관성 모멘트는 회전 운동을 하는 물체의 특성입니다. 관성 모멘트는 신체의 회전 운동 변화에 반대되는 경향이 있는 회전체의 특성입니다. 이는 병진 운동에서 신체의 관성과 유사합니다. 수학적으로 관성 모멘트는 각 입자의 질량과 회전축으로부터의 거리의 제곱을 곱한 값으로 표시됩니다. 단위로 측정됩니다. kgm ² .

아래 글에서 관성 모멘트에 대해 자세히 알아보겠습니다.

내용의 테이블

• 관성 모멘트 정의
• 관성 모멘트 공식
• 관성 모멘트에 영향을 미치는 요인
• 관성 모멘트를 계산하는 방법은 무엇입니까?
• 다양한 모양에 대한 관성 모멘트 공식
• 회전 반경
• 관성 모멘트 정리
• 다양한 물체의 관성 모멘트

관성 모멘트 정의

관성 모멘트는 회전 운동을 하는 물체의 변화에 ​​반대되는 경향입니다. 회전 운동 외부 힘으로 인해. 관성 모멘트는 각질량으로 동작하며 회전 관성이라고 합니다. 관성 모멘트는 기계적 모멘트와 유사합니다. 관성 신체의.

MOI는 제품의 곱의 합으로 표현되는 수량으로 정의됩니다. 대량의 회전 운동을 수행하는 모든 입자에 대한 회전축으로부터의 거리의 제곱을 모든 입자에 적용합니다.

관성 모멘트 단위

관성 모멘트는 스칼라 수량이며 관성 모멘트의 SI 단위는 다음과 같습니다. kgm ² .

관성 모멘트 차원 공식

관성 모멘트는 질량과 거리의 제곱의 곱으로 제공됩니다. 그것은 차원 공식 는 질량의 차원식과 길이의 차원식의 제곱의 곱으로 주어진다. 관성모멘트의 차원식은, ML ²

관성이란 무엇입니까?

관성은 운동 상태의 변화에 ​​저항하는 경향이 있는 물질의 속성입니다. 이는 정지 중인 물체가 정지 상태를 유지하고 이를 움직이게 하려는 모든 힘에 저항하려고 하고, 움직이는 물체가 계속 움직이려고 하며 움직임의 크기를 변경하려는 모든 힘에 저항하려고 함을 의미합니다. 양적으로 보면 상태를 바꾸려는 최대 힘과 같습니다. 운동 .

자세히 알아보기 관성 .

관성 모멘트 공식

관성 모멘트는 스칼라 량 . 수학적으로 입자 질량의 제곱과 회전축으로부터의 거리의 곱을 회전축에 대한 입자의 관성 모멘트라고 합니다.

어떤 물체의 관성 모멘트를 찾는 일반적인 공식은 다음과 같습니다.

나 = 씨 ²

어디,
중 물체의 질량이다'
아르 자형 회전축으로부터의 거리이다

무한히 작은 연속 입자로 구성된 몸체의 경우 관성 모멘트의 적분 형식을 사용하여 관성 모멘트를 계산합니다.

나는 = ∫dI

나 = int_{0}^{M} r^2 dm

입자 시스템의 관성 모멘트

입자 시스템의 관성 모멘트는 다음 공식으로 표현됩니다.

나 = ∑m _나 아르 자형 _나 ²

어디,
아르 자형 _나 는 i의 수직 거리이다^일축의 입자
중 _나 나의 질량은^일입자

위의 관성 모멘트 방정식은 입자 시스템의 관성 모멘트가 각 입자의 질량과 각 입자의 회전축으로부터의 거리의 제곱을 곱한 것과 같다는 것을 나타냅니다.

