수학적 귀납법은 다양한 수학적 진술과 정리를 증명하는 데 사용되는 수학 개념입니다. 수학적 귀납법의 원리는 때로 PMI라고도 합니다. 이는 최대 n개의 유한 자연항에 대한 해를 포함하는 수학의 기본 정리를 증명하는 데 사용되는 기술입니다.
수학적 귀납법의 원리는 첫 번째 합과 같은 다양한 명제를 증명하는 데 널리 사용됩니다. N 자연수 공식에 의해 주어진다 n(n+1)/2. 이는 수학적 귀납법을 이용하여 쉽게 증명할 수 있습니다.
이번 글에서는 수학적 귀납법의 원리와 명제, 예 등에 대해 자세히 알아볼 것이다.
내용의 테이블
수학적 귀납법이란 무엇입니까?
수학적 귀납법은 증명을 작성하는 기본적인 방법 중 하나이며 잘 구성된 집합에 대해 주어진 진술을 증명하는 데 사용됩니다. 일반적으로 결과를 증명하거나 다음과 같은 관점에서 공식화된 진술을 확립하는 데 사용됩니다. N , 여기서 n은 자연수이다.
P(n)이 n 자연수에 대한 명제라고 가정하면 수학적 귀납법을 사용하여 증명할 수 있습니다. 먼저 P(1)에 대해 증명하고 P(k)가 참이라고 가정한 다음 P(k+1)에 대해 증명합니다. . P(k+1)이 성립하면 수학적 귀납법에 따라 P(n)이 참이라고 말합니다.
우리는 수학적 귀납법을 떨어지는 도미노와 비교할 수 있습니다. 도미노가 넘어지면 다음 도미노를 연속으로 넘어뜨립니다. 첫 번째 도미노가 두 번째 도미노를 쓰러뜨리고, 두 번째 도미노가 세 번째 도미노를 쓰러뜨리는 식으로 계속됩니다. 결국, 모든 도미노는 넘어지게 될 것입니다. 하지만 충족해야 할 몇 가지 조건이 있습니다.
- 기본 단계는 시작하는 도미노가 떨어져서 노크 프로세스가 실행되도록 해야 한다는 것입니다.
- 도미노 사이의 거리는 인접한 두 도미노의 경우 동일해야 합니다. 그렇지 않으면 특정 도미노가 다음 도미노를 덮치지 못하고 넘어질 수 있습니다. 그러면 일련의 반응이 중단됩니다. 도미노 간 거리를 동일하게 유지하면 각 정수 k ≥ a에 대해 P(k) ⇒ P(k + 1)이 보장됩니다. 이것이 귀납적 단계이다.
수학적 귀납법의 원리
n 자연수에 대한 모든 명제 P(n)는 아래 단계에 따라 수학적 귀납법을 사용하여 증명될 수 있습니다.
1 단계: 사소한 경우에 대한 진술이 참인지 확인하십시오( n = 1) 즉, P(1)이 참인지 확인하세요.
2 단계: 어떤 k ≥ 1에 대해 n = k에 대해 명제가 참이라고 가정합니다. 즉, P(k)가 참입니다.
3단계: 만약 P(k)의 참이 P(k + 1)의 참을 암시한다면, 명제 P(n)은 모든 경우에 참입니다. n ≥ 1 .
아래 추가된 이미지에는 수학적 귀납법의 모든 단계가 포함되어 있습니다.
첫 번째 진술은 사실이며 모든 P(n)이 n = 1에서 참이 되는 것이 가능하지 않다면 이러한 진술은 n = 2, n = 3 등의 n의 다른 값에 대해 참입니다.
명제가 P(k)에 대해 참인 경우 P(k+1)가 참으로 입증되면 자연수(N)에 속하는 모든 n에 대해 P(n)이 참이라고 말합니다.
수학적 귀납 단계
수학적 귀납법에 사용되는 다양한 단계는 그에 따라 명명됩니다. 수학적 귀납법의 원리에 사용되는 다양한 단계의 이름은 다음과 같습니다.
- 기본 단계: k =1에 대해 P(k)가 참임을 증명하십시오.
- 가정 단계: P(k)가 N의 모든 k에 대해 참이고 k> 1이라고 가정합니다.
- 유도 단계: 기본적인 수학적 성질을 사용하여 P(k+1)이 참임을 증명하십시오.
위의 세 단계가 증명되면 수학적 귀납법에 따라 P(n)은 N에 속하는 모든 n에 대해 참이라고 말할 수 있습니다.
수학적 귀납법 예
수학적 귀납법은 다음 예의 도움으로 이를 배울 수 있는 다양한 진술을 증명하는 데 사용됩니다.
임의의 양의 정수 n에 대해 n을 증명하십시오.삼+ 2n은 항상 3으로 나누어집니다.
해결책:
P(n): n이라고 하자삼+ 2n은 주어진 진술에 따라 3으로 나눌 수 있습니다.
