° = 45°의 ∠C라는 것을 알고 있습니다.

마찬가지로 △PQR의 ∠Q = 180° – (∠P + ∠R) = 180° – 115° = 65°

따라서 △ABC와 △PQR에서는 다음과 같은 결론을 내릴 수 있다.

∠A = ∠Q, ∠B = ∠P, ∠C = R

△ABC ∼ △QPR

비슷한 삼각형의 영역 - 정리

유사 삼각형 면적 정리는 두 개의 유사한 삼각형에 대해 삼각형 면적의 비율은 해당 변의 비율의 제곱에 비례한다고 말합니다. 두 개의 유사한 삼각형 ΔABC와 ΔPQR이 주어졌다고 가정합니다.

유사한 삼각형 정리에 따르면:

(ΔABC의 면적)/(ΔPQR의 면적) = (AB/PQ) ² = (BC/QR) ² = (CA/RP) ²

유사한 삼각형과 합동 삼각형의 차이점

유사 삼각형과 합동 삼각형은 다양한 문제를 해결하기 위해 기하학에서 널리 사용되는 두 가지 유형의 삼각형입니다. 각 유형의 삼각형에는 서로 다른 속성이 있으며 이들 간의 기본적인 차이점은 아래 표에 설명되어 있습니다.

세상에서 가장 아름다운 미소

유사한 삼각형의 응용

우리가 실생활에서 흔히 볼 수 있는 닮음삼각형의 다양한 응용은,

• 유사삼각형의 개념을 이용하여 다양한 물체의 그림자와 높이를 계산합니다.
• 맵 스케일링은 유사한 삼각형의 개념을 사용합니다.
• 사진 장치는 유사한 삼각형 속성을 사용하여 다양한 이미지를 캡처합니다.
• 모델 제작에서는 유사한 삼각형의 개념을 사용합니다.
• 탐색 및 삼각법은 유사 삼각형 접근 방식을 사용하여 다양한 문제 등을 해결합니다.

유사 삼각형에 대한 중요 참고 사항:

• 비슷한 삼각형의 넓이의 비율은 대응하는 변의 비율의 제곱과 같습니다.
• 모든 합동 삼각형은 닮음이지만 모든 유사 삼각형이 반드시 합동일 필요는 없습니다.
• 이것 ' ~ ’ 기호는 유사한 삼각형을 나타내는 데 사용됩니다.

유사한 삼각형에 대한 해결된 질문

질문 1: 주어진 그림 1에서 DE || 기원전. AD = 2.5cm, DB = 3cm, AE = 3.75cm인 경우. AC를 찾으시나요?

해결책:

△ABC, DE || 기원전

AD/DB = AE/EC (탈레스의 정리에 의함)

2.5/3 = 3.75/x, 여기서 EC = xcm

(3 × 3.75)/2.5 = 9/2 = 4.5cm

EC = 4.5cm

따라서 AC = (AE + EC) = 3.75 + 4.5 = 8.25cm입니다.

질문 2: 그림 1 DE || 기원전. AD = 1.7cm, AB = 6.8cm, AC = 9cm인 경우. AE를 찾으시나요?

해결책:

AE = x cm라고 하자.

△ABC, DE || 기원전

탈레스 정리에 따르면,

AD/AB = AE/AC

1.7/6.8 = x/9

x = (1.7×9)/6.8 = 2.25cm

AE = 2.25cm

따라서 AE = 2.25cm

질문 3: 삼각형(그림 1)의 한 변의 중점을 지나 다른 변과 평행한 선이 세 번째 변을 이등분한다는 것을 증명하세요.

해결책:

D가 AB와 DE의 중간점인 ΔΑΒC가 주어지면 || BC, E에서 AC를 만납니다.

AE = EC임을 증명하기 위해.

증거: DE 이후 || BC, 탈레스의 정리에 따르면 다음과 같습니다.

AE/AD = EC/DB =1(AD = DB, 주어진 값)

AE/EC = 1

AE = EC

질문 4: 주어진 그림 2에서 AD/DB = AE/EC 및 ∠ADE = ∠ACB입니다. ABC가 이등변삼각형임을 증명하세요.

