곡선 아래 면적은 곡선과 좌표축으로 둘러싸인 영역입니다. 이는 매우 작은 직사각형을 취한 다음 그 합을 취하여 계산됩니다. 무한히 작은 직사각형을 취하면 그 합은 형성된 함수의 극한을 취하여 계산됩니다.

구간 [a, b]에 정의된 주어진 함수 f(x)에 대해 'a'에서 'b'까지 f(x)의 곡선 아래 면적(A)은 다음과 같이 지정됩니다. A = ∫ _ㅏ ^비 에프엑스(f(x)dx) . 곡선 아래의 면적은 구간 [a, b]에 대한 함수의 절대값을 범위에 걸쳐 합산하여 계산됩니다.

이번 글에서는 곡선 아래 면적, 적용 사례, 예시 등에 대해 자세히 알아보겠습니다.

내용의 테이블

• 곡선 아래 면적이란 무엇입니까?
• 곡선 아래 면적 계산
• Reimann 합계 사용
• 명확한 적분 사용
• 곡선 아래의 대략적인 면적
• 곡선 아래 면적 계산
• 곡선 아래 면적 공식

곡선 아래 면적이란 무엇입니까?

곡선 아래 면적은 x축과 주어진 경계 조건(즉, 함수 y = f(x), x축 및 선 x = a 및 x = b로 둘러싸인 면적)을 사용하여 곡선으로 둘러싸인 면적입니다. 어떤 경우에는 곡선이 x축과 각각 한 번 또는 두 번 교차하므로 경계 조건이 하나만 있거나 전혀 없습니다.

곡선 아래의 면적은 라이만 합(Reimann sum)과 같은 다양한 방법을 사용하여 계산할 수 있습니다. 정적분 또한 삼각형, 직사각형, 사다리꼴 등의 기본 모양을 사용하여 면적을 대략적으로 계산할 수도 있습니다.

자세히 읽어보세요: 수학에서의 미적분학

곡선 아래 면적 계산

곡선 아래 면적을 계산하려면 다음과 같은 방법을 사용할 수 있습니다.

• Reimann 합계 사용
• 명확한 적분 사용
• 근사값 사용

이러한 방법을 다음과 같이 자세히 연구해 보겠습니다.

Reimann 합계 사용

라이만 합계 주어진 함수의 그래프를 더 작은 직사각형으로 나누고 각 직사각형의 면적을 합산하여 계산됩니다. 제공된 간격을 세분화하여 고려하는 직사각형이 많을수록 이 접근 방식으로 계산된 영역이 더 정확해집니다. 그럼에도 불구하고 우리가 고려하는 하위 구간이 많을수록 계산이 더 어려워집니다.

Reimann Sum은 다음과 같은 세 가지 범주로 분류될 수 있습니다.

• 왼쪽 라이만 합
• 오른쪽 라이만 합
• 중간점 라이만 합

라이만 합을 사용한 면적은 다음과 같습니다.

old{Area = sum_{i=1}^{n}f(x_i)Delta x_i}

어디,

• 에프(엑스 _나 ) 는 적분되는 함수의 값입니다. 나 ^일 샘플 포인트
• Δx = (b-a)/n 각 하위 구간의 너비입니다.
  • ㅏ 그리고 비 통합의 한계는 다음과 같습니다.
  • N 하위 구간의 수입니다.
• ∑ i=1부터 n까지의 모든 항의 합을 나타냅니다.

예: 함수 f(x) = x에 대한 곡선 아래 면적 찾기 ² 한계 x = 0과 x = 2 사이.

해결책:

우리는 x = 0과 x = 2 사이에서 이 함수의 곡선 아래 면적을 찾고 싶습니다. n = 4 하위 구간이 있는 왼쪽 Reimann Sum을 사용하여 면적을 근사화합니다.

4개의 하위 구간을 사용하여 곡선 아래의 면적을 계산해 보겠습니다.

따라서 하위 구간의 너비, Δx = (2-0)/4 = 0.5

4개의 하위 구간은 모두 다음과 같습니다.

a = 0 = x_{0 1 2 삼 4}= 2 = 비

엑스₀= 0, 엑스₁= 0.5, x₂= 1, 엑스_삼= 1.5, x₄= 2

이제 이러한 x 값에서 함수를 평가하여 각 직사각형의 높이를 찾을 수 있습니다.

에프(엑스₀) = (0)²= 0
에프(엑스₁) = (0.5)²= 0.25
에프(엑스₂) = (1)²= 1
에프(엑스_삼) = (1.5)²= 2.25
에프(엑스₄) = (2)²= 4

이제 다음 높이로 형성된 직사각형의 면적을 합하여 곡선 아래의 면적을 대략적으로 계산할 수 있습니다.

