원뿔대 - 정의, 속성, 공식 및 예

원뿔 절두체는 밑면과 평행한 평면으로 원뿔을 절단할 때 형성되는 특별한 모양입니다. 원뿔은 밑면이 원형이고 꼭지점이 있는 3차원 모양입니다. 따라서 원뿔 절두체는 원형 밑면과 평행한 평면을 가진 원뿔의 일부를 제거하여 형성된 고체 볼륨입니다. 절두체는 원뿔에 대해 정의될 뿐만 아니라 다양한 유형의 피라미드(사각형 피라미드, 삼각형 피라미드 등)에 대해서도 정의될 수 있습니다.

우리가 일상생활에서 흔히 볼 수 있는 원뿔대 모양으로는 양동이, 전등갓 등이 있습니다. 이 기사에서 원뿔 절두체에 대해 자세히 알아 보겠습니다.

원뿔 절두체란 무엇입니까?

절두체(Frustum)는 조각을 의미하는 라틴어이므로 원뿔 절두체는 원뿔의 단단한 조각입니다. 언제 오른쪽 원형 원뿔 원뿔의 밑면과 평행한 평면으로 절단된 모양을 원뿔 절두체라고 합니다. 아래 주어진 그림은 평면이 원뿔의 절두체를 형성하기 위해 밑면에 평행하게 원뿔을 절단하는 방법을 보여줍니다.

원뿔 조각

이제 원뿔 절두체는 다음과 같이 쉽게 정의됩니다.

직원뿔을 밑면과 평행한 평면으로 잘라낸 경우 절단면과 밑면 사이의 부분 모양을 원뿔대라고 합니다.

원뿔 조각의 순

3차원(3D) 모양을 잘라서 2차원 모양으로 만든 경우 이렇게 얻은 모양을 그물이라고 합니다. 그림의 그물이 올바른 방식으로 적절하게 접히면 원하는 3D 모양이 형성된다고 가정할 수 있습니다. 아래 주어진 이미지는 원뿔 절두체의 그물을 보여줍니다.

원뿔 조각의 순

원뿔 조각의 특성

원뿔 절두체의 특성은 원뿔과 매우 유사하며, 원뿔 절두체의 중요한 특성 중 일부는 다음과 같습니다.

원뿔의 밑면은 원래 원뿔이 원뿔의 절두체에 포함되어 있지만 꼭지점은 절두체에 포함되어 있지 않습니다.
원뿔의 절두체 공식은 높이와 두 개의 반경(상단 및 하단 베이스에 해당)에 따라 달라집니다.
원뿔 절두체의 높이는 두 밑면의 중심 사이의 수직 거리입니다.

원뿔 조각의 공식

원뿔대(Frustum of Cone)는 탁상스탠드, 양동이 등 우리 일상생활에서 흔히 볼 수 있는 형태이다. 원뿔대에 대한 중요한 공식은 다음과 같다.

원뿔 조각의 부피
원뿔대 표면적

아래에서 이 공식에 대해 자세히 알아보겠습니다.

원뿔 조각의 부피

원뿔대(Frustum of cone)는 큰 원뿔에서 작은 원뿔이 제거된 원뿔의 얇게 썬 부분입니다. 따라서 원뿔 절두체의 부피를 계산하려면 더 큰 원뿔과 작은 원뿔의 부피 차이를 계산하면 됩니다.

원뿔 절두체의 부피

가정해보자,

원뿔의 전체 높이는 H + h입니다.
총 경사 높이는 l' + L이 됩니다.
완전한 원뿔의 반지름은 r입니다.
얇게 썬 원뿔의 반지름은 r'입니다.

원뿔의 부피는 V = 1/3πr로 주어지므로²시간

완전한 원뿔 V의 부피₁= 1/3πr²(H+h)

더 작은 원뿔 V의 부피₂=1/3πr'²(시간)

이제 원뿔대(V)의 부피는 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

V=V₁- 안에₂

V = 1/3πr²(H+h) - 1/3πr'²(시간)

V= 1/3π[r²(H+h) - r'²(h)]…(1)

△OCD와 △OAB의 삼각형의 유사성을 이용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

r / (H + h) = r' / h

r / r' = (H + h) / h

H + h = 시간 / r'

방정식 (1)에서 이 값을 (H+h)로 대체하고 단순화하면 다음과 같습니다.