해결책:

AD/DB = AE/EC DE || BC [탈레스의 정리를 역으로]

∠ADE = ∠ABC(해당 ∠)

그러나 ∠ADE = ∠ACB(주어진)입니다.

따라서 ∠ABC = ∠ACB입니다.

따라서 AB = AC [같은 각도의 반대쪽]입니다.

숨겨진 앱

따라서 △ABC는 이등변삼각형이다.

질문 5: D와 E가 각각 △ABC(그림 2)의 변 AB와 AC에 있는 점으로서 AB = 5.6 cm, AD = 1.4 cm, AC = 7.2 cm, AE = 1.8 cm이면 DE | | 기원전.

해결책:

주어진 경우 AB = 5.6cm, AD = 1.4cm, AC = 7.2cm 및 AE = 1.8cm

AD/AB = 1.4/5.6 = 1/4 및 AE/AC = 1.8/7.2 = 1/4

안드로이드에서 숨겨진 앱을 찾는 방법

AD/AB = AE/AC

따라서 탈레스 정리와 반대로 DE || 기원전.

질문 6: 삼각형의 두 변의 중점을 연결하는 선분(그림 2)이 세 번째 변과 평행하다는 것을 증명하십시오.

해결책:

D와 E가 각각 AB와 AC의 중간점인 △ABC에서.

D와 E는 각각 AB와 AC의 중간점이므로 다음과 같습니다.

AD = DB이고 AE = EC입니다.

AD/DB = AE/EC(각각 1임)

따라서 탈레스 정리와 반대로 DE || 기원전

중요한 수학 관련 링크:

• 단순이자란 무엇인가
• 손실 공식
• 각도 합 속성
• 11로 나누기
• 막대 그래프
• 삼각법의 사용
• 자연수 목록
• 피타고라스 모델
• 9학년 수학 프로젝트

연습 문제 유사 삼각형

Q1. 두 개의 유사한 삼각형 △ABC와 △ADE에서 DE || BC 및 AD = 3cm, AB = 8cm, AC = 6cm입니다. AE를 찾아보세요.

Q2. 두 개의 유사한 삼각형 △ABC와 △PQR에서 QR || BC 및 PQ = 2cm, AB = 12cm, AC = 9cm입니다. PR을 찾아보세요.

Q3. 두 개의 유사한 삼각형 ΔABC와 ΔAPQ에서 변의 길이는 AP = 9cm, PB = 12cm, BC = 24cm로 표시됩니다. ΔABC와 ΔAPQ 면적의 비율을 구합니다.

Q4. 두 개의 유사한 삼각형 ΔABC와 ΔAPQ에서 변의 길이는 AP = 3cm, PB = 4cm, BC = 8cm로 표시됩니다. ΔABC와 ΔAPQ 면적의 비율을 구합니다.

요약 – 비슷한 삼각형

유사 삼각형은 동일한 모양을 공유하지만 크기가 다른 기하학적 도형으로, 대응 각도가 동일하고 대응 변이 비례하는 특징이 있습니다. AA(Angle-Angle), SAS(Side-Angle-Side) 및 SSS(Side-Side-Side)와 같은 주요 정리는 삼각형 유사성에 대한 기준을 설정합니다.

이러한 원칙은 스케일링 시 모양 무결성을 유지하는 능력으로 인해 엔지니어링, 컴퓨터 그래픽 및 건축과 같은 분야의 기초입니다. 탈레스의 정리, 즉 기본 비례 정리는 삼각형의 한 변에 평행한 선이 어떻게 다른 두 변을 비례적으로 나누는지 보여주며, 삼각형의 유사성 개념을 더욱 입증합니다.

유사한 삼각형은 내비게이션의 높이와 거리 계산부터 기술 및 건축 설계 최적화에 이르기까지 실제 응용 분야에 매우 중요하며 학문적 및 실제 상황 모두에서 광범위한 관련성을 보여줍니다.

유사 삼각형 – FAQ

유사한 삼각형 클래스 10이란 무엇입니까?

