ㅏ 기능 수학에서 입력 값 집합과 출력 값 집합 사이의 특별한 관계는 다음과 같습니다. 함수에서 각 입력 값은 특정 출력 값을 제공합니다. 우리는 수학에서 함수를 다음과 같이 표현합니다. y = f(x) 여기서 엑스 입력 값이고 각각에 대해 엑스 출력 값을 y로 얻습니다.

이번 글에서는, 수학에서의 함수, 다양한 유형, 예 및 기타 세부 사항.

내용의 테이블

• 수학에서 함수란 무엇인가요?
• 수학에서의 함수 정의
• 기능 예
• 함수의 조건
• 수학에서의 함수 표현
• 기능 식별
• 기능 유형
• 대수학에서 함수란 무엇입니까?
• 함수의 영역과 범위
• 기능 구성
• 함수 대수학
• 그래프의 함수란 무엇입니까?
• 그래프 기능
• 공통 기능
• 기능의 응용
• 기능에 대한 예
• 함수란 무엇인가에 대한 연습 문제

수학에서 함수란 무엇인가요?

수학에서 함수는 관계 주어진 세트의 입력 값(도메인)과 출력 값(범위) 사이에서 도메인 세트의 두 변수가 범위 세트의 동일한 변수에 연결되지 않도록 합니다. 수학 함수의 간단한 예는 f(x) = 2x이며 이는 R→R로 정의됩니다. 여기서 도메인의 모든 변수는 범위의 하나의 변수에만 관련됩니다.

수학의 함수에는 정의역(domain), 공역(codomain), 범위(range)가 있습니다. 정의역은 x의 가능한 모든 값의 집합이고, 함수의 범위는 y의 모든 출력 값의 집합입니다. 범위는 함수의 공동 도메인의 하위 집합입니다. 또한 수학에서의 함수는 고유한 출력을 갖는 관계이고 관계의 경우 함수에서 두 입력 값이 유사한 출력을 갖지 않는다고 말할 수도 있습니다.

수학에서의 함수 정의

함수는 정의된 관계를 통해 집합 A의 각 구성원을 집합 B의 고유한 구성원에 연결하는 특별한 관계 또는 방법입니다. 집합 A를 정의역(domain)이라 하고, 집합 B를 함수의 공동역(co-domain)이라고 합니다. 집합 A에서 집합 B까지의 수학 함수는 다음과 같이 정의됩니다.

f = ∀ a ∈ A, b ∈ B

모든 함수는 관계이지만 모든 관계는 함수가 아닙니다. 어떤 관계에 대한 기준은 함수에서 집합 A의 모든 요소가 집합 B에 단 하나의 이미지를 갖는 반면, 집합 A의 요소는 집합 B에 하나 이상의 이미지를 가질 수 있는 것과 같이 함수로 간주됩니다.

비어 있지 않은 세트 A에서 비어 있지 않은 세트 B까지 수학 함수를 정의합니다.

(a, b) ∈ f이면 f(a) = b

우리가 전화한 곳 비 의 이미지처럼 ㅏ 관계식으로 정의됨 에프 .

모든 요소 'ㅏ' A세트는 독특한 이미지를 갖고 있다' 비 ' 세트 B에서는 함수입니다.

기능 예

수학 f의 함수는 다음과 같이 정의됩니다. y = f(x) 여기서 엑스 는 입력 값이고 x의 각 입력 값에 대해 고유한 y 값을 얻습니다. R→R에 정의된 수학 함수의 다양한 예는 다음과 같습니다.

• y = f(x) = 3x + 4
• y = f(x) = 죄 x + 3
• y = f(x) = -3x²+ 3 등

함수의 조건

비어 있지 않은 두 집합 A와 B에 대해 함수 f: A→B 다음을 나타냅니다. 에프 는 A에서 B까지의 함수입니다. 여기서 ㅏ 도메인이고 비 공동 도메인입니다.