1단계: 기본 단계
먼저 P(1)이 참임을 증명합니다. n에서 n = 1이라고 하자삼+ 2n
= 1삼+ 2(1)
= 33은 3으로 나누어질 수 있으므로 P(1)은 참입니다.
2단계: 가정 단계
P(k)가 참이라고 가정하자
그러면, 케이삼+ 2k는 3으로 나눌 수 있습니다
따라서 k로 쓸 수 있다.삼+ 2k = 3n, (n은 양의 정수)….(i)
Java에서 문자열을 변경할 수 없는 이유3단계: 유도 단계
이제 우리는 대수식 (k + 1)을 증명해야 합니다.삼+ 2(k + 1)은 3으로 나누어집니다.
= (k + 1)삼+ 2(k + 1)
=k삼+ 3천2+ 5천 + 3
= (케이삼+ 2k) + (3k2+ 3천 + 3)
eq(i)로부터
= 3n + 3(k2+ k + 1)
= 3(n + k2+ k + 1)
3의 배수이므로 3으로 나누어진다고 할 수 있습니다.
따라서 P(k+1)은 참입니다. 즉, (k + 1)삼+ 2(k + 1)은 3으로 나누어집니다. 이제 수학적 귀납법의 원리에 따라 P(n):n이라고 말할 수 있습니다.삼+ 2n은 3으로 나누어진다는 것은 참이다.
더 읽어보기,
- 산술 진행
- 기하학적 진행
수학적 귀납법에 대한 해결된 예
예시 1: 모든 n ≥ 1에 대해 다음을 증명하십시오. 1 2 + 2 2 + 3 2 +….+n 2 = {n(n + 1) (2n + 1)} / 6
해결책:
주어진 진술을 P(n)이라 하자.
P(n):1^2+ 2^2 + 3^2+ ldots+ n^2 = frac{n(n + 1) (2n + 1)}{6} ~ ext{For n=1} P(1):frac{1(1+1)(2×1+1)}{6} = 1 이제 양의 정수 k를 취하고 P(k)가 참이라고 가정해 보겠습니다. 즉,
1^2 + 2^2 + 3^2 +….+k^2 = frac{k(k+1)(2k+1)}{6} 이제 우리는 P(k + 1)도 참임을 증명할 것입니다.
P(k + 1) = P(k) + (k + 1)2
= frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 = frac {k(k+1)(2k+1)+6{(k+1)}^2}{6} = (k+1) frac{( 2k^2 + k) + 6(k+1)}{6} =frac{(k+1)(2k^2 +7k+6)}{6} =frac{(k+1) (k+2) (2k+3)}{6} =frac{(k+1) ((k+1)+1) (2(k+1) +1)}{6} 따라서 P(k)가 모든 자연수에 대해 참일 때마다 P(k + 1)은 참입니다. 따라서 수학적 귀납법을 통해 주어진 결과는 모든 자연수에 대해 참이 됩니다.
예시 2: 모든 n ≥ 1에 대해, 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5+…+n(n + 1) (n + 2) = {n (n + 1) (n + 2) ( n + 3)} / 4
해결책:
주어진 명제를 S(n)이라 하자.
S(n):1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5+ldots+ n.(n+1)(n+2) = frac{n(n + 1)(n + 2)(n+3)}{4} ext{For n=1,} S(1):frac{1(1+1)(1+2)(1+3)}{4} = 6 ext{which is true.} 이제 양의 정수 k를 취하고 S(k)가 참이라고 가정해 보겠습니다. 즉,
S(k):1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5+ldots+ k.(k+1)(k+2) = frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)}{4} 이제 우리는 S(k + 1)도 참임을 증명할 것입니다.
S(k+1):S(k) + (k+1)(k+2)(k+3) Rightarrow S(k+1): frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)}{4} + (k+1)(k+2)(k+3) Rightarrow S(k+1): frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)+ 4(k+1)(k+2)(k+3)}{4} Rightarrow S(k+1): frac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4} Rightarrow S(k+1): frac{ (k+1){(k+1)+1}{(k+1)+2}{(k+1)+3} }{4} 따라서 S(k + 1)은 모든 자연수에 대해 S(k)가 참일 때마다 참입니다. 그리고 우리는 처음에 S(1)이 참이므로 S(n)은 모든 자연수에 대해 참임을 보여주었습니다.
예시 3: 모든 n ≥ 1에 대해, 1 + 3 + 5 +… + 2n – 1 = n임을 증명하십시오. 2
해결책:
주어진 명제를 S(n)이라 하자.
그리고 S(n) = 1 + 3 + 5+… +2n – 1 = n2
n = 1인 경우, 2 × 1 - 1 = 12따라서 S(1)은 참입니다.
이제 양의 정수 k를 취하고 S(k)가 참이라고 가정해 보겠습니다. 즉,
S(k) = 1+ 3 + 5+…+(2k – 1) = k2
이제 우리는 S(k + 1)도 참임을 증명할 것입니다.
