순열과 조합은 수학에서 가장 기본적인 개념이며 이러한 개념을 통해 학생들에게 수학의 새로운 분야, 즉 조합론이 소개됩니다. 순열 및 조합은 특정 순서로 개체를 선택하고 하위 집합을 형성하여 개체 그룹을 배열하는 방법입니다.

특정 순서로 데이터 그룹을 정렬하려면 순열 및 조합 공식이 사용됩니다. 특정 그룹에서 데이터나 객체를 선택하는 것을 순열(permutation)이라고 하고, 배열된 순서를 조합(combination)이라고 합니다.

순열 및 조합

이 기사에서는 순열과 조합의 개념과 공식을 연구하고 이를 사용하여 많은 샘플 문제를 해결합니다.

내용의 테이블

• 순열 의미
• 조합 의미
• 순열 및 조합식의 유도
• 순열과 조합의 차이점
• 순열과 조합에 대한 해결된 예

순열 의미

순열은 하나씩, 일부 또는 모두를 한 번에 전달되는 제공된 수의 구성 요소에 대한 뚜렷한 해석입니다. 예를 들어 두 개의 구성 요소 A와 B가 있는 경우 AB와 BA라는 두 가지 성능이 있을 수 있습니다.

전체 n개의 구성요소 중 r개의 구성요소가 위치할 때의 순열 수는 다음과 같습니다. ^N 피 _{아르 자형} . 예를 들어 n = 3(A, B, C), r = 2(크기 2의 모든 순열)라고 가정합니다. 그럼 거기에 ^삼 피 ₂ 이러한 순열은 6과 같습니다. 이 6개의 순열은 AB, AC, BA, BC, CA 및 CB입니다. 한 번에 3개씩 촬영한 A, B, C의 6개 순열은 아래 추가된 이미지에 표시됩니다.

순열 의미

순열 공식

순열 공식 선택하는 방법의 수를 찾는 데 사용됩니다. 아르 자형 밖으로 것들 N 특정 순서로 다른 것을 교체하는 것은 허용되지 않으며 다음과 같이 제공됩니다.

순열 공식

순열 공식 설명

우리가 알고 있듯이 순열은 배열 순서가 중요한 n개 중 r개를 배열하는 것입니다(AB와 BA는 서로 다른 순열입니다). 1, 2, 3의 서로 다른 숫자 3개가 있고, 한 번에 2를 취하는 숫자를 치환하고 싶은 사람이 있다면 (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3)이 표시됩니다. ), (3, 1) 및 (3, 2). 즉, 6가지 방법으로 수행할 수 있습니다.

여기서 (1, 2)와 (2, 1)은 서로 다릅니다. 다시 말하지만, 이 3개의 숫자를 한 번에 모두 처리하면 해석은 (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1)이 됩니다. ), (3, 1, 2) 및 (3, 2, 1) 즉 6가지 방법이 있습니다.

일반적으로 r(r)을 사용하여 n개의 별개의 항목을 설정할 수 있습니다.^일사물은 나머지 n – (r – 1)개의 사물 중 하나일 수 있습니다.

따라서 한 번에 r을 운반하는 n개의 서로 다른 사물의 전체 순열 수는 n(n – 1)(n – 2)…[n – (r – 1)]이며 이는 다음과 같이 작성됩니다.^N피_{아르 자형}. 또는 다른 말로 하면,

old{{}^nP_r = frac{n!}{(n-r)!} }

조합 의미

이는 한 번에 하나씩, 일부 또는 모두를 운반하는 공유된 수의 구성 요소의 개별 섹션입니다. 예를 들어, 두 개의 구성 요소 A와 B가 있는 경우 두 항목을 선택하는 방법은 둘 다 선택하는 한 가지 방법뿐입니다.

예를 들어 n = 3(A, B, C), r = 2(크기 2의 모든 조합)라고 가정합니다. 그럼 거기에 ^삼 씨 ₂ 이러한 조합은 3과 같습니다. 이 세 가지 조합은 AB, AC 및 BC입니다.

여기서는 콤비네이션 아래에 A, B, C 세 글자 중 두 글자가 표시되어 있으므로 AB와 BA가 동일한 조합을 나타내므로 조합에서 A와 B가 선택되는 순서는 중요하지 않습니다.

