역삼각함수의 미분은 역삼각함수의 변화율을 의미합니다. 함수의 미분은 독립 변수에 대한 함수의 변화율이라는 것을 알고 있습니다. 이것을 배우기 전에 삼각함수의 미분 공식을 알아야 합니다. 역삼각함수의 도함수를 찾기 위해 먼저 삼각함수를 다른 변수와 동일시하여 역함수를 찾은 다음 암시적 미분 공식을 사용하여 미분합니다.

이번 포스팅에서는 D에 대해 알아보겠습니다. 역삼각함수 파생형, 역삼각함수 미분 공식, 이를 바탕으로 몇 가지 예를 해결해 보세요. 하지만 계속 진행하기 전에 나 역삼각함수와 암묵적 미분.

• 역삼각함수
• 암묵적 차별화란 무엇입니까?
• 역삼각함수의 미분은 무엇입니까?
• 역삼각 함수의 미분 증명
• 역삼각 미분 공식
• 역삼각 미분 예

역삼각함수

역삼각함수 는 삼각비의 역함수, 즉 sin, cos, tan, cot, sec 및 cosec입니다. 이러한 기능은 물리학, 수학, 공학 및 기타 연구 분야에서 널리 사용됩니다. 덧셈과 뺄셈이 서로 역이듯이, 삼각함수도 역함수입니다.

없이 θ = x

⇒ 나는 ​= s ~에 ^-1 엑스 ​

역삼각함수의 표현

그들은 추가로 표현됩니다 호 접두사에 또는 -1을 거듭제곱하여 추가합니다.

역사인은 두 가지 방법으로 작성할 수 있습니다.

• 없이^-1엑스
• 아크신 x

cos와 tan도 마찬가지입니다.

메모: 죄를 혼동하지 말라^-1x와 (죄 x)^-1. 그들은 다르다. 죄를 쓰다^-1x는 역사인을 쓰는 방법인 반면 (sin x)는^-11/sin x를 의미합니다.

역삼각함수 영역

우리는 함수가 해당 점에서 연속인 경우에만 미분 가능하다는 것을 알고 있으며, 함수가 주어진 점에서 연속이면 해당 점이 함수의 정의역이 된다는 것을 알고 있습니다. 그러므로 우리는 역삼각함수에 대한 정의역을 배워야 합니다.

이제 암묵적 미분법을 간단히 배워보겠습니다.

암묵적 차별화란 무엇입니까?

암묵적 차별화 암시적으로 정의된 함수를 구별하기 위해 체인 규칙을 사용하는 방법입니다. 암시적 함수는 하나의 변수가 아닌 두 개의 변수를 포함하는 함수입니다. 그러한 경우 때때로 함수를 명시적으로 하나의 변수로 변환할 수 있지만 항상 그런 것은 아닙니다. 왜냐하면 일반적으로 함수를 명시적으로 찾아 차별화하는 것이 쉽지 않기 때문입니다. 대신에, 우리는 f(x, y), 즉 두 변수를 완전히 미분한 다음 방정식의 나머지 부분을 풀어 f'(x)의 값을 찾을 수 있습니다.

자세히 읽어보세요: 수학에서의 미적분학

역삼각함수의 미분은 무엇입니까?

역삼각 도함수(Inverse Trig Derivative)는 역삼각 함수의 도함수입니다. 6개가 있다 삼각함수 그리고 이들 삼각함수 각각에는 역수가 존재합니다. 이것들은 죄다^-1엑스, 왜냐하면^-1x, 그래서^-1x, 코섹^-1x, 초^-1엑스, 유아용 침대^-1엑스. 암시적 미분법을 사용하여 역삼각함수의 미분을 구할 수 있습니다. 먼저 역삼각함수의 미분이 무엇인지 알아봅시다.

• 죄의 파생물^-1x는 d(죄^-1x)/dx = 1/√(1 – x²) 모든 x ϵ (-1, 1)에 대해
• cos의 미분^-1x는 d(cos^-1x)/dx = -1/√(1 – x²) 모든 x ϵ (-1, 1)에 대해
• 황갈색의 파생물^-1x는 d(황갈색^-1x)/dx = 1/(1 + x²) 모든 x ϵ R에 대해
• 코섹의 파생물^-1x는 d(cosec^-1x)/dx = -1/ 모든 x ϵ R – [-1, 1]
• 초의 미분^-1x는 d(초^-1x)/dx = 모든 x ϵ R – [-1, 1]에 대해 1/x
• 유아용 침대의 파생물^-1x는 d(침대^-1x)/dx = -1/(1 + x²) 모든 x ϵ R에 대해

역삼각 도함수에 대한 이미지는 아래에 첨부되어 있습니다.

이제 우리는 6개의 역삼각함수 모두의 도함수가 무엇인지 배웠습니다. 이제 6개의 역삼각함수의 도함수를 구하는 방법을 알아 보겠습니다.