아래 주어진 그림의 경우,

첫 번째 입자의 관성 모멘트 = m₁×r₁²

두 번째 입자의 관성 모멘트 = m₂×r₂²

세 번째 입자의 관성 모멘트 = m_삼×r_삼²

비슷하게,

n의 관성 모멘트^일입자 = m_N×r_N²

이제 회전축을 기준으로 몸 전체의 관성 모멘트가 발생합니다. AB 모든 입자의 관성 모멘트의 합과 같으므로

나=m₁×r₁²+m₂×r₂²+m_삼×r_삼²+…+m_N×r_N²

자바에서 목록 생성

나 = Σm _나 ×r _나 ²

어디,
나 회전축에 대한 몸체의 관성 모멘트를 나타냅니다.
중 _나 나의 질량은^일입자,
아르 자형 _나 i의 반경은^일입자
에스 합계를 나타냅니다.

방정식으로부터 고정 축에 대한 물체의 관성 모멘트는 해당 물체의 각 입자의 질량과 고정 축으로부터 수직 거리의 제곱을 곱한 것과 같다고 말할 수 있습니다.

관성 모멘트에 영향을 미치는 요인

모든 객체의 관성 모멘트는 다음 값에 따라 달라집니다.

• 물체의 모양과 크기
• 물체의 재료 밀도
• 회전축

관성 모멘트를 계산하는 방법은 무엇입니까?

여러 가지 방법이 사용됩니다. 관성 모멘트를 계산하다 회전하는 물체의

• 균일한 물체의 경우 관성 모멘트는 질량과 회전축으로부터의 거리(r)의 제곱을 곱하여 계산됩니다.²).
• 균일하지 않은 물체의 경우, 서로 다른 반경에서 개별 점 질량의 곱을 합하여 관성 모멘트를 계산합니다. 사용된 공식은 다음과 같습니다.

나 = ∑m _나 아르 자형 _나 ²

다양한 모양에 대한 관성 모멘트 공식

이 표에서는 회전축과 함께 일부 대칭 객체의 관성 모멘트에 대한 표현식을 설명합니다.

회전 반경

그만큼 회전 반경 물체의 회전축에서 질량이 물체 전체의 질량과 같고 관성 모멘트는 물체의 실제 관성 모멘트와 같은 질량점까지의 수직 거리로 정의됩니다. 신체의 전체 질량이 그곳에 집중되어 있다고 가정합니다. 상상의 거리입니다. 회전 반경은 K로 표시됩니다.

몸체의 질량과 회전 반경이 각각 M과 K이면 몸체의 관성 모멘트는 다음과 같습니다.

나 = MK ² ……(1)

따라서 물체의 회전 반경은 회전축에 수직이며 그 제곱에 해당 물체의 질량을 곱하면 해당 축에 대한 해당 물체의 관성 모멘트가 제공됩니다.

다시 방정식 (1)에 의해 K²= 나/남

K = √(I/m)

따라서 축을 중심으로 한 몸체의 회전 반경은 해당 축을 중심으로 한 몸체 비율의 제곱근과 같습니다.

dhl 의미

관성 모멘트 정리

관성 모멘트와 관련하여 매우 중요한 두 가지 유형의 정리가 있습니다.

• 평행축 정리
• 수직축 정리

수직축 정리

수직축 정리 물체의 평면에 위치한 두 개의 서로 수직인 축에 대한 물체의 관성 모멘트의 합은 두 축에 수직이고 두 축을 통과하는 세 번째 축에 대한 물체의 관성 모멘트와 같다는 것입니다. 교차로.

위 그림에서, 황소 그리고 LTD 신체 평면에서 서로 수직인 두 개의 축입니다. 세 번째 축은 온스 몸체의 평면에 수직이고 두 물체의 교차점을 통과하는 지점입니다. 황소 그리고 LTD 축. 만약에 나 _엑스 , 나 _그리고 , 그리고 나 _{와 함께} 축에 대한 신체의 관성 모멘트입니다. 황소 , LTD , 그리고 온스 축을 각각 이 정리에 따라

나 _엑스 + 나 _그리고 = 나 _{와 함께}

평행축 정리

에 따르면 평행축 정리 , 주어진 축에 대한 물체의 관성 모멘트는 해당 물체의 질량 중심을 통과하는 축에 대한 관성 모멘트와 물체 질량의 제곱과 두 축 사이의 수직 거리를 곱한 값의 합입니다. 두 개의 축.