임의의 요소 a ∈ A에 대해 고유한 요소인 b ∈ B는 (a,b) ∈ f가 됩니다. a와 관련된 고유 요소 b는 f(a)로 표시되고 a의 f로 읽습니다. 이는 아래 이미지를 통해 더 잘 이해할 수 있습니다.

수직선 테스트

수직선 테스트는 곡선이 함수인지 여부를 확인하는 데 사용됩니다. 어떤 곡선이 둘 이상의 점에서 수직선을 자르면 곡선은 함수가 아닙니다.

수학에서의 함수 표현

우리는 수학에서 함수를 다음과 같이 표현합니다.

y = f(x) = x + 3

여기서 x 값의 집합은 함수의 정의역이고 y의 출력 값 집합은 함수의 공역입니다. 여기서 함수는 각 x에 대해 고유한 값을 제공하므로 모든 실수에 대해 정의됩니다. 그러나 함수를 두 부분으로 정의하는 경우 x의 각 값에 대한 출력을 얻는 것이 항상 가능한 것은 아닙니다. 이는 다음과 같이 이해될 수 있습니다.

• f(x) = 1/(x – 2), 여기서 x ≠ 2
• 에프(엑스) = 엑스²여기서 x ∈ {R}

우리는 수학에서 함수를 어떤 입력을 받아 고유한 출력을 제공하는 기계로 정의할 수 있습니다. 함수 f(x) = x²는 아래와 같이 정의됩니다.

우리는 다음과 같은 세 가지 방법으로 수학에서 함수를 표현할 수 있습니다.

• 순서쌍의 집합
• 테이블 형태
• 그래픽 형태

예를 들어, 함수를 f(x) = x로 표현하면^삼

AVL 트리 회전

동일한 기능을 표현하는 또 다른 방법은 다음과 같습니다. 순서쌍의 집합 처럼,

f = {(1,1), (2,8), (3,27)}

위에서 언급한 집합에서 함수의 정의역은 D = {1, 2, 3}이고 함수의 범위는 R = {1, 8, 27}입니다.

기능 식별

함수는 수학에서 특별한 유형의 관계로 분류됩니다. 기능을 식별하는 데 사용할 수 있는 규칙은 다음과 같습니다.

• 각 입력이 고유한 출력에 매핑되는 관계가 함수입니다. 이것은 일대일 함수를 호출합니다.
• 두 개의 입력(사전 이미지)이 하나의 출력으로 매핑되는 관계도 함수입니다. 이것은 다대일 함수입니다.
• 하나의 입력이 두 개의 서로 다른 출력으로 매핑되는 관계는 함수가 아닙니다.
• 특정한 규칙 없이 많은 입력이 많은 출력에 매핑되는 관계는 함수가 아닙니다.

기능 유형

다른 기능 유형 특히 곡선 및 방정식과 관련된 다양한 유형의 수학적 문제를 해결하는 데 사용됩니다. 수학에는 집합 A에서 집합 B로의 요소 매핑을 기반으로 하는 세 가지 주요 유형의 함수가 있습니다.

주입 기능 또는 일대일 기능

도메인의 각 요소가 공동 도메인에서 고유한 이미지를 갖는 기능을 주사 또는 일대일 기능 .

f: A → B는 f 아래에 있는 A의 개별 요소 이미지가 구별되는 경우 일대일 또는 단사적이라고 합니다. 즉,

파 ₁ ) = b ₁ , f(a ₂ ) = b ₂

어디서₁, ㅏ₂∈ A와 b₁, 비₂∈B

전사 함수 또는 Onto 함수

전사 함수(Surjective Function)는 codomain의 모든 요소가 정의역에 사전 이미지를 갖는 함수입니다. 그것은 또한 기능에 이는 codomain의 각 요소가 도메인의 각 요소와 연결되어 있음을 의미합니다. codomain의 어떤 요소도 빈 관계를 가져서는 안 됩니다. codomain과 range의 요소 개수는 동일합니다.

f: A → B는 위에 있다고 합니다. B의 모든 요소가 f 아래에 있는 A의 일부 요소의 이미지인 경우, 즉 모든 b ϵ B에 대해 f(a)를 충족하는 A의 요소 'a'가 존재합니다. =ㄴ.

