일대일 기능 또는 일대일 기능은 다음 중 하나입니다. 기능의 종류 도메인과 공동도메인에 대해 정의되며 도메인과 공동도메인 간의 특정 관계 유형을 설명합니다. 일대일 기능은 주입 기능이라고도 합니다. 일대일 함수는 수학 함수입니다. 각 요소 도메인에서 공동 도메인의 고유 요소에 매핑됩니다. .
이 글에서는 개념을 쉽게 이해하는 데 도움이 되는 정의와 예를 포함하여 일대일 함수 또는 일대일 함수의 개념을 자세히 살펴봅니다. 또한 몇 가지 샘플 문제에 대해 논의하고 해결해야 할 몇 가지 연습 문제도 제공합니다. 그럼 이제 일대일 함수(One to One Function)라고 알려진 수학의 중요한 개념에 대해 알아봅시다.
내용의 테이블
일대일 기능이란 무엇입니까?
단사 함수라고도 알려진 일대일 함수는 A의 서로 다른 요소가 B와 관련된 서로 다른 요소를 갖거나 A의 서로 다른 요소가 B에서 서로 다른 이미지를 갖는 함수입니다.
함수에 대해 서로 다른 이미지가 있는 경우 B 세트에 다른 요소가 있는 경우 사전 이미지가 다르면 일대일로만 가능하다는 의미입니다. 이는 A 세트에 다른 요소가 있는 경우에만 가능함을 의미합니다. 사전 이미지.
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일대일 기능 정의
세트 'A'에서 세트 'B'로의 함수 'f'는 'A'의 두 요소가 'B'의 동일한 요소에 매핑되지 않으면 일대일입니다.
이 두 다이어그램을 고려해 보겠습니다. 다이어그램 A의 경우 10은 1, 20은 2, 30은 3에 매핑된다는 것을 알 수 있습니다.
그러나 다이어그램 B의 경우 10과 30이 3에 매핑되고 20이 1에 매핑되는 것이 분명합니다.
다이어그램 A에 대한 각 도메인의 고유한 값에 해당하는 도메인의 요소가 있으므로 함수를 일대일로 만듭니다. 따라서 다이어그램 B는 1대1이 아니다.
이는 수학적으로 다음과 같이 표현될 수 있다.
f(a) = f(b) ⇒ a = b
일대일 기능의 예
- 신원 기능: 항등 함수는 일대일 함수의 간단한 예입니다. 입력을 받아 출력과 동일한 값을 반환합니다. 임의의 실수 x에 대해 항등 함수는 다음과 같이 정의됩니다.
에프(엑스) = 엑스
모든 고유한 입력 x는 고유한 출력 f(x)에 해당하므로 이를 일대일 함수로 만듭니다.
- 선형 함수: 선형 함수는 변수의 최고 거듭제곱이 1인 함수입니다. 예를 들면 다음과 같습니다.
에프(엑스) = 2x + 3
어떤 x 값을 선택하든 f(x)에 대해 고유한 값을 얻게 되므로 이는 일대일 함수입니다.
- 절대값 기능: 절댓값 함수 f(x)=∣x∣ 역시 일대일 함수입니다. 임의의 실수 x에 대해 절대값 함수는 음수가 아닌 값을 반환하며, x의 값이 다르면 절대값도 달라집니다.
일대일 함수에 대한 그러한 예 중 하나를 증명해 보겠습니다.
예: 함수 f(x) = 1/(x+2), x≠2가 일대일임을 증명하세요.
해결책:
일대일 함수에 따르면 우리는 다음을 알고 있습니다.
f(a) = f(b)
a를 x로, x를 b로 교체
f(a) = 1/(a+2) , f(b) = 1/(b+2)
⇒ 1/(a+2) = 1/(b+2)
위의 방정식을 교차 곱하세요
1(b+2)=1(a+2)
b+2=a+2
⇒ b=a+2-2
∴ a=b
이제 a = b이므로 이 함수는 일대일 함수라고 합니다.
속성 일대일 기능
f와 g가 두 개의 일대일 함수라고 가정하면 속성은 다음과 같습니다.
- f와 g가 모두 일대일이면 f ⋅ g는 주입성을 따릅니다.
- g ⋅ f가 일대일이면 함수 f는 일대일이지만 함수 g는 그렇지 않을 수도 있습니다.