조합 의미

메모: 같은 예에서 순열과 조합에 대한 서로 다른 점이 있습니다. 예를 들어, AB와 BA는 두 개의 서로 다른 항목, 즉 두 개의 서로 다른 순열이지만 선택의 경우 AB와 BA는 동일합니다. 즉, 동일한 조합입니다.

조합식

조합 공식은 총 'n'개 구성 요소 중에서 'r' 구성 요소를 선택하는 데 사용되며 다음과 같이 제공됩니다.

조합식

r과 (n-r)에 대해 위의 공식을 사용하면 동일한 결과를 얻습니다. 따라서,

old{{}^nC_r = {}^nC_{(n-r)}}

조합식 설명

반면에 조합은 일종의 팩입니다. 다시 말하지만, 세 개의 숫자 1, 2, 3 중 두 개의 숫자로 세트가 생성된 경우 조합은 (1, 2), (1, 3) 및 (2, 3)입니다.

여기서 (1, 2)와 (2, 1)은 서로 다른 순열과 달리 동일합니다. 이것은 다음과 같이 쓰여 있습니다.^삼씨₂. 일반적으로, 한 번에 r개를 취하는 n개의 서로 다른 사물의 조합 수는 다음과 같습니다.

old{{}^nC_r = frac{n!}{r! imes(n-r)!} = frac{{}^nP_r}{r!}}

순열 및 조합식의 도출

이러한 공식은 동일한 것을 나타내기 때문에 기본 계산 방법을 사용하여 이러한 순열 및 조합 공식을 도출할 수 있습니다. 이 공식의 도출은 다음과 같습니다.

숫자로 된 'abc'

순열 공식 유도

순열은 n개의 개체에서 r개의 서로 다른 개체를 교체 없이 선택하는 것이며 선택 순서가 중요한 경우 계산의 기본 정리와 순열의 정의에 따라 다음을 얻습니다.

P(n,r) = n . (n-1) . (n-2) . (n-3). . . . .(n-(r+1))

위에서 (n-r)을 곱하고 나누면 됩니다! = (n-r).(n-r-1).(n-r-2). . . . .삼. 2. 1, 우리는 얻는다

P (n, r) = [n.(n-1).(n-2)….(nr+1)[(n-r)(n-r-1)(n-r)!] / (n-r) !

⇒ P(n,r) = n!/(n−r)!

따라서 P(n, r)에 대한 공식이 도출됩니다.

조합식 도출

조합은 선택 순서가 중요하지 않을 때 n개 항목 중에서 r개 항목을 선택하는 것입니다. 그 공식은 다음과 같이 계산됩니다.

C(n, r) = 총 순열 수/r개의 서로 다른 객체를 배열하는 방법의 수.
[계산의 기본 정리에 의해 우리는 r개의 서로 다른 물체를 r개의 방법으로 배열하는 방법의 수 = r이라는 것을 알고 있습니다!]

C(n,r) = P(n,r)/r!

⇒ C(n,r) = n!/(n−r)!r!

따라서 조합 공식, 즉 C(n, r)이 도출됩니다.

버블 정렬 파이썬

순열과 조합의 차이점

순열과 조합의 차이점 다음 표를 보면 알 수 있습니다.

또한 확인하세요.

• 이항정리
• 이항 확장
• 이항확률변수
• 계산의 기본 정리

순열과 조합에 대한 해결된 예

예시 1: n = 9 및 r = 3의 순열 및 조합 수 찾기 .

해결책:

주어진 경우, n = 9, r = 3

위에 주어진 공식을 사용하면:

순열의 경우:

^N피_{아르 자형}= (n!) / (n – r)!

⇒^N피_{아르 자형}= (9!) / (9 – 3)!

⇒^N피_{아르 자형}= 9! /6! = (9 × 8 × 7 × 6! )/ 6!

⇒ ^N 피 _{아르 자형} = 504

조합의 경우:

^N씨_{아르 자형}= n!/r!(n − r)!

⇒^N씨_{아르 자형}= 9!/3!(9 − 3)!

⇒^N씨_{아르 자형}= 9!/3!(6)!

⇒^N씨_{아르 자형}= 9 × 8 × 7 × 6!/3!(6)!

