국소 최대값과 최소값 해당 함수의 최고 및 최저 범위를 정의하는 함수 포인트를 참조하세요. 함수의 미분을 사용하여 로컬 최대값과 로컬 최소값을 계산할 수 있습니다. Local Maxima와 Minima는 1차 미분 테스트와 2차 미분 테스트를 모두 사용하여 찾을 수 있습니다.

이 글에서는 Local Maxima와 Minima의 소개, 정의, 중요한 용어와 그 의미에 대해 논의하겠습니다. 또한 수학에서 국소 최대값과 최소값을 계산하는 다양한 방법을 이해하고 계산법 . 또한 이 글의 개념을 더 잘 이해할 수 있도록 다양한 예시를 풀고 연습문제를 제공하겠습니다.

내용의 테이블

• 로컬 최대값과 로컬 최소값이란 무엇입니까?
• 국소 최대값과 국소 최소값의 정의
• 국소 최대값 및 국소 최소값과 관련된 용어
• 국소 최대값과 최소값을 찾는 방법은 무엇입니까?
• 국소 최대값 및 국소 최소값에 대한 예

로컬 최대값과 로컬 최소값이란 무엇입니까?

Local Maxima와 Minima는 특정 구간의 최대값과 최소값을 의미합니다. 로컬 최대값은 다음과 같은 경우에 발생합니다. 기능 특정 지점 근처의 함수 값은 항상 같은 지점의 함수 값보다 낮습니다. Local Minima의 경우 특정 지점 근처의 함수 값은 항상 같은 지점의 함수 값보다 큽니다.

간단히 말해서 함수가 특정 구간에서 가장 높은 값에 도달하는 지점을 로컬 최대값이라고 하고, 특정 구간에서 함수가 가장 낮은 값에 도달하는 지점을 로컬 최소값이라고 합니다.

예를 들어, 언덕이 많은 지역에 가서 언덕 꼭대기에 섰다면 그 지점은 주변에서 가장 높은 지점에 있기 때문에 해당 지점을 로컬 최대점이라고 합니다. 마찬가지로, 강이나 바다의 가장 낮은 지점에 서 있는 경우 주변에서 가장 낮은 지점에 있기 때문에 해당 지점을 로컬 최소점이라고 합니다.

국소 최대값과 국소 최소값의 정의

로컬 최대값 및 최소값은 최고 및 최저 출력 값과 같은 경계에 대한 아이디어를 얻기 위한 모든 함수의 초기 값입니다. Local Minima와 Local Maxima는 Local Extrema라고도 합니다.

로컬 최대값

국소 최대점(Local Maxima point)은 함수가 특정 간격 내에서 최대값에 도달하는 함수의 지점입니다. 함수 f(a)의 점(x = a)은 f(a)의 값이 f(x)의 모든 값보다 크거나 같을 경우 로컬 최대값이라고 합니다.

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수학적으로 f(a) ≥ f(a -h) 및 f(a) ≥ f(a + h) 여기서 h> 0인 경우 a를 로컬 최대점이라고 합니다.

지역최소

국소 최소점(Local Minima point)은 함수가 특정 간격 내에서 최소값에 도달하는 함수의 점입니다. 함수 f(a)의 점(x = a)은 f(a)의 값이 f(x)의 모든 값보다 작거나 같으면 국소 최소값이라고 합니다.

수학적으로 f(a) ≤ f(a -h) 및 f(a) ≤ f(a + h) 여기서 h> 0인 경우 a를 국소 최소점이라고 합니다.

국소 최대값 및 국소 최소값과 관련된 용어

Local Maxima 및 Minima와 관련된 중요한 용어는 아래에 설명되어 있습니다.

최대값

어떤 함수가 x의 입력 값에 대한 최대 출력 값을 제공하는 경우. x의 값을 최대값이라고 합니다. 특정 범위 내에서 정의된 경우. 그러면 그 지점이 호출됩니다. 로컬 최대값 .

절대 최대

어떤 함수가 함수의 전체 범위를 따라 x의 입력 값에 대한 최대 출력 값을 제공하는 경우. x의 값을 절대 최대값이라고 합니다.

최소값

어떤 함수가 x의 입력 값에 대한 최소 출력 값을 제공하는 경우. x의 값을 최소값이라고 합니다. 특정 범위 내에서 정의된 경우. 그러면 그 지점이 호출됩니다. 지역최소 .

절대 최소

어떤 함수가 함수의 전체 범위를 따라 x의 입력 값에 대한 최소 출력 값을 제공하는 경우. 해당 x 값을 절대 최소값이라고 합니다.

반전 지점

주어진 함수 범위 내에서 x 값이 가장 높은 출력과 가장 낮은 출력을 나타내지 않는 경우를 반전 지점이라고 합니다.

더 알아보기, 절대 최대값과 최소값

국소 최대값과 최소값을 찾는 방법은 무엇입니까?

Local Maxima와 Minima는 특정 범위에 대해서만 결정되며, 전체 함수에 대한 최대값과 최소값이 아니며 함수 전체 범위에 적용되지 않습니다.