V = 1/3π[r²(rh / r') – r'²(시간)}

= 1/3π[{시간^삼– 시간'^삼} / r']…(2)

다시 △OCD와 △OAB에서 닮음삼각형의 성질을 이용하여 h의 값을 알아본다.

r / (H + h) = r' / h

r / r' = (H + h) / h

rh = (H + h)r'

rh = 시간' + 시간'

(r -r')h = Hr'

h = 시간' / (r -r')

방정식 (2)에 이러한 값을 대입하면,

V = 1/3π[{r^삼시 - 아르^삼h} / r']

= 1/3π[{r^삼- 르'^삼}h / r']

= 1/3π[{r^삼- 르'^삼}{시간' / (r – r')} / r']

= 1/3πH(r²+ 르'²+rr')

따라서,

원뿔 절두체의 부피 = 1/3 πH(r ² + 르' ² + rr')

원뿔대 표면적

원뿔대 표면적은 다음과 같은 차이로 계산할 수 있습니다. 완전한 원뿔의 표면적 그리고 더 작은 원뿔(완전한 원뿔에서 제거됨). 원뿔 절두체의 표면적은 아래 다이어그램을 사용하여 계산할 수 있습니다. 여기서는 곡면의 표면적과 원뿔 절두체의 상단 및 하단 표면의 표면적을 합산해야 합니다.

원뿔대 표면적

원뿔 절두체의 부피와 유사하게, 곡면적 표면적은 더 큰 원뿔과 작은 원뿔의 표면적 차이와 같습니다.

위에 주어진 그림에서 삼각형 OAB와 OCD는 유사합니다. 따라서 유사성 기준을 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

l' / l = r' / r…(1)

l’ = l – L이므로 식 (1)로부터,

(l – L) / l = r' / r

교차곱셈을 한 후,

lr - Lr = lr'

l(r – r') = Lr

l = Lr / (r – r')…(2)

완전한 원뿔의 곡면적 = πrl

작은 원뿔의 곡면적 = πr'l'

완전한 원뿔과 작은 원뿔의 곡면적 차이 = π (rl – r'l')

따라서 원뿔 절두체의 곡면적(CSA) = πl(r – r'l'/l)

식(1)을 사용하여 위 식에 l'/l의 값을 대입하고 단순화합니다.

원뿔대 CSA = πl (r – r'×r'/r) = πl (r²- 르'²)/아르 자형

이제 방정식 (2)에서 l의 값을 대체하고 단순화하면

원뿔대 CSA = πlr/(r – r')× (r²- 르'²)/r = πl(r + r')

따라서 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

원뿔대 곡선 표면적 = πl (r + r')

이제 원뿔 절두체의 상단 및 하단 베이스의 표면적을 계산해 보겠습니다.

반지름이 r' = πr'인 원뿔대 꼭대기 밑면의 표면적²

반경 r = πr을 갖는 원뿔대 밑면의 표면적²

그래서,

원뿔대 전체 표면적 = 원뿔대 곡선 표면적 + 상단 베이스 표면적 + 하단 베이스 표면적

그러므로,

원뿔 절두체의 전체 표면적 = πl(r + r') + πr'²+ πr²= πl(r + r') + π(r²+ 르'²)

따라서 원뿔 절두체의 전체 표면적은 = πl (r + r') + π (r²+ 르'²)

이 공식은 다음과 같이 쓸 수도 있습니다.

원뿔 절두체의 전체 표면적은 = πl(r²- 르'²)/r + π(r²+ 르'²)

따라서 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

원뿔대 전체 표면적 = πl(r + r') + π (r ² + 르' ² )

또는

원뿔대 전체 표면적 = πl(r ² - 르' ² )/r + π(r ² + 르' ² )

l은 다음과 같이 주어질 수 있는 작은 원뿔의 경사 높이입니다.

L = √ [H ² + (r - r') ² ]

더 읽어보기

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구의 부피

원뿔 조각에 대한 해결된 예

예 1: 높이가 15cm이고 두 밑면의 반지름이 5cm와 8cm인 원뿔 절두체의 부피를 알아보세요.