위 그림에서 관성모멘트를 구해야 합니다. 나 _영형 지점을 통과하는 신체의 모습 영형 그리고 평면에 수직인 축을 중심으로 질량 중심을 통과하는 몸체의 관성 모멘트 씨 그리고 주어진 축에 평행한 축에 대해서는 다음과 같습니다. 나 _씨 , 그러면 이 정리에 따르면

나 _영형 = 나 _씨 + 1ml ²

어디
중 몸 전체의 질량이다
엘 두 축 사이의 수직 거리입니다.

다양한 물체의 관성 모멘트

다양한 물체의 관성 모멘트는 이 기사의 아래에서 논의됩니다.

직사각형 판의 관성 모멘트

판의 질량이 M이고 길이가 l이고 폭이 b라면 관성 모멘트는 판의 평면에 수직인 축을 중심으로 무게 중심을 통과합니다.

나는 = M(l ² + 비 ² / 12)

디스크의 관성 모멘트

디스크의 질량이 M이고 반경이 r인 경우 디스크의 기하학적 축에 대한 관성 모멘트는 다음과 같습니다.

나는 = 1/2(씨 ² )

막대의 관성 모멘트

막대의 질량이 M이고 길이가 l이면 막대의 길이에 수직이고 무게 중심을 통과하는 축에 대한 관성 모멘트입니다.

나 = ML ² /12

원의 관성 모멘트

링의 질량이 M이고 링의 반지름이 r이면 링 중심에 수직으로 통과하는 축에 대한 관성 모멘트는 다음과 같습니다.

나 = 씨 ²

구의 관성 모멘트

고체 구의 질량이 M이고 반경이 r인 경우 직경에 대한 관성 모멘트는 다음과 같습니다.

나 = 2/5Mr ²

솔리드 실린더의 관성 모멘트

반경이 'R'이고 질량이 M인 고체 원통의 관성 모멘트는 다음과 같습니다.

나는 = 1/2MR ²

중공 원통의 관성 모멘트

중공 원통에는 내부 반경과 외부 반경이라는 두 개의 반경이 있습니다. 질량 M, 외부 반경 R을 갖는 중공 원통의 관성 모멘트₁, 내부 반경 R₂다음과 같이 주어진다

나는 = 1/2M(R ₁ ² + R ₂ ² )

고체 구의 관성 모멘트

질량이 'M'이고 반경이 'R'인 고체 구의 관성 모멘트는 다음과 같이 지정됩니다.

나는 = 2/5MR ²

중공구의 관성 모멘트

질량이 M이고 반경이 'R'인 속이 빈 구의 관성 모멘트는 다음과 같이 주어집니다.

나는 = 2/3MR ²

링의 관성 모멘트

링의 관성 모멘트는 회전축이 중심을 통과하는 경우와 회전축이 직경을 통과하는 경우 두 가지 경우에 대해 제공됩니다.

중심을 통과하는 축에 대한 링의 관성 모멘트는 다음과 같이 지정됩니다.

문자열을 int로 변환

나 = 씨 ²

직경을 통과하는 축에 대한 링의 관성 모멘트는 다음과 같이 지정됩니다.

나 = 씨 ² /2

정사각형의 관성 모멘트

a변의 제곱의 관성모멘트는 다음과 같이 주어진다.

나=아 ⁴ /12

길이가 l이고 질량이 M인 정사각형 판의 관성모멘트는 다음과 같이 주어진다.

