완성 한계 영역에서 함수의 작은 값을 합산하는 과정입니다. 그것은 차별화와 정반대이다. 통합은 역도함수라고도 합니다. 아래 기사에서는 삼각함수 통합에 대해 설명했습니다.

아래는 주어진 기능을 통합하는 예입니다.

예를 들어, 함수 f(y) = y를 생각해 보세요.².

이 기능은 다음과 같이 통합될 수 있습니다.

∫y²당신 =frac{y^{2+1}}{2+1}~+~C

그러나 부정 적분 다른 함수의 역도함수를 취하는 함수입니다. 마지막에는 적분 기호(∫), 함수, 함수의 미분으로 표현됩니다. 부정 적분은 역도함수를 기호화하는 더 쉬운 방법입니다.

적분이 무엇인지 수학적으로 알아봅시다. 함수 f(x)의 적분은 F(x)로 주어지며 다음과 같이 표현됩니다.

∫f(x)dx = F(x) + C

여기 R.H.S. 방정식의 는 x에 대한 f(x)의 적분을 의미하고, F(x)는 역도함수 또는 원시라고 하며, f(x)는 피적분 함수라고 하고, dx는 적분 에이전트라고 하며, C는 적분 상수라고 합니다. 임의의 상수이고 x는 적분 변수입니다.

삼각 함수의 몇 가지 중요한 적분

다음은 기본에 대한 부정 적분의 몇 가지 중요한 공식 목록입니다. 삼각함수 다음과 같이 기억해야 합니다.

• ∫ 사인 x dx = -cos x + C
• ∫ cos x dx = 사인 x + C
• ∫초²x dx = 황갈색 x + C
• ∫ 코섹²x dx = -cot x + C
• ∫ 초 x tan x dx = 초 x + C
• ∫ cosec x cot x dx = -cosec x + C
• ∫ tan x dx = ln | 초 x | +C
• ∫ cot x dx = ln | 죄 x | + 씨
• ∫ 초 x dx = ln | 초 x + 황갈색 x | + 씨
• ∫ cosec x dx = ln | cosec x - 유아용 x | + 씨

여기서 dx는 x, C의 파생물입니다. 는 적분 상수이고 ln은 로그 모듈러스 내부 함수(| |).

일반적으로 삼각함수에 기초한 부정적분의 문제는 대입법으로 해결됩니다. 그럼 대체 적분법에 대해 다음과 같이 자세히 살펴보겠습니다.

대체에 의한 적분

이 방법에서는 대체에 의한 통합 , 주어진 적분은 독립 변수를 다른 변수로 대체함으로써 단순한 형태의 적분으로 변환됩니다. 더 나은 이해를 위해 예를 들어 보겠습니다.

예: 단순화 ∫ 3x ² 죄(x ^삼 ) dx.

답변:

I = ∫ 3x라고 하자²죄(x^삼) dx.

주어진 적분을 평가하기 위해 다음과 같이 모든 변수를 새 변수로 대체할 수 있습니다.

x하자^삼주어진 적분에 대해 t가 되어야 합니다.

그러면 dt = 3x²dx

그러므로,

나는 = ∫ 3x²죄(x^삼) dx = ∫ 죄 (x^삼) (3x²dx)

이제 x를 t로 대체하세요.^삼3x의 경우 dt²위 적분에서 dx.

나는 = ∫ 죄 (t) (dt)

컴퓨터가 발명된 해는 언제입니까?

∫ sin x dx = -cos x + C이므로

나는 = -비용 t + C

다시, x를 다시 대체하세요.^삼t에 대한 표현식은 다음과 같습니다.

나는 = ∫ 3x ² 죄(x ^삼 ) dx = -cos x ^삼 + 씨

이는 필수 적분입니다.

따라서 대체에 의한 통합의 일반적인 형태는 다음과 같습니다.

∫ f(g(x)).g'(x).dx = f(t).dx

여기서 t = g(x)

일반적으로 치환에 의한 적분법은 피적분에도 존재하는 도함수를 갖는 함수를 치환할 때 매우 유용합니다. 이렇게 하면 함수가 단순화되고 적분의 기본 공식을 사용하여 함수를 적분할 수 있습니다.

