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2차 공식과 2차 방정식의 기본 원리를 익혔다면 포물선과의 관계를 다음 단계로 넘어갈 차례입니다. 정점 형태 .

포물선 꼭지점 형식과 2차 방정식을 표준 형식에서 꼭지점 형식으로 변환하는 방법에 대해 자세히 알아보려면 계속 읽어보세요.

특집 이미지 출처: SBA73 /플리커

정점 형식이 유용한 이유는 무엇입니까? 개요

그만큼 정점 형태 방정식의 방정식은 포물선의 방정식을 작성하는 또 다른 방법입니다.

일반적으로 $ax^2+bx+c$로 작성된 2차 방정식을 볼 수 있으며 그래프로 표시하면 포물선이 됩니다. 이 형식에서는 방정식을 0으로 설정하거나 2차 공식을 사용하여 방정식의 근(포물선이 $x$ 축에 닿는 위치)을 찾는 것이 충분히 쉽습니다.

그러나 포물선의 꼭지점을 찾아야 하는 경우 표준 이차 형태는 훨씬 덜 유용합니다. 대신에 2차 방정식을 정점 형태로 변환하고 싶을 것입니다.

정점 형태란 무엇입니까?

표준 2차 형식은 $ax^2+bx+c=y$이지만, 2차 방정식의 꼭지점 형식은 $i y=i a(i x-i h)^2+ i k$입니다.

두 형식 모두 $y$는 $y$ 좌표이고 $x$는 $x$ 좌표이며 $a$는 포물선이 위쪽($+a$)을 향하고 있는지 아니면 아래쪽을 향하고 있는지를 알려주는 상수입니다. ($-a$). (포물선이 사과소스 한 그릇인 것처럼 생각합니다. $+a$가 있으면 사과소스를 그릇에 추가할 수 있고, $-a$가 있으면 사과소스를 그릇에서 흔들어 꺼낼 수 있습니다.)

포물선의 표준 형태와 꼭지점 형태의 차이점은 방정식의 꼭지점 형태가 포물선의 꼭지점 $(h,k)$도 제공한다는 것입니다.

예를 들어, $y=3(x+4/3)^2-2$라는 멋진 포물선을 살펴보세요.

그래프를 기준으로 보면 포물선의 꼭지점은 (-1.5,-2)처럼 보이지만, 그래프만으로는 꼭지점이 어디에 있는지 정확히 알기 어렵습니다. 다행히 $y=3(x+4/3)^2-2$ 방정식을 기반으로 이 포물선의 꼭지점이 $(-4/3,-2)$라는 것을 알 수 있습니다.

$(4/3,-2)$가 아닌 $(-4/3,-2)$ 정점이 있는 이유는 무엇입니까(그래프 제외). 이는 $x$- 및 $y$-좌표를 모두 명확하게 합니다. 정점은 음수입니다)?

기억하다: 정점 형태 방정식에서 $h$를 빼고 $k$를 더합니다. . 음수 $h$ 또는 음수 $k$가 있는 경우 음수 $h$를 빼고 음수 $k$를 추가해야 합니다.

이 경우 이는 다음을 의미합니다.

$y=3(x+4/3)^2-2=3(x-(-4/3))^2+(-2)$

따라서 정점은 $(-4/3,-2)$입니다.

꼭지점 형태로 포물선을 작성할 때는 항상 양수 및 음수 부호를 다시 확인해야 합니다. 특히 정점에 양수 $x$ 및 $y$ 값이 없는 경우(또는 사분면 머리의 경우 정점에 있지 않은 경우) 사분면 I ). 이는 2차 공식($x={-b±√{b^2-4ac}}/{2a}$)을 풀 때 양수 및 수식을 유지하는 데 필요한 검사와 유사합니다. $a$s, $b$s 및 $c$s에 대해 바로 마이너스가 됩니다.

다음은 정점과 함께 몇 가지 다른 포물선 정점 형태 방정식의 추가 예가 포함된 표입니다. 특히 정점의 $x$ 좌표가 음수일 때 포물선 정점 형식 방정식의 $(x-h)^2$ 부분의 차이에 유의하세요.

표준 2차 형식을 정점 형식으로 변환하는 방법

대부분의 경우 2차 방정식을 서로 다른 형식으로 변환하라는 요청을 받으면 표준 형식($ax^2+bx+c$)에서 꼭지점 형식($a(x-h)^2+k$)으로 전환하게 됩니다. ).

방정식을 표준 2차 방정식에서 꼭지점 형식으로 변환하는 과정에는 정사각형 완성이라는 일련의 단계가 포함됩니다. (사각형 완성에 대한 자세한 내용은 이 기사를 참조하세요.)

방정식을 표준 형식에서 정점 형식으로 변환하는 예를 살펴보겠습니다. 방정식 $y=7x^2+42x-3/14$부터 시작하겠습니다.