Local Maxima와 Minima를 계산하는 방법은 다음과 같습니다. 이것들은:

• 첫 번째 단계에서는 함수의 미분을 취합니다.

• 두 번째 단계에서는 도함수를 0으로 설정하고 c의 임계점을 계산합니다.

• 세 번째 단계에서는 다음을 사용합니다. 1차 미분 그리고 2차 미분 테스트 로컬 최대값과 로컬 최소값을 결정합니다.

1차 미분 테스트란 무엇입니까?

먼저, 함수의 기울기를 제공하는 함수의 1차 도함수를 취합니다. 함수의 기울기는 최대점에 가까워질수록 증가하다가 최대점에서 0이 되고, 그 이후에는 최대점에서 멀어질수록 감소합니다.

마찬가지로 최소점에서도 최소점에 가까울수록 곡선의 기울기는 감소하고, 최소점에서는 0이 되며, 그 이후에는 그 점에서 멀어질수록 증가합니다.

열린 구간 I에서 임계점 c에서 연속인 함수 f(x)를 취하고, f'(c) = 0은 임계점 c = 0에서의 기울기를 의미합니다.

임계점 c 주변의 f'(x)의 특성을 확인하기 위해 1차 미분 테스트에서 로컬 최대값과 최소값을 결정하기 위한 다음 조건을 갖습니다. 이러한 조건은 다음과 같습니다.

• x가 c를 통해 증가함에 따라 f ′(x)의 부호가 양수에서 음수로 변경되면 f(c)는 주어진 범위에서 해당 함수의 가장 높은 값을 표시합니다. 따라서 점 c는 로컬 최대점입니다. 즉, c의 왼쪽에 충분히 가까운 임의의 점에서 1차 도함수 f '(x)> 0이고 c의 오른쪽에 충분히 가까운 임의의 점에서 f '(x) <0인 경우입니다.

• x가 c를 통해 증가함에 따라 f ′(x)의 부호가 음수에서 양수로 변경되면 f(c)는 주어진 범위에서 해당 함수의 가장 낮은 값을 표시합니다. 따라서 c의 오른쪽에 충분히 가까운 임의의 점에서 1차 도함수 f'(x) 0이 있으면 점 c는 국소 최소점입니다.

• c를 통해 x가 증가하면서 f'(x)가 부호를 크게 변경하지 않으면 점 c는 함수의 가장 높은 값(Local Maxima)과 가장 낮은 값(Local Minima)을 표시하지 않습니다. 이러한 경우 점 c는 다음과 같습니다. 변곡점이라고 합니다.

자세히 알아보기 첫 번째 파생 테스트 .

2차 미분 테스트란 무엇입니까?

2차 미분 테스트는 특정 구간 내에서 모든 함수의 절대 최대값과 절대 최소값을 알아내는 데 사용됩니다. 열린 구간 I에서 임계점 c에서 연속인 함수 f(x)를 취하고, f'(c) = 0은 임계점 c = 0에서의 기울기를 의미합니다. 여기서 우리는 2차 도함수 f를 취합니다. (x)는 함수의 기울기를 제공하는 함수 f(x)입니다.

f'(x)의 특성을 확인하기 위해 2차 미분 테스트에서 로컬 최대값과 최소값을 결정하는 다음 조건이 있습니다. 이러한 조건은 다음과 같습니다.

• 점 c는 1차 도함수 f'(c) = 0이고 2차 도함수 f(c) <0인 경우 국소 최대점입니다. x= c의 지점은 로컬 최대값이 되고 f(c)는 f(x)의 로컬 최대값이 됩니다.

• 1차 도함수 f'(c) = 0이고 f(c) 2차 도함수> 0인 경우 점 c는 로컬 최소점입니다. x= c의 점은 로컬 최소점이 되고 f(c)는 다음이 됩니다. f(x)의 국소 최소값.

• 테스트는 실패합니다. 1차 도함수 f'(c) = 0이고 2차 도함수 f(c) = 0이면 점 c는 함수의 가장 높은 값(Local Maxima)과 가장 낮은 값(Local Minima)을 표시하지 않습니다. , 이 경우 점 c를 변곡점이라 하고, 점 x = c를 변곡점.

또한 확인하세요

• 파생상품의 적용
• 상대 최대값과 최소값
• 차별화 및 통합 공식

국소 최대값 및 국소 최소값에 대한 예

예제 1: 함수 f(x) = 2x의 국소 최대값과 국소 최소값 분석 ^삼 – 3배 ² – 1차 미분 테스트를 사용하여 12x + 5.

해결책:

주어진 함수는 f(x) = 2x입니다.^삼– 3배²– 12x + 5

함수의 1차 도함수는 f'(x) = 6x입니다.²– 6x – 12, 중요한 점을 찾는 데 사용됩니다.

임계점을 찾으려면 f'(x) = 0;

6배²– 6x – 12 = 0

6(x²– x – 2) = 0

6(x + 1)(x – 2) = 0

따라서 임계점은 x = -1이고 x = 2입니다.