미적분학에서 치환법에 의한 적분법은 역연쇄법칙(Reverse Chain Rule) 또는 U-대체법(U-Substitution Method)으로도 알려져 있습니다. 이 방법을 사용하면 특수한 형식으로 설정할 때 적분 값을 찾을 수 있습니다. 이는 주어진 적분의 형식이 다음과 같다는 것을 의미합니다.

더 읽어보기,

• 수학에서의 미적분학
• 적분
• 적분 미적분학
• 삼각 함수의 차별화
• 삼각 방정식

삼각함수 적분에 관한 샘플 문제

문제 1: 다음 함수의 적분을 구합니다: f(x) = cos ^삼 엑스.

해결책:

주어진 함수의 적분을 다음과 같이 고려해 보겠습니다.

스프링 초기화

나는 = ∫ 왜냐하면^삼xdx

다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

나는 = ∫ (cos x) (cos²엑스) dx

삼각함수 항등식 사용 코사인²x = 1 – 죄²x, 우리는 얻습니다

I = ∫ (cos x) (1 – 죄²엑스) dx

⇒ I = ∫ cos x – cos x 죄²xdx

⇒ I = ∫ cosx dx – ∫ cosx sin²xdx

∫ cos x dx = sin x + C로서,

따라서 I = 죄 x – ∫ 죄²x cos x dx . . . (1)

하자, 죄 x = t

⇒ cos x dx = dt.

위 적분의 두 번째 항에서 sin x를 t로, cos x dx를 dt로 대체합니다.

나는 = 죄 x – ∫ t²dt

⇒ 나 = 죄 x – t^삼/3 + C

이번에도 식에서 t를 back sin x로 대체합니다.

따라서 ∫cos ^삼 x dx = 죄 x – 죄 ^삼 x / 3 + C.

문제 2: f(x) = sin인 경우 ² (x) 왜냐하면 ^삼 (x) 그런 다음 ∫ sin을 결정합니다. ² (x) 왜냐하면 ^삼 (엑스)dx.

해결책:

주어진 함수의 적분을 다음과 같이 고려해 보겠습니다.

나 = ∫죄²(x) 왜냐하면^삼(엑스)dx

삼각함수 항등식 사용 코사인²x = 1 – 죄²x, 우리는 얻습니다

나 = ∫죄²x (1 – 죄²x) cos x dx

프라임 자바에는 코드가 없습니다

sin x = t라고 하면,

⇒ dt = cos x dx

위의 적분에서 이를 다음과 같이 대체합니다.

나는 = ∫ 티²(1 – 티²) DT

⇒ 나는 = ∫ 티²– t⁴dt

⇒ 나는 = t^삼/ 3 – t⁵/ 5 + 씨

위 적분에서 t의 값을 다음과 같이 대체합니다.

그러므로 나 = 죄 ^삼 x / 3 – 없음 ⁵ x / 5 + C.

문제 3: f(x) = sin이라고 하자 ⁴ (x) 그런 다음 ∫ f(x)dx를 찾습니다. 즉 ∫ 죄 ⁴ (엑스)dx.

해결책:

주어진 함수의 적분을 다음과 같이 고려해 보겠습니다.

나 = ∫죄⁴(엑스)dx

⇒ 나 = ∫ (없이²(엑스))²dx

삼각함수 항등식 사용; 죄²(x) = (1 – cos (2x)) / 2, 우리는 다음을 얻습니다.

나는 = ∫ {(1 – cos (2x)) / 2}²dx

⇒ I = (1/4) × ∫ (1+cos²(2x)-2cos2x)dx

⇒ I = (1/4) × ∫ 1 dx + ∫ cos²(2x) dx – 2 ∫ cos2x dx

⇒ I = (1/4) × [ x + ∫ (1 + cos 4x) / 2 dx – 2 ∫ cos2x dx ]

⇒ I = (1/4) × [ 3x / 2 + 죄 4x / 8 – 죄 2x ] + C

⇒ I = 3x / 8 + 죄 4x / 32 – 죄 2x / 4 + C

따라서 ∫ 죄 ⁴ (x) dx = 3x / 8 + 죄 4x / 32 – 죄 2x / 4 + C

문제 4: 적분을 구하라 old{intfrac{e^{tan^{-1}x}}{1+x^2} dx} .

해결책:

주어진 함수의 적분을 다음과 같이 고려해 보겠습니다.