A ≒ Δx[f(x₀) + f(x)₁) + f(x)₂) + f(x)_삼)] = 0.5[0 + 0.25 + 1 + 2.25] = 1.25

따라서 f(x) = x 곡선 아래의 면적²x = 0과 x = 2 사이(4개의 하위 구간이 있는 왼쪽 Reimann Sum을 사용하여 근사화됨)는 약 1.25입니다.

명확한 적분 사용

유한 적분은 라이만 합과 거의 동일하지만 여기서는 하위 구간의 수가 무한대에 가까워집니다. 구간 [a, b]에 대해 함수가 주어지면 정적분은 다음과 같이 정의됩니다.

int_{a}^{b} f(x) dx = lim_{n o infty}sum_{i=1}^{n}f(x_i)Delta x_i

명확한 적분은 라이만 합과 달리 곡선 아래의 정확한 면적을 제공합니다. 정적분은 함수의 역도함수를 찾고 이를 적분 한계에서 평가하여 계산됩니다.

X축을 기준으로 한 영역

아래 이미지에 표시된 곡선은 y = f(x)를 사용하여 표현됩니다. x축을 기준으로 곡선 아래의 면적을 계산해야 합니다. x축 곡선의 경계 값은 각각 a와 b입니다. x축을 기준으로 이 곡선 아래의 면적 A는 x = a와 x = b 점 사이에서 계산됩니다. 다음 곡선을 고려하십시오.

x축에 대한 곡선 아래 면적에 대한 공식은 다음과 같습니다.

old{A = int_{a}^{b}y.dx}

old{A = int_{a}^{b}f(x)dx}

스위치 메소드 자바

어디,

• ㅏ 곡선 아래 면적
• 그리고 또는 에프엑스(f(x)) 곡선 방정식
• ㅏ, 그리고 비 x 값 또는 적분 한계입니다. 이에 대해 면적을 계산해야 합니다.

Y축을 기준으로 한 영역

위 이미지에 표시된 곡선은 x = f(y)를 사용하여 표현됩니다. Y축을 기준으로 곡선 아래의 면적을 계산해야 합니다. Y축 곡선의 경계 값은 각각 a와 b입니다. 점 y = a와 y = b 사이의 Y축을 기준으로 이 곡선 아래의 면적 A입니다. 다음 곡선을 고려하십시오.

y축에 대한 곡선 아래 면적에 대한 공식은 다음과 같습니다.

old{A = int_{a}^{b}x.dy}

old{A = int_{a}^{b}f(y)dy}

어디,

• ㅏ 곡선 아래 면적
• 엑스 또는 에프(와이) 곡선 방정식
• 에, 비 는 y절편입니다

더 알아보기, 두 곡선 사이의 면적

곡선 아래의 대략적인 면적

곡선 아래 면적을 근사화하려면 직사각형이나 사다리꼴과 같은 간단한 기하학적 모양을 사용하여 곡선 아래 면적을 추정해야 합니다. 이 방법은 함수를 적분하기 어렵거나 함수의 역도함수를 찾는 것이 불가능할 때 유용합니다. 근사치의 정확도는 사용된 모양의 크기와 수에 따라 달라집니다.

곡선 아래 면적 계산

주어진 기사에서 논의된 개념을 사용하여 다양한 곡선의 면적을 쉽게 계산할 수 있습니다. 이제 몇 가지 일반적인 곡선에 대한 곡선 아래 면적 계산의 몇 가지 예를 고려해 보겠습니다.

곡선 아래 면적: 포물선

우리는 표준 포물선이 x축이나 y축에 의해 두 개의 대칭 부분으로 나누어진다는 것을 알고 있습니다. 포물선 y를 취한다고 가정하자.²= 4ax이고 그 면적은 x = 0에서 x = a까지 계산됩니다. 그리고 필요한 경우 두 사분면에서 포물선의 면적을 찾기 위해 면적을 두 배로 늘립니다.

면적 계산,

그리고²= 도끼 4개

y = √(4ax)

A = 2∫₀^ㅏy.dx

A = 2∫₀^ㅏ√(4ax).dx

A = 4√(a)∫₀^ㅏ√(x).dx

A = 4√(a){2/3.a^3/2}

A = 8/3a²

따라서 x = 0에서 x = a까지 포물선 아래의 면적은 다음과 같습니다. 8월 3일 ² 평방 단위

곡선 아래 영역: 원

원은 원주가 중심으로부터 항상 같은 거리에 있는 닫힌 곡선입니다. 면적은 먼저 첫 번째 사분면의 면적을 계산한 다음 4개 사분면 모두에 대해 4를 곱하여 계산됩니다.