- f: X → Y는 일-일입니다. 임의의 함수 g, h가 주어지면 P → X는 f ˚ g = f ˚ h일 때마다 g = h입니다. 즉, 일대일 함수는 집합의 범주 집합에 있는 단형성입니다.
- f: X → Y가 1-1이고 P가 X의 부분집합이면 f-1(f(A)) = P. 따라서 P는 이미지 f(P)에서 검색될 수 있습니다.
- f: X → Y가 1-1이고 P와 Q가 모두 X의 부분집합이면 f(P ∩ Q) = f(P) ∩ f(Q)입니다.
- X와 Y가 모두 동일한 수의 요소로 제한되는 경우 f: X → Y는 f가 전사 또는 상함수인 경우에만 일-일입니다.
일대일 함수 그래프
일대일 함수의 그래프 표현 중 하나를 살펴보겠습니다.
위의 함수 f(x)= √x 그래프는 일대일 함수의 그래픽 표현을 보여줍니다.
수평선 테스트
각 수평선이 둘 이상의 지점에서 그래프와 교차하지 않는 경우 함수는 일대일입니다.
선형 함수를 예로 들어보겠습니다. 이를 f(x)라고 부르겠습니다. 따라서 f(x)는 역함수를 가집니다. f(x)가 역함수를 가지고 있는지 확인하려면 그것이 일대일 함수라는 것을 보여야 하며, 수평선 테스트를 통과한다는 것을 보여야 합니다. 따라서 수평선을 그리고 f(x)가 수평선에 두 번 이상 닿는다면 f(x)는 일대일 함수가 아니며 역함수도 없다는 의미입니다.
위의 예에서는 한 지점에서만 수평선과 교차합니다. 따라서 f(x)는 일대일 함수이므로 역함수를 갖습니다.
일대일 함수의 역수
f를 정의역 A와 범위 B를 갖는 일대일 함수로 둡니다. 그런 다음 f의 역은 정의역 B와 범위 A를 갖는 함수입니다.-1(y) =x는 B의 임의의 y에 대해 f(x)=y인 경우에만 해당됩니다. 일대일인 경우에만 함수가 역함수를 갖는다는 것을 항상 기억하세요. 가장 높은 지수가 홀수인 경우 함수는 일대일입니다. 그러나 가장 높은 수가 짝수이거나 절댓값인 경우 이는 일대일 함수가 아닙니다.
예: f(x)=3x+2 함수의 역함수 찾기
해결책:
y=f(x) 형식으로 함수를 작성하세요.
⇒ y=3x+2
y와 x 변수를 교환할 수 있습니다
⇒ x=3y+2
y를 x로 풀다
⇒ x-2=3y
방정식을 3으로 나눕니다.
⇒ (x-2)/3=3y/3
⇒ y=(x-2)/3
∴ f-1(x)=(x-2)/3
일대일 기능 및 Onto 기능
일대일 기능과 Onto 기능의 주요 차이점은 다음 표에 나열되어 있습니다.
| 재산 | 일대일(주사) 기능 | Onto(사사) 기능 |
|---|---|---|
| 정의 | 도메인의 서로 다른 두 요소가 공동 도메인의 동일한 요소에 매핑되지 않는 함수입니다. 즉, 도메인의 각 요소는 공동 도메인의 고유 요소에 매핑됩니다. | 공동 도메인의 모든 요소가 도메인의 최소 하나의 요소에 매핑되는 함수입니다. 즉, 함수의 범위는 전체 공도메인과 같습니다. |
| 상징적 표현 | 에프(엑스1) ≠ f(x)2) 만약 x라면1≠ x2모든 x에 대해1, x2도메인에서. | 공도메인의 모든 y에 대해 f(x) = y가 되는 x가 도메인에 존재합니다. |
| 그래픽 표현 | 일대일 함수의 그래프에는 두 개 이상의 점에서 교차하는 수평선이 없습니다. | 온트 함수의 그래프는 코도메인의 모든 지점을 포괄할 수는 없지만 가능한 모든 지점을 포괄합니다. 즉, 코도메인에 공백이 없음을 의미합니다. |
| 예 | f(x) = 2x는 x의 서로 다른 두 값이 동일한 출력을 생성하지 않기 때문에 일대일입니다. | f(x) = √x는 음이 아닌 실수에 대해 공도메인으로 적용됩니다. 왜냐하면 모든 음이 아닌 실수는 이 함수에 사전 이미지를 갖기 때문입니다. |
| 역함수 | 일대일 함수는 일반적으로 역함수를 갖습니다. | ont 함수는 역함수를 가질 수도 있고 그렇지 않을 수도 있습니다. |
| 카디널리티 | 도메인과 공동 도메인의 카디널리티는 일대일 기능에 대해 같거나 다를 수 있습니다. | 공동 도메인의 카디널리티는 일반적으로 온 기능에 대한 도메인의 카디널리티보다 크거나 같습니다. |
다음 그림은 one one과 on 함수 사이의 명확한 차이점을 보여줍니다.