유사 삼각형은 모든 각도가 동일하고 변의 비율이 같은 삼각형입니다. 모양은 비슷하지만 면적은 비슷하지 않습니다.

비슷한 삼각형 공식은 무엇입니까?

유사삼각형 공식은 두 삼각형이 유사한지 아닌지를 알려주는 공식입니다. 두 개의 삼각형 △ABC와 △XYZ에 대해 닮음삼각형 공식은 다음과 같습니다.

• ∠A = ∠X, ∠B = ∠Y 및 ∠C = ∠Z
• AB/XY = BC/YZ = CA/ZX

유사한 삼각형을 나타내는 데 사용되는 기호는 무엇입니까?

유사 삼각형은 '~' 기호를 사용하여 표시됩니다. 두 삼각형 △ABC와 △XYZ가 닮으면 △ABC ~ △XYZ로 표현하고, 삼각형 XYZ와 비슷한 삼각형 ABC로 읽습니다.

3가지 유사한 삼각형 정리는 무엇입니까?

우리는 세 가지 삼각형 정리를 사용하여 두 삼각형이 닮음임을 쉽게 증명할 수 있습니다.

• AA(또는 AAA) 또는 각도-각도 유사성 정리
• SAS 또는 측면-측면 유사성 정리
• SSS 또는 측면-측면 유사성 정리

비슷한 삼각형의 속성은 무엇입니까?

유사삼각형의 중요한 성질은 다음과 같다.

• 비슷한 삼각형은 모양이 고정되어 있지만 크기는 다를 수 있습니다.
• 대응 각도는 유사한 삼각형에서 동일합니다.
• 닮음삼각형에서는 대응변의 비율이 같습니다.

두 삼각형이 비슷한지 어떻게 알 수 있나요?

삼각형의 모든 각도가 동일하면 삼각형이 닮음이라고 쉽게 말할 수 있습니다.

항상 유사한 삼각형은 무엇입니까?

항상 닮은 삼각형은 정삼각형이다. 정삼각형의 모든 각도는 항상 60도이므로 두 정삼각형은 항상 닮습니다.

유사 삼각형 영역이란 무엇입니까?

두 개의 유사한 삼각형의 면적의 비율은 항상 두 변의 제곱의 비율과 같습니다. 두 개의 삼각형 △ABC와 △XYZ에 대해 다음과 같이 말할 수 있습니다.

• 면적 △ABC / 면적 △XYZ = (AB / XY)²

유사 삼각형 기준이란 무엇입니까?

유사 삼각형 기준은 세 개의 삼각형을 유사 삼각형으로 선언할 수 있는 기준이며 이 세 가지 기준은 다음과 같습니다.

• AAA 기준(각도-각도-기준)
• SAS 기준(측면-측면 기준)
• SSS 기준(Side-Side-Side 기준)

유사삼각형의 아버지는 누구인가?

흔히 기하학의 아버지로 불리는 고대 그리스 수학자 유클리드는 그의 저서 『원소』에서 유사삼각형을 이해하기 위한 기본 원리를 제시했습니다.

유사삼각형은 비례하는가?

예, 비슷한 삼각형은 비례합니다. 이는 닮음삼각형의 대응변의 비율이 일정하다는 것을 의미하며, 이는 유사삼각형의 대응변의 비율이 일정하다는 것을 의미합니다.

항상 유사한 삼각형은 무엇입니까?

세 각이 모두 같은 삼각형은 항상 닮음입니다. 이는 각도-각도(AA) 유사성 기준으로 알려진 기본 속성입니다.

직각삼각형은 모두 닮음인가?

아니요, 모든 직각삼각형이 비슷한 것은 아닙니다. 예각이 같은 직각삼각형은 유사하지만, 빗변의 길이와 변의 길이의 비율이 달라 직각삼각형 사이에는 유사성이 없을 수 있습니다.

두 개의 닮은꼴 삼각형의 비율은 얼마입니까?

닮음삼각형의 대응하는 두 변의 비율은 일정하게 유지됩니다. 이는 유사한 삼각형의 해당 변을 취하여 비율을 형성하면 선택한 특정 변의 길이에 관계없이 결과가 항상 동일하다는 것을 의미합니다.