우리가 원 x를 취한다고 가정하자.²+ 및²=a²그 면적은 첫 번째 사분면에서 x = 0부터 x = a까지 계산됩니다. 그리고 필요한 경우 원의 면적을 찾기 위해 면적을 4배로 늘립니다.

면적 계산,

엑스²+ 및²=a²

y = √(a²– 엑스²).dx

A = 4∫₀^ㅏy.dx

A = 4∫₀^ㅏ√(a²– 엑스²).dx

A = 4[x/2√(a²– 엑스²) + 에²/2 없음^-1(x/a)]^ㅏ₀

A = 4[{(a/2).0 + a²/2.없이^-1} – 0]

A = 4(a²/2)(p/2)

A = πa²

따라서 원 아래의 넓이는 아빠 ² 평방 단위

곡선 아래 영역: 타원

원은 닫힌 곡선입니다. 면적은 먼저 첫 번째 사분면의 면적을 계산한 다음 4개 사분면 모두에 대해 4를 곱하여 계산됩니다.

원(x/a)을 취한다고 가정합니다.²+ (y/b)²= 1이고 그 면적은 첫 번째 사분면에서 x = 0부터 x = a까지 계산됩니다. 그리고 필요한 경우 타원의 면적을 찾기 위해 면적을 4배로 늘립니다.

면적 계산,

(x/a)²+ (y/b)²= 1

y = b/a√(a²– 엑스²).dx

A = 4∫₀^ㅏy.dx

A = 4b/a∫₀^ㅏ√(a²– 엑스²).dx

자바의 현재 날짜

A = 4b/a[x/2√(a²– 엑스²) + 에²/2 없음^-1(x/a)]^ㅏ₀

A = 4b/a[{(a/2).0 + a²/2.없이^-1} – 0]

A = 4b/a(a²/2)(p/2)

A = πab

따라서 타원 아래의 면적은 다음과 같습니다. πab 평방 단위.

곡선 아래 면적 공식

다양한 유형의 곡선 아래 면적 계산 공식은 다음과 같습니다.

또한 읽어보세요

• 적분
• 정적분으로서의 면적

곡선 아래 면적에 대한 샘플 예

예 1: 곡선 y 아래 면적 찾기 ² = 12x 및 X축.

해결책:

주어진 곡선 방정식은 y입니다.²= 12배

이것은 a = 3인 포물선 방정식이므로, y²= 4(3)(x)

필요한 면적에 대한 그래프는 아래와 같습니다.

X축은 위의 포물선을 2개의 동일한 부분으로 나눕니다. 따라서 첫 번째 사분면의 면적을 구한 다음 여기에 2를 곱하여 필요한 면적을 얻을 수 있습니다.

따라서 필요한 영역을 다음과 같이 찾을 수 있습니다.

A = 2int_{a}^{b}ydx

⇒A = 2int_{0}^{3}sqrt{12x}dx

⇒A = 2sqrt{12}[frac{2x^frac{3}{2}}{3}]_0^3

⇒A = frac{4sqrt{12}}{3}[x^frac{3}{2}]_0^3

⇒A = frac{4sqrt{12}}{3}*sqrt{27}

⇒ A = 24평방 유닛

예 2: 곡선 x = y 아래 면적 계산 ^삼 – 점 y = 3과 y = 4 사이의 9입니다.

해결책:

주어진 곡선 방정식은 x = y입니다.^삼– 9

경계점은 (0, 3)과 (0, 4)입니다.

곡선 방정식은 x = f(y) 형식이고 점도 Y축에 있으므로 다음 공식을 사용합니다.

A = int_{a}^{b}x.dy

⇒A = int_{3}^{4}(y^3-9)dy

⇒A = [frac{y^4}{4}-9y]^4_3

⇒A = (64-36)-(frac{81}{4}-27)

⇒A = 28+frac{27}{4}

⇒ A = 139/4 평방 유닛

예 3: 곡선 y = x 아래 면적 계산 ² – 점 x = 5와 x = 10 사이의 7입니다.

해결책:

주어진 곡선은 y = x입니다.²−7이고 경계점은 (5, 0)과 (10, 0)입니다.

따라서 곡선 아래의 면적은 다음과 같이 주어진다.