⇒ ^N 씨 _{아르 자형} = 84

예 2: 남자 4명, 여자 2명으로 구성된 위원회를 남자 6명, 여자 5명 중에서 선출할 수 있는 방법은 몇 가지입니까?

해결책:

6명 중 4명을 선택하세요 =⁶씨₄방법 = 15가지 방법

5명의 여성 중 2명의 여성을 선택하세요 =⁵씨₂방법 = 10가지 방법

위원회는 다음에서 선택될 수 있습니다.⁶씨₄×⁵씨₂= 150가지 방법.

예 3: 다섯 권의 책을 선반에 몇 가지 방법으로 배열할 수 있나요?

해결책:

이는 책의 순서가 중요하기 때문에 순열 문제입니다.

순열 공식을 사용하면 다음을 얻습니다.

⁵피₅= 5! / (5 – 5)! = 5! / 0! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

따라서 선반에 5권의 책을 배열하는 방법은 120가지가 있습니다.

예 4: FABLE이라는 단어의 문자를 사용하여 세 글자로 된 단어를 몇 개나 만들 수 있나요?

해결책:

이는 문자의 순서가 중요하기 때문에 순열 문제입니다.

순열 공식을 사용하면 다음을 얻습니다.

⁵피_삼= 5! / (5 – 3)! = 5! / 2! = 5 x 4 x 3 = 60

따라서 FABLE이라는 단어의 문자를 사용하여 만들 수 있는 세 글자 단어는 60개입니다.

예 5: 5명으로 구성된 위원회는 10명으로 구성된 그룹으로 구성됩니다. 이것은 얼마나 많은 방법으로 이루어질 수 있습니까?

해결책:

멤버의 순서는 중요하지 않기 때문에 조합의 문제입니다.

조합 공식을 사용하면 다음을 얻습니다.

¹⁰씨₅= 10! / (5! x (10 – 5)!) = 10! / (5! x 5!)

⇒¹⁰씨₅= (10 x 9 x 8 x 7 x 6) / (5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 252

따라서 10명으로 구성된 그룹에서 5명으로 구성된 위원회를 구성하는 방법은 252가지가 있습니다.

예 6: 피자 레스토랑에서는 피자에 4가지 토핑을 제공합니다. 고객이 토핑이 정확히 2개인 피자를 주문하려는 경우 이를 수행할 수 있는 방법은 몇 가지입니까?

해결책:

토핑의 순서는 중요하지 않기 때문에 이것은 조합 문제입니다.

조합 공식을 사용하면 다음을 얻습니다.

⁴씨₂= 4! / (2! x (4 – 2)!) = 4! / (2! x 2!) = (4 x 3) / (2 x 1) = 6

따라서 4가지 토핑 중 정확히 2가지 토핑으로 피자를 주문하는 방법은 6가지가 있습니다.

예 7: LOVE라는 용어의 두 글자를 사용하면 얼마나 많은 단어가 만들어질 수 있습니까?

해결책:

LOVE라는 용어는 4개의 서로 다른 문자로 구성됩니다.

따라서 필요한 단어 수 =⁴피₂= 4! / (4 – 2)!

필요한 단어 수 = 4! / 2! = 24 / 2

⇒ 필요한 단어 수 = 12

예 8: 자음 5개와 모음 3개 중 자음 3개와 모음 2개로 이루어진 단어는 몇 개나 될까요?

해결책:

5개의 자음 중에서 3개의 자음을 선택하는 방법의 수 =⁵씨_삼

3개 모음 중에서 2개 모음을 선택하는 방법의 수 =^삼씨₂

2개에서 자음 3개, 3개에서 모음 2개를 선택하는 방법의 수 =⁵씨_삼×^삼씨₂

⇒ 필수 개수 = 10 × 3

역참조 포인터 c

= 30

즉, 각 그룹에는 총 5개의 문자(자음 3개, 모음 2개)가 포함되어 30개의 그룹이 있을 수 있습니다.

5개의 글자를 서로 배열하는 방법의 수

= 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

따라서 필요한 경유 수 = 30 × 120

⇒ 필요경로수 = 3600

예 9: 5개의 항목이 있고 4개를 선택하면 몇 가지 조합을 얻을 수 있습니까?

해결책:

주어진 숫자를 조합식에 대입하고 풀어보세요. n은 세트에 있는 항목 수입니다(이 예에서는 5). r은 선택하는 항목 수입니다(이 예에서는 4).