전단사 기능

함수가 단사(일대일) 및 전사(Onto 함수)의 속성을 모두 갖는 경우 함수를 호출합니다. 전단사 기능 . 전단사 함수에서는 도메인의 각 요소가 공동 도메인의 각 요소와 관련되어 있으며 일대일 관계도 있습니다. 이는 공동 도메인과 범위의 요소 수가 동일하고 도메인이나 공동 도메인의 요소 중 빈 관계가 없음을 의미합니다.

출력값을 기준으로 함수를 홀수함수와 짝수함수로 분류합니다. 그들을 살펴보자

이상한 기능

홀수 함수는 원점에 대해 대칭을 나타내는 함수 유형입니다. 구체적으로, f(x)가 홀수 함수인 경우 f(-x) = -f(x)임을 나타냅니다.

짝수 함수

짝수함수(even function)는 y축에 대해 대칭을 나타내는 함수 유형입니다. 구체적으로, f(x)가 짝수 함수인 경우 f(-x) = f(x)를 나타냅니다.

대수학에서 함수란 무엇입니까?

의 함수 대수학 방정식에 넣을 수 있는 모든 x가 방정식에서 y와 같은 정확히 하나의 출력을 생성하는 방정식입니다. y = f(x)로 표현됩니다. 여기서 x는 독립변수이고 y는 종속변수입니다.

예를 들어:

• 와이 = 2x + 1
• 와이 = 3x – 2
• y = 4년
• y = 5/x

함수의 영역과 범위

도메인 및 범위 함수의 값은 각각 함수의 입력 값과 출력 값입니다. 예를 들어 f(x) = x로 주어진 함수가 있다고 가정해 보겠습니다.². 여기서 모든 실수를 x의 입력 값으로 사용할 수 있으며 출력은 항상 양의 실수가 됩니다. 따라서 그 정의역은 R로 표현되는 모든 실수의 집합이고, 그 범위는 R로 표현되는 양의 실수의 집합이다.⁺

기능 구성

f: A → B 및 g: B→ C는 두 가지 기능이 됩니다. 그러면 f와 g의 구성은 f(g)로 표시되고 다음과 같은 함수로 정의됩니다. x ∈ A에 대한 안개 = f(g(x)).

두 가지 함수 f(x) = x + 3 및 g(x) = 2x를 취하겠습니다.²

안개 = f(g(x))

⇒ 안개 = f(2x²)

⇒ 치아 = 2x²+ 3

더 알아보기, 기능의 구성

함수 대수학

함수의 대수는 두 함수 사이에서 수행되는 대수 연산을 포함합니다. x의 실수값에 대해 정의된 두 함수 f(x)와 g(x)에 대한 대수적 연산은 다음과 같습니다.

• (f + g) (x) = f(x) + g(x)
• (f – g) (x) = f(x) – g(x)
• (f.g) (x) = f(x).g(x)
• (kf(x)) = k(f(x)); {for, k는 실수이다}
• (f/g)(x) = f(x) /g(x); {g(x) ≠ 0의 경우}

그래프의 함수란 무엇입니까?

함수는 그래프로 쉽게 표현될 수 있습니다. 그래프의 모든 함수는 입력 및 해당 출력 값에 대해 매핑된 x-y 평면의 곡선(직선 포함)을 나타냅니다.

함수를 플롯하려면 먼저 함수 위에 있는 몇 가지 점을 찾은 다음 함수의 위치에 따라 이 점들을 결합합니다. 예를 들어 함수(직선) f(x) = y = 5x – 2를 그래프로 나타내려면 그래프에 어떤 점이 필요합니다. 그래프에서 점을 찾기 위해 먼저 임의의 x 값을 가져온 다음 해당 y 값을 찾습니다.