A = int_{5}^{10}(x^2-7)dx

⇒A = [frac{x^3}{3}-7x]_5^{10}

⇒ A = (100/3 – 70) – (125/3 – 35)

⇒ A = 790/3 – 23/3

⇒ A = 770/3 평방 유닛

int를 문자열로 변환 java

예 4: 포물선으로 둘러싸인 영역 찾기 y ² = 4ax이고 첫 번째 사분면의 선 x = a입니다.

해결책:

곡선과 주어진 선은 다음과 같이 그릴 수 있습니다.

이제 곡선의 방정식은 y입니다.²= 도끼 4개

경계점은 (0, 0)과 (a, 0)이 나옵니다.

따라서 X축에 대한 면적은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

A=int_{0}^{a}ydx

⇒A=int_{0}^{a}sqrt{4ax}dx

⇒A=[sqrt{4a}frac{x^{frac{1}{2}+1}}{frac{3}{2}}]_0^a

⇒A=2×frac{2}{3}sqrt{a}[x^{frac{3}{2}}]_0^a

⇒A=frac{4sqrt{a}}{3}×a^frac{3}{2}

⇒A=frac{4a^2}{3} sq. units

예시 5: 원 x가 덮는 면적 찾기 ² + 및 ² = 첫 번째 사분면에서는 25입니다.

해결책:

주어진, x²+ 및²= 25

곡선은 다음과 같이 그릴 수 있습니다.

위 그림에서 필요한 영역은 음영 처리되었습니다. 방정식에서 우리는 원의 반지름이 5단위임을 알 수 있습니다.

마찬가지로, x²+ 및²= 25

y = sqrt{25-x^2}

영역을 찾으려면 다음을 사용합니다.

A = int_{a}^{b}ydx

⇒A = int_{0}^{5}sqrt{25-x^2}dx

⇒A = [frac{x}{2}(sqrt{25-x^2}+frac{25}{2}sin^{-1}frac{x}{5})]_0^5

⇒A = [(frac{5}{2}×0 +frac{25}{2}sin^{-1}(1))-0]

⇒A = frac{25}{2}×frac{pi}{2}

⇒ A = 25π/4제곱 단위

곡선 아래 면적에 대한 FAQ

곡선 아래 면적을 정의합니다.

곡선, 축, 경계점으로 둘러싸인 영역을 곡선 아래 영역이라고 합니다. 좌표축과 적분식을 사용하여 곡선 아래의 면적을 2차원 면적으로 결정했습니다.

곡선 아래 면적을 계산하는 방법은 무엇입니까?

곡선 아래의 면적을 찾는 세 가지 방법은 다음과 같습니다.

• 라이만 합계 곡선을 더 작은 직사각형으로 나누고 해당 영역을 추가하는 작업이 포함됩니다. 하위 구간의 수는 결과의 정밀도에 영향을 미칩니다.
• 명확한 적분 Reimann Sums와 유사하지만 정확한 결과를 제공하기 위해 무한한 수의 하위 구간을 사용합니다.
• 근사 방법 곡선 아래 영역을 근사화하기 위해 알려진 기하학적 모양이 사용됩니다.

확실한 적분과 라이만 합의 차이점은 무엇입니까?

정적분과 Reimann Sum의 주요 차이점은 정적분은 주어진 곡선 아래의 정확한 영역을 나타내는 반면, Reimann Sum은 영역의 대략적인 값을 나타내며 합계의 정확도는 선택한 파티션 크기에 따라 달라집니다.

곡선 아래 면적이 음수일 수 있습니까?

곡선이 축 아래에 있거나 좌표축의 음수 사분면에 있는 경우 곡선 아래 영역은 음수입니다. 이 경우에도 기존 접근 방식을 사용하여 곡선 아래 면적을 계산한 다음 솔루션을 변조합니다. 답변이 부정인 경우에도 답변의 마이너스 부호가 아닌 해당 면적의 값만 고려됩니다.

통계에서 곡선 아래 면적은 무엇을 나타냅니까?

ROC(Area Under Curve)는 정량적 진단 테스트의 정확성을 나타내는 척도입니다.

곡선 아래 면적의 부호를 어떻게 해석합니까?

면적의 부호는 곡선 아래 면적이 x축 위 또는 x축 아래에 있음을 나타냅니다. 면적이 양수이면 곡선 아래 면적은 x축 위에 있고, 음수이면 곡선 아래 면적은 x축 아래에 있습니다.

곡선 아래 면적은 어떻게 근사됩니까?

영역을 작은 직사각형으로 분할하면 곡선 아래 영역을 대략적으로 추정할 수 있습니다. 그리고 이 직사각형의 면적을 더하면 곡선 아래의 면적을 얻을 수 있습니다.