해결책:

위에서 연구한 공식을 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

V = 1/3πH(r²+ 르'²+ rr')

주어진,

높이 = 15cm
r'= 5cm
r = 8cm

V = 1/3 π15(8²+ 5²+ 40)

V = 5π(129)

V = 645π cm^삼

예시 2: 높이가 10 cm이고 두 밑면의 반지름이 4 cm와 8 cm인 원뿔 절두체의 표면적과 전체 표면적을 구하십시오.

해결책:

우리는 절두체의 표면적과 전체 표면적에 대한 공식을 알고 있습니다. 필요한 값을 연결해야 합니다.

절두체의 곡선 표면적 = πl(r+r')

어디,
L = √ [H²+ (R – r)²]

주어진,
높이 = 10cm
r = 4cm
R = 8cm

L의 값을 계산하면,

L = √ [10²+ (8 – 4)²]

= √(100+16) = √(116)

절두체의 곡면적 = πL(R+r)

= π√(116)×(8+4)

= 48π√(29)

전체 표면적 = 절두체의 곡면적 + 두 베이스의 면적

= 48π√(29) + π(8)²+p(4)²

= 48π√(29) + 64π + 16π

= 48π√(29) + 80πcm²

예 3: 높이가 50cm이고 밑면의 반경이 10cm와 20cm인 열린 금속 양동이가 있다고 가정해 보겠습니다. 해당 지역을 찾아보세요. 양동이를 만드는 데 사용되는 금속 시트.

해결책:

Bucket은 바닥이 닫힌 절두체 형태입니다. 우리는 이 절두체의 전체 표면적을 계산해야 합니다.

주어진
높이 = 50cm
r '= 10cm
r = 20cm

절두체의 곡면적 = πL(R+r)

L = √ [H²+ (r - r')²]

L = √ [50²+ (20 – 10)²]

= √(2500+100) = √(2600)

= √100(26) = 10√(26)

절두체의 곡면적 = πL(R+r)

= π10√(26)×(20+10)

= 300π√(26)

전체 표면적 = 절두체의 곡면적 + 두 베이스의 면적

= 300π√(26) + π(20)²+π(10)²

= 300π√(26) + 400π + 100π

= (300π√(26) + 500π)cm²

예 4: 높이가 6y이고 반지름이 각각 y와 2y인 경우 절두체의 부피 표현을 알아보세요.

해결책:

위에서 연구한 공식을 사용하면,

V = 1/3πH(r²+ 르'²+ rr')

주어진,

H = 6년
r'=y
r = 2년

V = 1/3 π6[(2y)²+ (그리고)²+ (년)(2년)]

V = 2πy(7y²)

V = 14πy^삼단위^삼

원뿔 조각에 대한 FAQ

질문 1: 원뿔 절두체란 무엇입니까?

답변:

절단면이 원뿔의 밑면과 평행하도록 원뿔을 자르는 경우. 이렇게 얻은 결과 수치를 원뿔대(Frustum of the Cone)라고 합니다.

질문 2: 원뿔대 공식이란 무엇입니까?

답변:

원뿔 절두체의 공식은 아래에 설명되어 있습니다. 그러면 밑면 반경 'R', 상단 반경 'r', 높이 'H', 경사 높이의 절두체를 취하고,

원뿔 조각의 부피(V) = 1/3πH(r²+ rr' + r'²)

원뿔대 전체 표면적 = πl (r + r') + π (r'²+ r²).

질문 3: 절두체의 CSA는 무엇입니까?

답변:

원뿔 절두체의 곡면적은 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.
자바라면 그렇지 않으면

CSA = πl(r + r')

어디,
아르 자형' 절두체의 위쪽 원의 반경입니다.
아르 자형 반경 기준입니다
엘 경사 높이입니다

질문 4: 원뿔대 표면적은 얼마입니까?

답변:

원뿔 절두체의 표면적은 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.

원뿔 조각의 CSA = πl [ (r²- 르'²) / r' ]

원뿔대 TSA = π (r²+ 르'²) + πl [(r²- 르'²) / r']

질문 5: 원뿔 절두체의 부피는 얼마입니까?

답변:

원뿔 절두체의 부피는 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.

V = 1/3πh[ (r^삼- 르'^삼) / r']

V = 1/3πH(r²+ rr' + r'²)