더 읽어보기,
- 기능
- 기능 유형
- 관계 및 기능
일대일 기능 문제 해결
일대일 함수를 설명하기 위해 몇 가지 문제를 해결해 보겠습니다.
문제 1: 다음 함수가 일대일인지 확인합니다: f(x) = 3x – 1
해결책:
해결 방법 1: 일대일인지 확인하려면 두 개의 서로 다른 x 값이 동일한 y 값에 매핑되지 않음을 보여야 합니다.
f(a) = f(b)라고 가정합니다. 여기서 a ≠ b입니다.
3a – 1 = 3b – 1
3a = 3b
a = b
f(a) = f(b)에 대한 유일한 방법은 a = b인 경우이므로 이 함수는 실제로 일대일입니다.
문제 2: 다음 함수가 일대일인지 확인합니다: g(x) = x 2
해결책:
해결 방법 2: 함수 그래프를 작성하여 수평선 테스트를 사용하겠습니다. 수평선이 그래프와 두 번 이상 교차하는 경우 일대일이 아닙니다.
g(x) = x^2의 그래프는 위쪽으로 열리는 포물선입니다. 수평선은 그래프와 한 번만 교차하므로 이 함수는 일대일이 아닙니다.
일대일 함수 연습 문제
문제 1: 다음 함수가 일대일 함수인지 확인합니다.
- 에프(엑스) = 2x + 3
- g(x) = 3x2- 1
- 시간(x) =삼√x
문제 2: 실수 집합에서 실수 집합까지 일대일인 함수를 찾아보세요.
문제 3: 함수 g(x) = x가 주어지면2+ 1, 전체 도메인에서 일대일인지 확인합니다.
문제 4: 함수 h(x) = e를 생각해 보세요.엑스. 일대일 기능인가요?
문제 5: f(x) = 4x – 7의 역함수를 찾고 그 정의역을 결정합니다.
문제 6: 함수 p(x) = √x가 일대일인지 확인합니다.
문제 7: q(x) = x/2가 주어지면 함수의 정의역과 범위를 구합니다.
문제 8: 함수 r(x) = sin(x)가 구간 [0, π]에 걸쳐 일대일인지 확인합니다.
문제 9: 함수 s(x) = |x|를 생각해 보세요. 일대일 기능인가요?
문제 10: 함수 t(x) = 1/x가 일대일인지 확인하고 해당 정의역을 찾습니다.
일대일 기능 – FAQ
1. 일대일 기능이란 무엇입니까?
일대일 함수는 도메인의 각 요소를 공동 도메인의 고유한 요소에 매핑하는 수학적 함수입니다. 즉, 도메인의 서로 다른 두 요소를 공동 도메인의 동일한 요소에 매핑하지 않습니다.
2. 함수가 일대일인지 어떻게 확인할 수 있나요?
수평선 테스트를 사용할 수 있습니다. 수평선이 함수 그래프와 두 번 이상 교차하지 않으면 일대일 함수입니다.
3. 일대일 함수와 ont 함수의 차이점은 무엇인가요?
일대일 함수는 도메인의 두 개의 개별 요소가 공동 도메인의 동일한 요소에 매핑되지 않도록 하는 반면, 전사 함수라고도 알려진 온트 함수는 공동 도메인의 모든 요소가 최소한에 매핑되도록 보장합니다. 도메인의 한 요소.
4. 모든 선형 함수는 일대일입니까?
아니요, 모든 선형 함수가 일대일인 것은 아닙니다. 예를 들어, f(x) = 2x는 일대일이지만, g(x) = 2x + 1은 두 개의 서로 다른 x 값을 동일한 y 값에 매핑하기 때문에 그렇지 않습니다(예: g(1) = 3). 및 g(2) = 5).