C(n, r) = n! / 르! (n – r)!

⇒^N씨_{아르 자형}= 5! / 4! (5 – 4)!

⇒^N씨_{아르 자형}= (5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (4 × 3 × 2 × 1 × 1)

⇒^N씨_{아르 자형}= 120/24

⇒^N씨_{아르 자형}= 5

해결책은 5입니다.

예시10: 자음 6개, 모음 3개 중 표현이 몇 개나 되나요? 자음 2개, 모음 1개로 만들 수 있나요?

해결책:

6개의 자음 중에서 2개의 자음을 선택하는 방법의 수 =⁶씨₂

3개 모음 중 1개 모음을 선택하는 방법의 수 =^삼씨₁

7에서 자음 3개, 4에서 모음 2개를 선택하는 방법의 수.

⇒ 필수 방법 =⁶씨₂×^삼씨₁

⇒ 필수 방법 = 15 × 3

⇒ 필수 경로 = 45

즉, 각 그룹에는 총 3개의 문자(자음 2개, 모음 1개)가 포함되어 45개의 그룹이 있을 수 있습니다.

3개의 글자를 배열하는 방법의 수 = 3! = 3 × 2 × 1

⇒ 세 글자를 정렬하는 데 필요한 방법 = 6

따라서 필요한 경유 수 = 45 × 6

자바의 스택

⇒ 필수 경로 = 270

예 11: 얼마나 많은 별개의 형태로 'PHONE'이라는 단어의 글자를 모음이 일관되도록 구성할 수 있나요? 같이 와?

해결책:

'PHONE'이라는 단어는 5글자로 이루어져 있습니다. 모음 'O',' E'가 들어 있는데 이 두 모음이 일관되게 함께 와야 합니다. 따라서 이 두 모음은 그룹화되어 하나의 문자로 볼 수 있습니다. 즉, PHN(OE)입니다.

따라서 우리는 총 4개의 문자를 취할 수 있으며 이 모든 문자는 서로 다릅니다.

이 글자들을 정리하는 방법의 수 = 4! = 4 × 3 × 2 × 1

⇒ 필수 배열 방법 = 24

2개의 모음(OE)이 모두 구별됩니다.

이러한 모음을 서로 배열하는 방법의 수 = 2! = 2 × 1

⇒ 필수 모음 배열 방법 = 2

따라서 필요한 경유 수 = 24 × 2

⇒ 필수 경로 = 48.

순열 및 조합에 대한 FAQ

계승 공식은 무엇입니까?

순열과 조합의 계산에는 계승 공식이 사용됩니다. n!의 계승 공식 다음과 같이 주어진다

N! =n × (n-1) × . . . × 4 × 3 × 2 × 1

예를 들어 3! = 3 × 2 × 1 = 6과 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

무엇을 ^N 씨 _{아르 자형} 대표하다?

^N씨_{아르 자형}만들 수 있는 조합의 수를 나타낸다. N 물건을 가져가는 아르 자형 한 번에.

순열과 조합이란 무엇을 의미합니까?

순열은 특정 순서로 사물을 배열하는 행위입니다. 조합은 선택의 방법이다 아르 자형 그룹의 개체 N 선택한 개체의 순서가 전체 조합에 영향을 주지 않는 개체입니다.

순열과 조합의 예를 작성하세요.

HELLO라는 단어의 글자를 사용하여 만들 수 있는 3글자 단어의 수입니다.⁵피_삼= 5!/(5-3)! 이것은 순열의 예입니다.
HELLO라는 단어의 모음을 사용하여 단어를 작성할 수 있는 조합 수;⁵씨₂=5!/[2! (5-2)!] 는 조합의 예입니다.

순열과 조합을 구하는 공식을 작성하세요.

• 순열 계산 공식: ^N Pr = n!/(n-r)!
• 조합 계산 공식: ^N Cr = n!/[r! (n-r)!]

순열과 조합의 실제 사례를 작성해 보세요.

사람, 숫자, 문자 및 색상의 정렬은 순열의 몇 가지 예입니다.
메뉴 선택, 의상 선택, 주제 선택 등이 조합의 예입니다.

0의 가치는 무엇입니까!?

값은 0! = 1은 순열 및 조합 문제를 해결하는 데 매우 유용합니다.