문자열을 자바와 비교

f(x) = y = 5x- 2

x = 0이면 y = 5(0) – 2 = -2 ⇒ (x, y) = (0, -2)

x = 1이면 y = 5(1) – 2 = 3 ⇒ (x, y) = (1, 3)

x = 2이면 y = 5(2) – 2 = 8 ⇒ (x, y) = (2, 8)

이제 이 점을 결합하면 함수 y = 5x – 2의 그래프를 얻을 수 있습니다.

그래프 기능

x의 값을 알면 함수 f(x)를 그래프로 표현할 수 있습니다. y = f(x)이기 때문에 x 값부터 시작하여 y와 관련된 값을 찾을 수 있습니다. 결과적으로 x와 y 값을 사용하여 좌표 평면에 그래프를 그릴 수 있습니다. 다음 시나리오를 고려해보세요.

y = x + 3이라고 가정

x = 0, y = 3일 때

비슷하게,

• x = -2, y = -2 + 3 = 1
• x = -1, y = -1 + 3 = 2
• x = 1, y = 1 + 3 = 4
• x = 2, y = 2 + 3 = 5
• x = 3, y = 3 + 3 = 6

결과적으로 이 값을 사용하여 함수 x + 3에 대한 그래프를 그릴 수 있습니다.

공통 기능

수학에서 일반적으로 사용되는 일부 공통 함수는 아래에 설명되어 있습니다.

실제 함수

실제 기능 수학에서 는 정의역과 범위가 실수(ℝ로 표시)의 부분 집합인 함수를 나타냅니다. 간단히 말해서 실수 함수는 각 실수 입력에 실수 값을 할당하는 수학적 규칙 또는 관계입니다.

실제 함수

다항식 함수

대수변수의 지수가 음이 아닌 정수인 함수를 다항식 함수 . 변수의 거듭제곱이 1이면 선형함수, 거듭제곱이 2이면 이차함수, 거듭제곱이 3이면 삼차함수라고 합니다. 다항식 함수의 몇 가지 예는 다음과 같습니다.

• 와이 = 엑스²
• 와이 = 2x + 3
• 와이 = 3x^삼

다항식 함수는 다음 유형으로 더 분류될 수 있습니다.

선형 함수 : 선형 함수는 변수의 최대 거듭제곱이 1인 함수입니다. 일반적인 형태는 선형 함수 ~이다 y = mx + c

이차 함수 : 이차함수는 변수의 최대 거듭제곱이 2인 함수입니다. 일반적인 형태의 이차 함수 이다, 도끼 ² +bx +c = 0

3차 함수 : 3차 함수 은 변수의 최대 거듭제곱이 3인 것입니다. 삼차 함수의 일반적인 형태는 다음과 같습니다. 도끼 ^삼 + BX ² +cx +d = 0

역함수

역함수 다른 함수의 역함수를 포함하는 함수입니다. 함수 y = f(x)가 있다고 가정하면 그 역함수는 x = f가 됩니다.^-1(와이). y = f(x)에서 정의역은 x이고 범위는 y이고 x = f의 경우^-1(y), 정의역은 y이고 범위는 x입니다. 따라서 원래 함수의 정의역은 역함수의 범위이고 원래 함수의 범위는 원래 함수의 정의역이라고 말할 수 있습니다. 역함수의 몇 가지 예는 다음과 같습니다.

• y = 그래서^-1(엑스)
• 와이 = 엑스^-1

면적 기능

면적 함수는 일반적으로 기하학적 모양이나 영역의 면적을 계산하는 수학 함수를 나타냅니다. 면적 함수는 하나 이상의 매개변수를 입력으로 사용하고 해당 모양의 면적을 반환합니다. 일부 영역 기능은 아래에 설명되어 있습니다.

원 기능의 영역 : 원의 면적 (A)는 반경(r)의 함수로,

A = πr ²

삼각형 기능의 영역 : 삼각형의 면적 (A)는 밑면(b)과 높이(h)의 함수입니다.

A = (bh)/2

지수 함수

지수 함수 f(x) = e로 표현되는 것입니다.^엑스. 급속한 성장이나 쇠퇴를 나타낼 때 자주 사용됩니다.