역삼각 함수의 미분 증명

우리는 첫 번째 원리를 사용하고 또한 연쇄 법칙을 사용하는 암시적 미분 공식을 사용하여 역삼각함수를 미분할 수 있습니다. 첫 번째 원리를 사용하여 역삼각 함수의 도함수를 찾는 것은 시간이 많이 걸리는 과정입니다. 이 글에서는 암묵적 미분을 사용하여 역삼각함수를 미분하는 방법을 배웁니다. 다음 단계를 사용하여 역삼각 함수의 도함수(dy/dx)를 찾을 수 있습니다.

1단계: sin y = x 형식의 삼각 함수를 가정합니다.

2단계: 암시적 미분을 사용하여 위 함수의 도함수 찾기

3단계: dy/dx 계산

4단계: 삼각 항등식을 사용하여 3단계에 있는 삼각 함수의 값을 대체합니다.

죄의 역 x의 도함수

sin y = x라고 가정하자

x에 대해 양변을 미분하기

⇒ 왜냐하면 그리고. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/cos y →(i)

우리는 죄를 알고 있기 때문에²및 + 왜냐하면²와이 = 1

⇒ 왜냐하면²y = 1 – 죄²그리고

js 설정 시간 초과

⇒ 아늑한 = √(1 – 죄²y) = √(1 – x²) sin y = x가 있으므로

이 cos y 값을 방정식 (i)에 넣으면

dy/dx = 1/√(1 – x²) 여기서 y = 죄^-1엑스

cos 역 X의 미분

cos y = x라고 가정하자

x에 대해 양변을 미분하기

⇒ -그리고 없이. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/sin y →(i)

우리는 죄를 알고 있기 때문에²및 + 왜냐하면²와이 = 1

⇒ 없음²y = 1 – 왜냐하면²그리고

⇒ 죄 y = √(1 – cos²y) = √(1 – x²) cos y = x가 있듯이

이 sin y 값을 방정식 (i)에 넣으면

dy/dx = -1/√(1 – x²) 여기서 y = cos^-1엑스

tan 역 X의 미분

tan y = x라고 가정하자

x에 대해 양변을 미분하기

⇒ 초²와이. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/초²그리고 →(i)

우리는 그 순간을 알고 있기 때문에²그래서²와이 = 1

⇒ 초²y = 1 + 황갈색²그리고

⇒ 초²y = (1 + 황갈색²y) = (1 + x²) tan y = x가 있으므로

이 초 값을 넣으면²방정식 (i)의 y

dy/dx = 1/(1 + x²) 여기서 y = 황갈색^-1엑스

침대 역 X의 파생물

cot y = x라고 가정하자

x에 대해 양변을 미분하기

⇒ -코섹²와이. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/cosec²그리고 →(i)

우리는 csec을 알고 있기 때문에²그리고 - 유아용 침대²와이 = 1

⇒ 코섹²y = 1 + 유아용 침대²그리고

⇒ 코섹²y = (1 + 유아용 침대²y) = (1 + x²) 우리는 유아용 침대 y = x를 가지고 있기 때문에

이 cosec 값을 대입하면²방정식 (i)의 y

dy/dx = -1/(1 + x²) 여기서 y = 유아용 침대^-1엑스

초 역 X의 미분

sec y = x라고 가정하자

x에 대해 양변을 미분하기

⇒ 초 y.tan y.dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/초 y.tan y →(i)

우리는 그 순간을 알고 있기 때문에²그래서²와이 = 1

⇒ 그래서²y = 초²그리고 - 1

⇒ tan y = √(초²y – 1) = √(x²– 1) sec y = x가 있듯이

이 tan y 값을 방정식 (i)에 넣으면

dy/dx = 1/x 여기서 sec y = x 및 y = sec^-1엑스

cosec 역 X의 미분

cosec y = x라고 가정합시다.

x에 대해 양변을 미분하기

⇒ -cosec y.cot y.dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/cosec y.cot y →(i)

우리는 cosec을 알고 있기 때문에²그리고 - 유아용 침대²와이 = 1

⇒ 유아용 침대²y = 코초²그리고 - 1

⇒ cot y = √(cosec²y – 1) = √(x²– 1) cosec y = x가 있으므로

이 tan y 값을 방정식 (i)에 넣으면

dy/dx = -1/x 여기서 cosec y = x 및 y = cosec^-1엑스

역삼각 미분 공식

이제 우리는 역삼각함수를 미분하는 방법을 배웠으므로 문제에 직접 사용할 수 있는 역삼각함수의 미분 공식을 살펴보겠습니다. 아래는 역삼각함수 공식의 미분표입니다.

더 읽어보기,

• 파라메트릭 형태의 파생물
• 파생 공식
• 파생상품의 적용
• 지수 함수의 미분

역삼각 미분 예

예시 1: 죄를 구별하다 ^-1 (엑스)?

해결책:

허락하다, 그리고 = 없이 ^-1( 엑스 )

방정식의 양쪽에 사인을 취하면 다음과 같습니다.

죄 y = 죄(죄^-1엑스)

우리가 알고 있는 역삼각법의 특성으로 죄(죄^-1엑스) = 엑스

죄 y = x

이제 양쪽 wrt를 x로 미분하면,

d/dx{sin y} = d/dx{x}

{cos y}.dy/dx = 1

재귀 자바

dy/dx = 1/{cos y}

아래 관찰을 사용하여 이를 더욱 단순화할 수 있습니다.