1 + 3 + 5+…+ (2(k + 1) – 1) = (k + 1)2
L.H.S = 1 + 3 + 5 +… (2k – 1) + 2k + 2 – 1
⇒ L.H.S = S(k) + 2k + 1
⇒ L.H.S = k2+ 2k + 1
⇒ L.H.S = (k + 1)2
⇒ L.H.S = R.H.S
따라서 S(k + 1)은 모든 자연수에 대해 S(k)가 참일 때마다 참입니다. 그리고 우리는 처음에 S(1)이 참이므로 S(n)은 모든 자연수에 대해 참임을 보여주었습니다.
예시 4: 모든 n ≥ 1에 대해, 1.2 + 2.3 + 3.4 +…+ n(n + 1) = {n(n + 1)(n + 2)} / 3임을 증명하십시오.
해결책:
주어진 명제를 S(n)이라 하자.
S(n):1.2+ 2.3 + 3.4+ ……+ n.(n+1) = frac{n(n + 1)(n + 2)}{3} ext{for n=1,} S(1) : frac{1(1+1)(1+2)}{3} = 2 ext{which is true.} 이제 양의 정수 k를 취하고 S(k)가 참이라고 가정해 보겠습니다. 즉,
S(k):1.2+ 2.3 + 3.4+ ……+ k.(k+1) = frac{k(k+ 1)(k + 2)}{3} 이제 우리는 S(k + 1)도 참임을 증명할 것입니다.
S(k+1) : S(k) + (k+1)(k+2) Rightarrow S(k+1) : frac{k(k+ 1)(k + 2)}{3} + (k+1)(k+2) Rightarrow S(k+1) :frac{k(k+ 1)(k + 2)+ 3(k+1)(k+2)}{3} Rightarrow S(k+1) :frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3} Rightarrow S(k+1) :frac{ (k+1){(k+1)+1}{(k+1)+2} }{3} 따라서 S(k + 1)은 모든 자연수에 대해 S(k)가 참일 때마다 참입니다. 그리고 우리는 처음에 S(1)이 참이므로 S(n)은 모든 자연수에 대해 참임을 보여주었습니다.
예시 5: 다음을 증명하세요. N =a 1 + (n – 1) d는 모든 산술 수열의 일반적인 용어입니다.
해결책:
n = 1인 경우,N=a1+ (1 – 1) d = a1, 따라서 공식은 n = 1에 대해 참입니다.
공식을 가정해보자.케이=a1+ (k – 1)은 모든 자연수에 대해 참입니다.
이제 우리는 공식이 k+1에 대해서도 참임을 증명할 것입니다. 이제 우리는 다음을 얻습니다.
ㅏ케이 + 1=a1+ [(k + 1) – 1] d = a1+ k · d.
우리는케이=a1+ (k – 1) d, 그리고 산술 수열의 정의에 따라 ak+ 1- ㅏ케이= 디,
그 다음에케이 + 1- ㅏ케이
= (아1+ k d) – (a1 + (k – 1)d)
=a1- ㅏ1+ kd – kd + d
= 디따라서 공식은 k에 대해 참일 때마다 k + 1에 대해서도 참입니다. 그리고 우리는 처음에 이 공식이 n = 1에 대해 참이라는 것을 보여주었습니다. 따라서 이 공식은 모든 자연수에 대해 참입니다.
수학적 귀납법에 대한 FAQ
수학적 귀납법이란 무엇입니까?
수학적 귀납법의 원리는 임의의 값 'a'에 대해 임의의 진술 P(n)에 대해 참이면 P(a)가 참이고 P(k)를 참으로 취하면 P( k+1)이 참이면 P(n)이 모든 n ≥ a에 대해 참이고 n은 자연수에 속한다는 것을 증명할 수 있습니다.
수학적 귀납법의 용도는 무엇입니까?
수학적 귀납법은 다른 방법으로는 쉽게 증명할 수 없는 수학의 기본 진술을 증명하기 위해 수학에서 사용되는 기본 원리입니다.
행렬의 수학적 귀납법 원리는 무엇입니까?
행렬의 수학적 귀납법 원리는 다른 방법으로는 쉽게 증명되지 않는 행렬의 기본 명제를 증명하는 데 사용되는 기본 원리입니다.
수학적 귀납법의 원리를 적용하는 방법은 무엇입니까?
수학적 귀납법의 원리는 수학적 진술을 증명하는 데 사용됩니다. 우리가 진술 P(n)을 증명해야 한다고 가정하면 적용되는 단계는 다음과 같습니다.
fcfs1 단계: k =1에 대해 P(k)가 참임을 증명하십시오.
2 단계: P(k)가 N의 모든 k에 대해 참이고 k> 1이라고 가정합니다.
3단계: 기본적인 수학적 성질을 사용하여 P(k+1)이 참임을 증명하십시오.
따라서 P(k+1)이 참이면 P(n)이 참이라고 말합니다.
수학적 귀납법을 사용하여 문제를 해결하는 단계는 무엇입니까?
수학적 귀납법에 사용되는 세 가지 기본 단계는 다음과 같습니다.
- 기본 단계
- 가정 단계
- 유도 단계