로그 함수

로그 함수 지수의 역연산을 나타내는 수학 함수이다. f(x) = log x로 표현됩니다.

천장 기능

천장 기능 ⌈x⌉로 표시되는 는 실수 x를 x보다 크거나 같은 가장 가까운 정수로 반올림합니다. 즉, x보다 크거나 같은 가장 작은 정수 값을 찾습니다.

바닥 기능

⌊x⌋로 표시되는 Floor 함수는 실수 x를 x보다 작거나 같은 가장 가까운 정수로 내림합니다. 즉, x보다 작거나 같은 가장 큰 정수 값을 찾습니다.

모듈러스 함수

모듈러스 함수 절대값 함수라고도 알려진 는 부호에 관계없이 실수의 크기 또는 크기를 반환합니다. 모듈러스 함수는 ∣x∣로 표시됩니다. 여기서 x는 입력 값입니다.

배쉬 문자열 길이

시그넘 기능

시그넘 기능 부호 함수 또는 부호 함수라고도 알려진 은 실수의 부호를 반환하는 수학 함수입니다. 숫자가 양수, 음수 또는 0인지 여부를 나타냅니다.

삼각함수

삼각함수 직각삼각형의 각도와 변의 길이를 연결하는 수학 함수입니다. 6가지 기본 삼각 함수는 사인(sin), 코사인(cos), 탄젠트(tan), 코시컨트(cosec), 시컨트(sec) 및 코탄젠트(cot)입니다.

복잡한 기능

입력 변수가 복소 함수인 모든 함수를 복소 함수라고 합니다. 복소수는 복소 평면에 그릴 수 있는 숫자입니다. 안에 복소수 실수와 허수가 있습니다. 복소수(z)는 z= x + iy로 표현되고, 복소함수는 f(z) = P(x, y) + iQ(x, y)로 표현됩니다.

기능의 응용

가변량 y가 가변량 x의 함수라고 말할 때, y는 x에 의존하고 y의 값은 x의 값에 의해 결정된다는 것을 나타냅니다. 이 종속성은 다음과 같이 표현될 수 있습니다: f = y(x).

• 원의 반지름을 사용하여 원의 면적을 계산할 수 있습니다. 반경 r은 면적 A에 영향을 미칩니다. 함수의 수학적 언어에서 A는 r의 함수라고 선언합니다. A = f(r) =π×r이라고 쓸 수 있습니다.²
• 구의 부피 V는 반경의 함수입니다. V = f(r) = 4/3×r^삼r에 대한 V의 의존성을 나타냅니다.
• 힘은 고정된 질량 m인 물체의 가속도의 함수입니다. F = g(a) = m×a.

사람들은 또한 읽습니다:

• 관계 및 기능
  
• 삼각함수의 영역과 범위
• 기능의 범위
• 쌍곡선 함수

기능에 대한 예

예 1: 두 함수에 대해 f와 g는 다음과 같이 정의됩니다. f(x) = x ² 그리고 g(x) = ln(2x)입니다. 합성 함수 찾기(gof )( x )

해결책:

주어진:

• 에프(엑스) = 엑스²
• g(x) = ln(2x)

(고프)(x) = g(f(x))

[g(f(x)] = ln(2f(x))

= ln(2x²)

= 2ln(√2x)

따라서 (gof)(x) = 2 ln(√2x)

예 2: 함수 g(t)= 6t의 출력 찾기 ² + 5

• (i) t = 0
• (ii) t = 2

해결책:

주어진 기능,

g(티)= 6t²+ 5t

• (i) t = 0

g(0) = 6(0)²+5(0) = 0 + 0

g(0) = 0

• (ii) t = 2

g(2) = 6(2)²+5(2)

g(2) = 24 + 10

g(2) = 34

예 3: 직사각형의 길이는 폭의 5배입니다. 직사각형의 면적을 길이의 함수로 표현합니다.

해결책:

직사각형의 길이를 l, 직사각형의 너비를 b라고 하자.