없이²그리고 + 왜냐하면²와이 = 1

엑스²+ 왜냐하면²y = 1 {as sin y = x}

코사인²y = 1-x²

cos y = √(1 – x²)

값을 대체하면 다음을 얻습니다.

dy/dx = 1/{cos y}

⇒ dy/dx = 1/√(1 – x²)

예시 2: cos 미분하기 ^-1 (엑스)?

해결책:

허락하다,

그리고 = 왜냐하면^-1( 엑스 )

방정식의 양쪽에 코사인을 취하면 다음과 같습니다.

cos y = cos(코사인^-1엑스)

우리가 알고 있는 역삼각법의 특성에 따라 cos(cos^-1엑스) = 엑스

cos (y) = x

이제 양쪽 wrt를 x로 미분하면,

d/dx{cos y} = d/dx{x}

{-sin y}.dy/dx = 1

dy/dx = -1/sin y

아래 관찰을 사용하여 이를 더욱 단순화할 수 있습니다.

없이²그리고 + 왜냐하면²와이 = 1

없이²와이 + 엑스²= 1 {cos y = x}

없이²y = 1-x²

죄 y = √(1 – x²)

값을 대체하면 다음을 얻습니다.

dy/dx = -1/{sin y}

⇒ dy/dx = -1/√(1 – x²)

예시 3: 황갈색(tan) 구별하기 ^-1 (엑스)?

해결책:

허락하다, 그리고 = 그래서^-1( 엑스 )

방정식의 양쪽에 tan을 취하면 다음과 같습니다.

탄 y = 탄(탄^-1엑스)

우리가 알고 있는 역삼각법의 특성에 따르면, tan(tan^-1엑스) = 엑스

황갈색 y = x

이제 양쪽 wrt를 x로 미분하면,

d/dx{sin y} = d/dx{x}

비서²(x).dy/dx= 1

dy/dx = 1/초²엑스

아래 관찰을 사용하여 이를 더욱 단순화할 수 있습니다.

비서²그래서²와이 = 1

비서²y~x²= 1

비서²와이 = 1 + x²

값을 대체하면 다음을 얻습니다.

dy/dx = 1/초²그리고

dy/dx = 1/(1 + x²)

예시 4: y = cos ^-1 (-2x ² ). x = 1/2에서 dy/dx를 찾으시겠습니까?

해결책:

방법 1(암시적 미분 사용)

주어진, 그리고 = 코사인 ^-1(-2 엑스 ²)

⇒ 왜냐하면 그리고 = -2 엑스 ²

양면 wrt x 구별

d/dx{cos y} = d/dx{-2x²}

{-sin y}.dy/dx = -4x

dy/dx = 4x/sin y

단순화

없이²그리고 + 왜냐하면²와이 = 1

없이²및 + (-2x²)²= 1 {cos y = -2x와 같이²}

없이²와이 + 4x⁴= 1

없이²y = 1 – 4x⁴

죄 y = √(1 – 4x⁴)

우리가 얻은 값을 넣으면,

dy/dx = 4x/√{1 – 4x⁴}

⇒ dy/dx = 4(1/2)/√{1 – 4(1/2)⁴}

⇒ dy/dx = 2/√{1 – 1/4}

⇒ dy/dx = 2/√{3/4}

⇒ dy/dx = 4/√3

방법 2(cos 역 x의 미분을 알고 있으므로 연쇄 법칙 사용)

주어진, 그리고 = 코사인 ^-1(-2 엑스 ²)

양면 wrt x 구별

egin{aligned} frac{dy}{dx} &=frac{d}{dx} cos^{-1}(-2x^2) &=frac{-1}{sqrt{1-(-2x^2)^2}} . (-4x) &=frac{4x}{sqrt{1-4x^4}} &=frac{4(frac{1}{2})}{sqrt{1-4(frac{1}{2})^4}} &=frac{2}{sqrt{1-frac{1}{4}}} &=frac{4}{sqrt{3}} end{aligned}

예시 5: 차별화 egin{aligned}sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) end{aligned}

솔루션:

허락하다,

egin{aligned} y = sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) end{aligned}

양면 wrt x 구별

egin{aligned} frac{dy}{dx} &= frac{d}{dx}sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) &= frac{1}{sqrt{1-(frac{1-x}{1+x})^2}} . frac{d}{dx}(frac{1-x}{1+x}) &= frac{1+x}{sqrt{(1+x)^2-({1-x})^2}} . frac{-(1+x)-(1-x)}{(1+x)^2} &= frac{1}{sqrt{(1+x)^2-({1-x})^2}} . frac{-2}{(1+x)} &= frac{1}{sqrt{4x}} . frac{-2}{(1+x)} &= frac{-1}{sqrt{x}(1+x)} end{aligned}

역삼각 미분 문제

역삼각 미분 질문에 대해 다음 질문을 시도해 보세요.

Q1: 죄를 구별하라 ^-1 (3배 – 4배 ^삼 ) x ϵ -1/2의 경우