재귀 함수는 어떤 지점에서의 값이 이전 지점의 함수 값으로부터 계산될 수 있는 함수입니다. 예를 들어, 음수가 아닌 정수에 대해 정의된 함수 f(k) = f(k-2) + f(k-3)를 가정합니다. k = 0 및 k = 2에서 함수 값이 있는 경우 음이 아닌 다른 정수에서도 해당 값을 찾을 수 있습니다. 즉, 재귀 함수는 자신의 이전 점을 사용하여 후속 항을 결정하고 따라서 항 시퀀스를 형성하는 함수를 의미한다고 말할 수 있습니다. 이번 글에서는 특정 예시와 함께 재귀 함수에 대해 알아 보겠습니다.
재귀란 무엇입니까?
재귀(Recursion)는 재귀적인 프로세스가 반복되는 프로세스를 말합니다. 재귀는 하나 이상의 변수로 구성된 일종의 함수로, 일반적으로 알려진 함수 값과 특정 관계를 지속적으로 구현하여 해당 함수의 값을 생성하는 특정 프로세스에 의해 지정됩니다.
여기서는 예제를 통해 재귀를 이해하겠습니다.
1층에서 1층으로 올라가기 위해 계단을 이용한다고 가정해 보겠습니다. 그러기 위해서는 한 단계씩 나아가야 합니다. 두 번째 단계, 곧 험난한 첫 번째 단계로 가는 길밖에 없습니다. 세 번째 단계로 가고 싶다고 가정해 보세요. 먼저 두 번째 단계를 수행해야 합니다. 여기에서 반복 과정을 명확하게 볼 수 있습니다. 여기서는 다음 단계마다 각 단계 간에 동일한 차이가 있는 반복 시퀀스처럼 이전 단계를 추가하는 것을 볼 수 있습니다. 이것이 재귀 함수의 실제 개념입니다.
2 단계: 1단계 + 가장 낮은 단계.
3단계: 2단계 + 1단계 + 가장 낮은 단계.
4단계: 3단계 + 2단계 + 1단계 + 가장 낮은 단계 등입니다.
자연수 집합은 1부터 시작하여 무한대, 1,2,3,4,5,6,7,8, 9,…부정사까지 이어지는 재귀 함수의 기본 예입니다. 따라서 자연수 집합은 각 항의 공통차를 1로 볼 수 있으므로 재귀함수를 나타냅니다. 이는 다음 용어가 이전 용어에 의해 반복될 때마다 표시됩니다.
재귀적으로 정의된 함수란 무엇입니까?
재귀적으로 정의된 함수는 두 부분으로 구성됩니다. 첫 번째 부분은 가장 작은 인수 정의를 다루고, 두 번째 부분은 n번째 용어 정의를 다룹니다. 가장 작은 인수는 f(0) 또는 f(1)로 표시되고, n번째 인수는 f(n)로 표시됩니다.
주어진 예를 따르십시오.
시퀀스가 4,6,8,10이라고 가정합니다.
위 수열의 명시적 공식은 f(n)= 2n + 2입니다.
위 수열의 명시적 공식은 다음과 같습니다.
f(0) = 2
f(n) = f(n-1) + 2
이제 다음과 같이 재귀 공식을 적용하여 수열 항을 얻을 수 있습니다. f(2 ) f (1) + 2
f(2) = 6
f(0) = 2
에프(1) = 에프(0) + 2
에프(1) = 2 + 2 = 4
에프(2) = 에프(1) + 2
f(2) = 4 + 2 = 6
에프(3) = 에프(2) + 2
f(3 ) = 6 + 2 = 8
위의 재귀 함수 공식을 사용하여 다음 항을 결정할 수 있습니다.
함수를 재귀적으로 만드는 이유는 무엇입니까?
함수를 재귀적으로 만들려면 시퀀스의 다음 항을 계산하기 위한 자체 항이 필요합니다. 예를 들어, 주어진 수열의 n번째 항을 계산하려면 먼저 이전 항과 이전 항 이전의 항을 알아야 합니다. 따라서 수열이 재귀적인지 아닌지를 알아내려면 이전 항을 알아야 합니다. 따라서 함수가 시퀀스의 다음 항을 결정하기 위해 이전 항이 필요한 경우 함수는 재귀 함수로 간주된다는 결론을 내릴 수 있습니다.
재귀 함수의 공식
만약1, ㅏ2, ㅏ삼, ㅏ4, ㅏ5, ㅏ6, ……..ㅏN,…이 많은 집합이거나 수열인 경우 재귀 공식은 값을 계산하기 위해 이전에 존재했던 모든 항을 계산해야 합니다.
ㅏN=an-1 +ㅏ1
위의 수식은 등차수열 재귀수식(Arithmetic Sequence Recursive Formula)으로 정의할 수도 있습니다. 위에서 언급한 수열에서 이는 첫 번째 항과 다른 항, 그리고 각 항 사이의 공통 차이로 구성된 산술 수열임을 분명히 알 수 있습니다. 공차는 여기에 더하거나 빼는 숫자를 의미합니다.