I =int frac{e^{tan^{-1}x}}{1+x^2} dx

t = 황갈색이라고 하자^-1x . . . (1)

이제 x에 대해 양쪽을 구별합니다.

dt = 1 / (1+x²) dx

따라서 주어진 적분은 다음과 같습니다.

나는 = ∫ 전자^티dt

⇒ 나 = 전자^티+씨. . . (2)

Q2는 언제 시작해요?

(2)에서 (1)의 값을 다음과 같이 대체합니다.

⇒I = e^{tan^{-1}x} + C

주어진 기능에 필요한 통합은 무엇입니까?

문제 5: 다음과 같이 정의된 함수 f(x)의 적분을 구합니다.

f(x) = 2x cos (x ² – 5) DX

해결책:

주어진 함수의 적분을 다음과 같이 고려해 보겠습니다.

나는 = ∫ 2x cos (x²– 5) DX

하자 (x²– 5) = t . . . (1)

이제 x에 대해 양변을 다음과 같이 미분합니다.

2x dx = dt

위의 적분에 이 값을 대입하면,

나는 = ∫ cos (t) dt

⇒ I = 죄t + C . . . (2)

방정식 (2)의 값 방정식 (1)을 다음과 같이 대체하십시오.

⇒ 나 = 죄 (x²– 5) + 다

이는 해당 기능에 필요한 통합입니다.

문제 6: 주어진 부정 적분 값 I = ∫ cot (3x +5) dx를 구하십시오.

해결책:

주어진 적분은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

I = ∫ cot (3x +5) dx

⇒ I = ∫ cos(3x +5) / sin(3x +5) dx

t = sin(3x + 5)라고 하자.

⇒ dt = 3 cos (3x+5) dx

⇒ cos (3x+5) dx = dt / 3

따라서,

나는 = ∫ dt / 3 죄 t

⇒ I = (1 / 3) ln | 티 | + 씨

위 식에서 t를 sin(3x+5)로 바꾸세요.

나는 = (1 / 3) ln | 죄 (3x+5) | + 씨

이는 해당 기능에 필요한 통합입니다.

삼각함수 통합 – FAQ

삼각함수의 적분이란 무엇입니까?

삼각함수의 적분은 이름에서 알 수 있듯이 삼각함수의 적분이나 역도함수를 계산하는 과정입니다. 이는 삼각함수 미분의 역과정입니다.

기본 삼각 함수란 무엇입니까?

기본 삼각 함수는 다음과 같습니다.

세트 대 지도

• 사인(없음),
• 코사인(cos),
• 탄젠트(황갈색),
• 코탄젠트(엘보우),
• 시컨트(초) 및
• 코시컨트(csc).

사인(sin)과 코사인(cos) 함수를 어떻게 통합합니까?

사인과 코사인 함수를 통합하려면 다음 공식을 사용할 수 있습니다.

• ∫ 죄(x) dx = -cos(x) + C
• ∫ cos(x) dx = sin(x) + C

어디 씨 는 적분의 상수입니다.

탄젠트(tan) 삼각 함수의 적분이란 무엇입니까?

탄젠트 함수의 적분은 다음과 같이 주어진다:

∫ tan(x) dx = -ln|cos(x)| +C

어디,

• 에 자연로그를 나타내고,
• 씨 는 적분의 상수입니다.

시컨트(Sec) 삼각 함수의 적분을 찾는 방법은 무엇입니까?

시컨트 함수의 적분은 다음과 같이 제공됩니다.

∫ 초(x) dx = ln|초(x) + tan(x)| + 씨

어디,

• 에 자연로그를 나타내고,
• 씨 는 적분의 상수입니다.

코탄젠트(cot) 삼각 함수의 적분이란 무엇입니까?

코탄젠트 함수의 적분은 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

∫ cot(x) dx = ln|sin(x)| + 씨

어디,

• 에 자연로그를 나타내고,
• 씨 는 적분의 상수입니다.

코시컨트(cosec) 함수의 적분을 찾는 방법은 무엇입니까?

코시컨트 함수의 적분은 다음과 같이 주어진다:

∫ cosec(x) dx = ln| cosec x – 유아용 x | + 씨

어디,

• 에 자연로그를 나타내고,
• 씨 는 적분의 상수입니다.