가장 먼저 해야 할 일은 상수나 옆에 $x$ 또는 $x^2$가 없는 용어를 이동하는 것입니다. 이 경우 상수는 $-3/14$입니다. (우리는 그런 줄 알아요 부정적인 $3/14$ 왜냐하면 표준 2차 방정식은 $ax^2+bx-c$가 아니라 $ax^2+bx+c$이기 때문입니다.)

먼저 $-3/14$를 방정식의 왼쪽으로 옮깁니다.

$y+3/14=7x^2+42x$

다음 단계는 다음과 같이 오른쪽에서 7(방정식의 $a$ 값)을 제외하는 것입니다.

$y+3/14=7(x^2+6x)$

엄청난! 이 방정식은 꼭지점 형태인 $y=a(x-h)^2+k$와 훨씬 유사해 보입니다.

이 시점에서 '지금 내가 해야 할 일은 $3/14$를 방정식의 오른쪽으로 다시 옮기는 것뿐이지, 그렇지?'라고 생각할 수도 있습니다. 아아, 그렇게 빠르지는 않습니다.

괄호 안의 방정식 일부를 살펴보면 $(x-h)^2$ 형식이 아니라는 문제를 발견할 수 있습니다. $x$이(가) 너무 많습니다! 아직 끝나지 않았습니다.

지금 우리가 해야 할 일은 가장 어려운 부분, 즉 사각형을 완성하는 것입니다.

방정식의 $x^2+6x$ 부분을 자세히 살펴보겠습니다. $(x^2+6x)$를 $(x-h)^2$와 유사한 것으로 인수분해하려면 괄호 안에 상수를 추가해야 하며 다음 사항을 기억해야 합니다. 방정식의 반대쪽에도 해당 상수를 추가합니다(방정식이 균형을 유지해야 하기 때문에).

이를 설정하기 위해(그리고 방정식의 반대쪽에 상수를 추가하는 것을 잊지 않도록 하기 위해) 방정식의 양쪽에 상수가 들어갈 빈 공간을 만들 것입니다.

$y+3/14+7($ $)=7(x^2+6x+$ $)$

방정식의 왼쪽에는 상수가 들어갈 공간 앞에 $a$ 값 7을 포함시켰습니다. 이는 방정식의 오른쪽에 상수를 추가하는 것이 아니라 괄호 바깥에 있는 값을 상수에 곱하기 때문입니다. ($a$ 값이 1이면 이에 대해 걱정할 필요가 없습니다.)

다음 단계는 사각형을 완성하는 것입니다. 이 경우 완성하려는 사각형은 괄호 안의 방정식입니다. 상수를 추가하면 사각형으로 쓸 수 있는 방정식으로 바뀌게 됩니다.

새 상수를 계산하려면 $x$(이 경우 6) 옆의 값을 2로 나누고 제곱합니다.

$(6/2)^2=(3)^2=9$. 상수는 9입니다.

6을 반으로 나누고 제곱하는 이유는 $(x+p)(x+p)$(우리가 얻으려고 하는 것) 형식의 방정식에서 $px+px= 6x$, 즉 $p=6/2$; 상수 $p^2$를 얻으려면 $6/2$($p$)를 가져와서 제곱해야 합니다.

이제 방정식 양쪽의 공백을 상수 9로 바꿉니다.

$y+3/14+7(9)=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+63=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+{882/14}=7(x^2+6x+9)$

$y+{885/14}=7(x^2+6x+9)$

다음으로 괄호 안의 방정식을 인수분해합니다. 정사각형을 완성했으므로 $(x+{some umber})^2$로 인수분해할 수 있습니다.

$y+{885/14}=7(x+3)^2$

마지막 단계: $y$가 아닌 값을 방정식의 왼쪽에서 오른쪽으로 다시 이동합니다.

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

축하해요! 방정식을 표준 2차 방정식에서 정점 형식으로 성공적으로 변환했습니다.

이제 대부분의 문제는 방정식을 표준 형식에서 정점 형식으로 변환하도록 요구하지 않습니다. 그들은 실제로 포물선의 정점 좌표를 제공하기를 원할 것입니다.

부호 변경에 속지 않도록 방금 계산한 꼭지점 형태 방정식 바로 위에 일반 꼭지점 형태 방정식을 작성해 보겠습니다.

$y=a(x-h)^2+k$

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

그런 다음 $h$ 및 $k$를 쉽게 찾을 수 있습니다.

$-h=3$

$h=-3$

$+k=-{885/14}$

이 포물선의 꼭지점은 좌표에 있습니다. $(-3,-{885/14})$.

휴, 숫자를 너무 많이 섞었군요! 다행스럽게도 방정식을 다른 방향(정점에서 표준 형식으로)으로 변환하는 것이 훨씬 간단합니다.

정점 형식에서 표준 형식으로 변환하는 방법

방정식을 꼭지점 형태에서 일반 이차 형태로 변환하는 것은 훨씬 더 간단한 과정입니다. 여러분이 해야 할 일은 꼭지점 형태를 곱하는 것뿐입니다.