임계점 x = -1에 대한 1차 미분 즉시점을 분석합니다. 포인트는 {-2, 0}입니다.

f'(-2) = 6(4 + 2 – 2) = 6(4) = +24 및 f'(0) = 6(0 + 0 – 2) = 6(-2) = -12

도함수의 부호는 x = -1의 왼쪽으로 갈수록 양수이고 오른쪽으로 갈수록 음수입니다. 따라서 x = -1이 로컬 최대값임을 나타냅니다.

이제 임계점 x = 2에 대한 1차 미분 즉시점을 분석해 보겠습니다. 점은 {1,3}입니다.

f'(1) = 6(1 -1 -2) = 6(-2) = -12 및 f'(3) = 6(9 + -3 - 2) = 6(4) = +24

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도함수의 부호는 x = 2의 왼쪽으로 갈수록 음수이고, 오른쪽으로 갈수록 양수입니다. 따라서 x = 2가 로컬 최소값임을 나타냅니다.

따라서 로컬 최대값은 -1이고 로컬 최소값은 2입니다.

예 2: 함수 f(x) = -x의 국소 최대값 및 국소 최소값 분석 ^삼 +6배 ² 2차 미분 테스트를 사용하여 -12x +10입니다.

해결책:

주어진 함수는 f(x) = -x입니다.^삼+6배²-12x +10

함수의 1차 도함수는 f'(x) = -x입니다.^삼+6배²-12x +10, 임계점을 찾는 데 사용됩니다.

임계점을 찾으려면 f'(x) = 0;

f'(x) = -3x²+ 12x -12 = 0

3(-x²+ 4x – 3) = 0

엑스²– 4x + 3 = 0

(x – 1)(x – 3) = 0

따라서 임계점은 x = 1이고 x = 3입니다.

이제 함수의 2차 도함수를 취합니다.

f(x) = 6x – 12

임계점 x=1에서 f(x)를 계산합니다.

f(1) = 6(1) – 12 = 6 – 12 = -6

f(1) <0이므로 x = 1은 로컬 최대값에 해당합니다.

임계점 x = 3에서 f(x)를 계산합니다.

f(3) = 6(3) – 12 = 18 – 12 = 6

f(3)> 0이므로 x = 3은 로컬 최소값에 해당합니다.

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이제 중요한 지점에서 함수 값을 계산합니다.

f(1) = -(1)^삼+6(1)²-12(1) +10 = 3, 따라서 로컬 최대값은 (1, 3)입니다.

f(3) = -(3)^삼+6(3)²-12(3) +10 = 1, 따라서 로컬 최대값은 (3, 1)입니다.

국소 최소값과 최대값에 대한 연습 문제

Q1. 함수 f(x) = 2×3 – 3x의 국소 최대값과 국소 최소값 찾기²2차 미분 테스트를 사용하여 -12x +5.

Q2. 함수 f(x) = – x의 국소 최대값과 국소 최소값을 찾고 분석합니다.²2차 미분 테스트를 사용하면 +4x -5입니다.

Q3. 함수 f(x) = x의 국소 최대값과 국소 최소값 찾기²1차 미분 테스트를 사용하여 -4x +5.

Q4. 함수 f(x) = 3x의 국소 최대값과 국소 최소값을 찾아 분석합니다.²1차 미분 테스트를 사용하여 -12x +5.

Q5. 함수 f(x) = x의 국소 최대값과 국소 최소값을 찾고 분석합니다.^삼– 6배²1차 미분 테스트를 사용하면 +9x + 15입니다.

Q6. 함수 f(x) = 2x의 국소 최대값과 국소 최소값을 찾아 분석합니다.^삼-9배²2차 미분 테스트를 사용하여 +12x +5.

로컬 최대값 및 로컬 최소값 – FAQ

로컬 최대값이란 무엇입니까?

함수가 특정 간격에서 가장 높은 값에 도달하는 지점을 로컬 최대값이라고 합니다.

지역 최대값을 어떻게 찾을 수 있나요?

함수를 미분하여 기울기가 0이 되는 임계값을 구하면 Local Maximum을 찾을 수 있습니다.

지역 최소값이란 무엇입니까?

함수가 특정 간격에서 가장 낮은 값에 도달하는 지점을 로컬 최소값이라고 합니다.

국소 최대값과 국소 최소값을 계산하는 데 어떤 방법을 사용할 수 있습니까?

1차 미분 테스트와 2차 미분 테스트.

1차 미분 테스트와 2차 미분 테스트의 차이점은 무엇입니까?

1차 미분 검정은 lLcal 최대값과 로컬 최소값을 계산하는 근사 방법이며, 2차 미분 검정은 로컬 최대값과 로컬 최소값을 계산하는 체계적이고 정확한 방법입니다.

반전 지점의 의미는 무엇입니까?

주어진 함수 범위 내의 한 지점의 값이 가장 높은 출력과 가장 낮은 출력을 나타내지 않는 경우 해당 지점을 반전 지점이라고 합니다.

로컬 최대값과 로컬 최소값의 용도는 무엇입니까?

특정 범위 내에서 함수의 극값을 알아내는 것입니다.