나 = 1/6ML ²

삼각형의 관성 모멘트

삼각형의 관성 모멘트는 3가지 상황에 대해 주어집니다. 첫 번째는 축이 중심을 통과할 때, 두 번째는 축이 밑면을 통과할 때, 세 번째는 축이 밑면에 수직일 때입니다. 그에 대한 공식을 하나씩 살펴보겠습니다. 밑변이 'b'이고 높이가 'h'인 삼각형의 경우 관성 모멘트 공식은 다음과 같습니다.

축이 Centroid를 통과할 때

나 = ㅎ ^삼 /36

축이 베이스를 통과할 때

나 = ㅎ ^삼 /12

축이 베이스에 수직인 경우

나는 = (hb/36)(b ² – 비 ₁ 비 + 비 ₁ ² )

관성 모멘트와 관성의 차이

관성과 관성 모멘트의 차이는 다음과 같습니다.

회전체의 운동에너지

회전축으로부터 거리 'r'에서 속도 v로 회전하는 질량 'm'의 물체를 가정해 보겠습니다. 각속도는 Ω = v/r, v = rΩ로 지정됩니다. 이제 우리는 운동 에너지 신체는 다음과 같이 주어진다.

KE = 1/2mv ²

⇒ KE = 1/2m(rΩ)²

⇒ KE = 1/2mr²오²

⇒ KE = 1/2IΩ ²

따라서 회전체의 운동에너지는 관성모멘트와 관성모멘트의 곱의 절반으로 주어진다. 각속도 신체의. 회전체의 운동에너지라고도 한다. 회전 운동 에너지 . 회전 운동 에너지의 공식은 다음과 같습니다.

KE = 1/2IΩ ²

관성 모멘트(I)는 몸체의 각속도와 무관합니다. 이는 회전체의 질량과 회전축으로부터 몸체까지의 거리의 함수입니다. 따라서 우리는 각운동이 선형 운동과 유사하다는 것을 관찰합니다. 이는 관성 모멘트의 중요성이 회전체의 회전축에서 서로 다른 거리에 질량이 어떻게 분포되는지에 대한 아이디어를 제공한다는 것을 의미합니다.

관성모멘트 적용

관성 모멘트에는 다양한 응용 분야가 있으며 그 중 일부는 아래에서 설명됩니다.

• 더 큰 관성 모멘트로 인해 지구는 동일한 각속도로 축을 중심으로 회전합니다.
• 어린이용 놀이 모터 아래에는 작은 움직이는 바퀴가 배치되어 있습니다. 이 바퀴를 지면에 문지른 후 모터를 떠난 후에도 바퀴의 관성 모멘트로 인해 모터는 한동안 계속 작동합니다.
• 각 엔진은 샤프트에 부착된 크고 무거운 바퀴로 구성되며, 대부분의 질량은 원주에 있습니다. 따라서 관성 모멘트가 높습니다. 이 바퀴를 플라이휠이라고 합니다. 엔진 샤프트를 구동하는 토크는 계속 증가합니다. 따라서 샤프트의 회전은 균일하지 않을 수 있지만, 관성이 더 큰 움직이는 바퀴의 존재로 인해 샤프트는 거의 균일한 속도로 계속 회전합니다.
• 수레, 인력거, 스쿠터, 자전거 등의 바퀴에서는 질량의 대부분이 원이나 테두리에 집중되어 있습니다. 이 후프 또는 루틴은 견고한 스포크로 바퀴 축에 부착됩니다. 이렇게 하면 관성 모멘트가 증가합니다. 따라서 자전거를 타는 동안 다리가 움직이지 않아도 바퀴는 한동안 계속 회전합니다.

또한 확인하세요

• 회전 운동의 운동학
• 강체의 운동
• 롤링 모션

관성 모멘트에 대한 해결된 예

예 1: 질량 500g의 물체가 축을 중심으로 회전하고 있습니다. 회전축에서 신체의 질량 중심까지의 거리는 1.2m입니다. 회전축에 대한 몸체의 관성 모멘트를 구하십시오.