이전의 예제 방정식인 $y=3(x+4/3)^2-2$를 살펴보겠습니다. 이것을 표준 형식으로 바꾸려면 방정식의 오른쪽을 확장하면 됩니다.

$$y=3(x+4/3)^2-2$$

$$y=3(x+4/3)(x+4/3)-2$$

$$y=3(x^2+{8/3}x+16/9)-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}-{6/3}$$

$$y=3x^2+8x+10/3$$

짜잔! $y=3(x+4/3)^2-2$를 $ax^2+bx+c$ 형식으로 성공적으로 변환했습니다.

포물선 정점 형태 연습: 샘플 질문

정점 형태에 대한 탐구를 마무리하기 위해 네 가지 예제 문제와 설명이 있습니다. 설명을 읽기 전에 스스로 문제를 해결할 수 있는지 확인해 보세요!

#1: 이차방정식 $x^2+ 2.6x+1.2$의 꼭지점 형태는 무엇입니까?

#2: 방정식 $7y=91x^2-112$를 꼭지점 형식으로 변환합니다. 정점은 무엇입니까?

#삼: 방정식 $y=2(x-3/2)^2-9$가 주어지면 이 방정식이 $x$축과 교차하는 $x$ 좌표는 무엇입니까?

#4: 포물선 $y=({1/9}x-6)(x+4)$의 꼭지점을 찾습니다.

포물선 정점 형태 연습: 해

#1: 이차 방정식 ${i x^2}+ 2.6i x+1.2$의 꼭지점 형태는 무엇입니까?

$x$가 아닌 변수를 방정식의 반대편으로 분리하는 것부터 시작하십시오.

$y-1.2=x^2+2.6x$

원래 방정식의 $a$($ax^2+bx+c$에서와 같이)는 1과 같으므로 여기서 우변에서 인수분해할 필요가 없습니다(원하는 경우 다음과 같이 쓸 수 있습니다). $y-1.2=1(x^2+2.6x)$).

다음으로, $x$ 계수(2.6)를 2로 나누고 제곱한 다음 결과 숫자를 방정식의 양쪽에 추가합니다.

$(2.6/2)^2=(1.3)^2=1.69$

$y-1.2+1(1.69)=1(x^2+2.6x+1.69)$

괄호 안의 방정식의 우변을 인수분해합니다.

$y-1.2+1.69=(x+1.3)^2$

마지막으로 방정식의 왼쪽에 있는 상수를 결합한 다음 오른쪽으로 옮깁니다.

$y-1.2+1.69=(x+1.3)^2$

$y+0.49=(x+1.3)^2$

우리의 답은 $y=(x+1.3)^2-0.49$입니다.

#2: 방정식 $7i y=91i x^2-112$를 꼭지점 형태로 변환합니다. 정점은 무엇입니까?

방정식을 정점 형식으로 변환할 때 $y$의 계수가 1이기를 원하므로 가장 먼저 할 일은 이 방정식의 양변을 7로 나누는 것입니다.

$7년= 91x^2-112$

${7년}/7= {91x^2}/7-112/7$

$y=13x^2-16$

다음으로 상수를 방정식의 왼쪽으로 가져옵니다.

$y+16=13x^2$

방정식의 오른쪽에서 $x^2$ 숫자($a$)의 계수를 인수분해합니다.

$y+16=13(x^2)$

이제 일반적으로 괄호 안의 방정식 오른쪽에 있는 정사각형을 완성해야 합니다. 그러나 $x^2$는 이미 정사각형이므로 방정식의 왼쪽에서 다시 오른쪽으로 상수를 이동하는 것 외에는 아무것도 할 필요가 없습니다.

$y=13(x^2)-16$.

이제 정점을 찾으려면 다음을 수행하십시오.

$y=a(x-h)^2+k$

$y=13(x^2)-16$

$-h=0$, 즉 $h=0$

$+k=-16$, 즉 $k=-16$

포물선의 꼭지점은 $(0, -16)$에 있습니다.

#3: 방정식 $i y=2(i x-3/2)^2-9$가 주어지면 이 방정식이 다음과 교차하는 $i x$-좌표는 무엇입니까? $i x$축?

질문은 방정식의 $x$ 절편을 찾으라고 요구하므로 첫 번째 단계는 $y=0$을 설정하는 것입니다.

$y=0=2(x-3/2)^2-9$.

이제 여기에서 갈 수 있는 몇 가지 방법이 있습니다. 교활한 방법은 정점 형태 방정식에 이미 정사각형이 쓰여 있다는 사실을 활용하는 것입니다.

먼저 상수를 방정식의 왼쪽으로 옮깁니다.

$0=2(x-3/2)^2-9$

$9=2(x-3/2)^2$

다음으로 방정식의 양변을 2로 나눕니다.

$9/2=(x-3/2)^2$

이제 교활한 부분입니다. 방정식의 양변에 제곱근을 구합니다.

$√(9/2)=√{(x-3/2)^2}$

$±3/{√2}=(x-3/2)$

$±