재귀 함수는 기하학적 수열로 정의될 수도 있습니다. 여기서 숫자 집합이나 수열은 그들 사이에 공통 인수 또는 공통 비율을 갖습니다. 기하학적 수열의 공식은 다음과 같이 주어진다.
ㅏN=an-1 *아르 자형
일반적으로 재귀 함수는 두 부분으로 정의됩니다. 첫 번째는 수식과 함께 첫 번째 항의 진술이고, 다른 하나는 연속된 항과 관련된 규칙과 함께 첫 번째 항의 진술입니다.
산술 수열에 대한 재귀 공식을 작성하는 방법
산술 수열 공식에 대한 재귀 공식을 작성하려면 다음 단계를 따르십시오.
1 단계:
첫 번째 단계에서는 주어진 수열이 산술적인지 여부를 확인해야 합니다(이를 위해서는 두 개의 연속 항을 더하거나 빼야 합니다). 동일한 출력을 얻으면 해당 시퀀스는 산술 시퀀스로 간주됩니다.
2 단계:
이제 주어진 수열의 공차를 찾아야 합니다.
3단계:
첫 번째 항을 사용하여 재귀 공식을 공식화한 다음 이전 항과 공차를 사용하여 공식을 만듭니다. 따라서 당신은 주어진 결과를 얻을 것입니다
ㅏN=an-1 +디
이제 예제를 통해 주어진 공식을 이해하겠습니다.
3,5,7,9,11이 주어진 시퀀스라고 가정합니다.
위의 예에서는 수열의 각 항이 2씩 증가하므로 등차수열임을 쉽게 알 수 있습니다. 따라서 두 항의 공차는 2입니다. 우리는 재귀수열의 공식을 알고 있습니다.
ㅏN=an-1 +디
주어진,
d = 2
ㅏ1= 3
그래서,
ㅏ2=a(2-1)+ 2 = 에1+2 = 3+2 = 5
ㅏ삼=a(3-1)+ 2 = 에2+2 = 5+2 = 7
ㅏ4=a(4-1)+ 2 = 에삼+2 = 7+2 = 9
ㅏ5=a(5-1)+ 2 = a + 2 = 9+2 = 11, 그리고 과정은 계속됩니다.
기하학적 수열에 대한 재귀 공식을 작성하는 방법은 무엇입니까?
기하학적 수열 공식에 대한 재귀 공식을 작성하려면 다음 단계를 따르십시오.
1 단계
첫 번째 단계에서는 주어진 수열이 기하학적인지 아닌지 확인해야 합니다(이를 위해서는 각 항에 숫자를 곱하거나 나누어야 합니다). 한 항에서 다음 항까지 동일한 출력을 얻으면 수열은 기하학적 수열로 간주됩니다.
2 단계
이제 주어진 수열에 대한 공비를 구해야 합니다.
3단계
첫 번째 항을 사용하여 재귀 공식을 공식화한 다음 이전 항과 공통비를 사용하여 공식을 만듭니다. 따라서 당신은 주어진 결과를 얻을 것입니다
ㅏN= r*ㅏn-1
이제 예제를 통해 주어진 공식을 이해하겠습니다.
2,8,32, 128,.이 주어진 시퀀스라고 가정합니다.
위의 예에서는 수열의 연속항이 이전 항에 4를 곱하여 얻어지기 때문에 기하수열임을 쉽게 알 수 있습니다. 따라서 두 항 사이의 공비는 4입니다. 우리는 재귀 수열의 공식을 알고 있습니다.
ㅏN= r*ㅏn-1
ㅏN= 4
ㅏn-1= ?
주어진,
r = 4
ㅏ1= 2
그래서,
ㅏ2=a(2-1)* 4 = 에이1+ * 4 = 2* 4 = 8
ㅏ삼=a(3-1)* 4 = 에이2* 4 = 8 * 4 = 32
ㅏ4=a(4-1)* 4 = 에이삼* 4 = 32* 4 = 128이며 프로세스가 계속됩니다.
재귀 함수의 예
예시 1:
수열 4,8,16,32,64, 128,….에 대한 재귀 공식을 결정하십시오.
그렇지 않으면 자바에서
해결책:
주어진 시퀀스 4,8,16,32,64,128,… ..
주어진 수열은 앞의 항을 곱하면 연속적인 항을 얻기 때문에 기하학적입니다.
주어진 수열에 대한 재귀 공식을 결정하려면 표 형식으로 작성해야 합니다.
| 용어 번호 | 시퀀스 용어 | 함수 표기법 | 아래첨자 표기법 |
|---|---|---|---|
| 1 | 4 | 에프(1) | ㅏ1 |
| 2 | 8 | 에프(2) | ㅏ2 |
| 삼 | 16 | 에프(3) | ㅏ삼 |
| 4 | 32 | 에프(4) | ㅏ4 |
| 5 | 64 | 에프(5) | ㅏ5 |
| 6 | 128 | 에프(6) | ㅏ6 |
| N | . | 에프(엔) | ㅏN |
따라서 함수 개념의 재귀 공식은 다음과 같이 제공됩니다.
f(1) = 4, f(n) . f(n-1)
아래 첨자 표기법에서 재귀 공식은 다음과 같이 제공됩니다.
ㅏ1= 4, 에N= 2. 에이n-1