해결책:

M = 500g = 0.5kg, r = 1.2m라고 가정하면.

분명히, 물체의 전체 질량은 질량 중심에 위치한다고 가정할 수 있습니다. 그런 다음 회전축에 대한 몸체의 관성 모멘트입니다.

나 = 씨²

나는 = 0.5 × (1.2)²

나는 = 0.72kg·m²

예 2: 질량 1.2kg인 물체의 질량 중심에서 12cm 떨어진 축에 대한 회전 반경은 13cm입니다. 계산하다 질량 중심을 통과하는 축에 대한 회전 반경과 관성 모멘트입니다.

해결책:

이를 고려하면 M = 1.0kg, K = 13cm, l = 12cm, K_센티미터= ?, 나_센티미터= ?

평행축 정리 I = I로부터_센티미터+ 1ml²

케이²= K_CM2+ 내가²

또는 K_CM2= K²– 내가²

케이_CM2 = (13)²– (12)²= 25

케이_센티미터= 5

이제 관성모멘트Ⅰ_센티미터= MK_CM2

나_센티미터= 1.0 × (0.05)²= 2.5 × 10^-삼kg·m²

예 3: 질량이 0.1kg인 물체가 축을 중심으로 회전하고 있습니다. 회전축에서 몸체의 질량 중심까지의 거리가 0.5m이면 몸체의 관성 모멘트를 구하십시오.

해결책:

이를 감안할 때 M = 0.1kg 및 r = 0.5m

그래서 나 = 씨²

나는 = 0.1 × (0.5)²

나는 = 0.025kg·m²

예 4: 원형 링의 평면에 수직인 중심을 통과하는 축에 대한 링의 관성 모멘트는 200gm·cm입니다. ² . 직경에 대한 관성 모멘트는 얼마입니까?

나타샤 달랄

해결책:

평면에 수직인 다른 중심을 통과하는 축을 중심으로 한 원형 링의 관성 모멘트

씨²= 200gm·cm²

직경에 대한 관성 모멘트

= 1/2MR²

= 1/2 × 200 = 100gm·cm²

관성 모멘트에 대한 FAQ

관성 모멘트를 계산하는 방법은 무엇입니까?

균일한 물체의 관성 모멘트를 찾는 기본 공식은 다음과 같습니다.

나 = 씨 ²

어디,
중 물체의 질량이다'
아르 자형 회전축으로부터의 거리이다

빔의 관성 모멘트를 계산하는 방법은 무엇입니까?

중심과 수평 축을 따른 빔의 관성 모멘트는 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.

나 = ML ² / 12

신체의 관성 모멘트는 무엇에 달려 있습니까?

물체의 관성 모멘트는 아래 주어진 요인에 따라 달라집니다.

• 몸의 질량,
• 회전축
• 물체의 모양과 크기

관성 모멘트의 단위는 무엇입니까?

관성 모멘트의 단위는 Kgm ²

관성 모멘트가 음수가 될 수 있나요?

아니요, 관성 모멘트는 결코 음수가 될 수 없습니다.

질량 관성 모멘트란 무엇입니까?

질량 관성 모멘트는 각운동량이나 방향의 변화에 ​​대한 신체의 저항을 측정한 것입니다. 점 질량에 대한 질량 관성 모멘트는 I = mr로 지정됩니다.²입자 시스템의 경우 질량 관성 모멘트는 I = Σ로 제공됩니다._나중_나아르 자형_나²

면적 관성 모멘트란 무엇입니까?

면적 관성 모멘트는 평면의 임의의 축을 기준으로 점이 어떻게 분산되어 있는지를 나타내는 2D 형상 평면의 속성입니다. 면적 관성 모멘트는 면적의 두 번째 모멘트 또는 면적의 2차 모멘트라고도 합니다. xy 평면의 면적 관성 모멘트 공식은 다음과 같습니다._xy= ∫xy dxdxy = ∫xy dA