지금,

• b = 1/5

직사각형의 면적(A) = l × l/5 = l²/5

C에서 문자열 반전하기

따라서 직사각형의 길이에 따른 면적은 다음과 같습니다.

A(l) = 나는 ² /5

함수란 무엇인가에 대한 연습 문제

1. 주어진 함수 f(x)=3x+5

• f(2) 찾기
• f(−1) 찾기
• 함수의 정의역과 범위를 결정합니다.

2. 함수 g(x)=x가 주어지면 ² – 4x + 3

• 함수의 근을 찾아보세요.
• g(3)과 g(0)을 구합니다.
• 함수의 꼭지점을 결정합니다.

3. 주어진 두 함수 f(x)=x + 2 및 h(x)=2x – 3

• 합성 함수 찾기 (f Ø h) (x)
• (f ⋅ h)(2)를 평가합니다.

요약 - 함수란 무엇입니까?

수학에서 함수는 입력 값(도메인)과 출력 값(범위) 사이의 특별한 관계로, 각 입력은 고유한 출력과 연결됩니다. y = f(x)로 표현되는 함수는 특정 특성을 가지며 순서쌍, 표 또는 그래프를 사용하여 시각화할 수 있습니다. 이는 다양한 수학적 문제에 필수적이며 단사(일대일), 전사(onto) 및 전단사(둘 다)를 포함하여 다양한 유형으로 제공됩니다. 함수는 수직선 테스트를 사용하여 테스트할 수 있으며 다항식, 역함수, 지수 함수, 로그 함수, 삼각 함수로 더 분류됩니다. 함수를 이해하려면 해당 도메인, 범위 및 함수를 정의하는 규칙을 인식해야 합니다. 예에는 다음과 같은 간단한 선형 함수가 포함됩니다. 와이 = 2x + 1 그리고 기능의 복잡한 구성. 함수는 대수학, 기하학, 미적분학에서 중요한 역할을 하며 수학적 관계와 실제 현상을 표현하고 분석하는 데 도움을 줍니다.

함수란 무엇인가에 대한 FAQ

함수의 정의는 무엇입니까?

집합 A에서 다른 집합 B로 정의된 관계 f를 수학에서는 A의 각 값이 집합 B에서 고유한 값을 갖는 경우 함수라고 합니다.

수학에서 함수를 작성하는 방법은 무엇입니까?

수학에서 함수 f는 f: A → B로 표현되며 다음과 같이 정의됩니다. f(x) = x + 2. 여기에서는 각각의 고유한 x 값에 대해 고유한 y 값이 있습니다.

함수를 변환하는 방법은 무엇입니까?

함수에 대해 기본 대수 연산을 수행하기만 하면 함수를 다른 함수로 쉽게 변환할 수 있습니다. 함수의 다양한 변환에는 반사, 이동, 회전 등이 있습니다.

유리함수란 무엇인가?

분자와 분모가 다항 함수인 분수 함수를 유리 함수라고 합니다. 유리 함수의 몇 가지 예는 다음과 같습니다.

• 에프(엑스) = 엑스 ² /(2x + 3)
• g(x) = (6x + 3)/(x – 1), 등.

선형 함수란 무엇입니까?

함수의 각 항이 상수이거나 1의 거듭제곱을 갖는 대수 함수를 선형 함수라고 합니다. 선형 함수의 몇 가지 예는 다음과 같습니다.

• 에프(엑스) = 2x + 3
• g(x) = x - 5 등

함수의 도메인과 공동 도메인은 무엇입니까?

함수를 다음과 같이 정의하면 y = f(x)입니다. 그러면 x의 정의역은 y가 고유한 값이 되는 x의 모든 값입니다. 그리고 y의 공역역은 각 x 값에 대한 y의 모든 값의 집합입니다.

수학에서 함수를 어떻게 식별합니까?

관계에 있는 도메인의 입력 값(x)이 둘 이상의 이미지(y)를 갖는 경우 이러한 관계는 결코 함수가 될 수 없습니다. 따라서 x 값이 순서쌍에서 반복되면 이는 결코 함수가 아닙니다.