3차 방정식 3차 다항식은 상수 또는 최대 2차 다항식과 동일시되는 수학 방정식입니다. 삼차 방정식의 표준 표현은 다음과 같습니다. 도끼 삼 +bx 2 +cx+d = 0 여기서 a, b, c, d는 실수입니다. 삼차 방정식의 몇 가지 예는 다음과 같습니다. 엑스 삼 – 4배 2 + 15x – 9 = 0, 2배 삼 – 4배 2 = 0 등.
내용의 테이블
- 다항식 정의
- 방정식의 정도
- 3차 방정식 정의
- 삼차 방정식을 푸는 방법?
- 삼차 방정식 풀기
- 인수를 사용하여 3차 방정식 풀기
- 그래픽 방법을 사용하여 3차 방정식 풀기
- 삼차 방정식 풀이에 기초한 문제
- 삼차 방정식 풀기 연습 문제
삼차 방정식을 푸는 방법을 배우려면 먼저 다항식, 다항식의 차수 등에 대해 배워야 합니다. 이 기사에서는 다항식, 다항식 방정식, 삼차 방정식 풀기 또는 삼차 방정식을 푸는 방법 등에 대해 자세히 알아봅니다.
다항식 정의
다항식은 다음과 같이 정의됩니다.
ㅏ 다항식 변수의 거듭제곱이 음이 아닌 정수인 대수식입니다. 다항식의 일반적인 형태는 다음과 같습니다.0엑스N+ 에1엑스n-1+ 에2엑스n-2+... +aN. 변수의 최대 거듭제곱에 따라 다항식은 단항식, 이항식, 삼항식 등으로 분류될 수 있습니다.
방정식이란 무엇입니까?
방정식은 다음과 같이 정의됩니다.
방정식은 숫자 값 또는 기타 다항식과 동일한 다항식입니다. 예를 들어, x + 2는 다항식이지만 x + 2 = 5는 방정식입니다. 마찬가지로 2x + 3 = x + 1도 방정식인 반면, 2x + 3과 x + 1은 개별적으로 다항식입니다.
방정식의 정도
방정식 차수의 정의는 다음과 같습니다.
방정식의 정도 방정식에서 변수가 갖는 최대 검정력으로 정의됩니다.
방정식의 차수에 따라 방정식은 다음과 같이 분류될 수 있습니다.
- 일차 방정식
- 이차 방정식
- 3차 방정식
- 이차 방정식
일차 방정식
변수의 최대 거듭제곱이 1인 방정식을 선형 방정식이라고 합니다.
- 예를 들어 3x +1 = 0
2차 다항식
변수의 최대 거듭제곱이 2인 방정식은 이차방정식입니다.
- 예를 들어 3배2+x+1 = 0
3차 방정식
변수의 최대 거듭제곱이 3인 방정식을 3차 방정식이라고 합니다.
- 예를 들어 5배삼+3배2+x+1 = 0
2차 다항식
변수의 최대 거듭제곱이 4인 방정식을 이차 다항식(Biquadratic Polynomial) 또는 사차 다항식(Quartic Polynomial)이라고 합니다.
- 예를 들어 5배4+4배삼+3배2+2x+1 = 0
3차 방정식 정의
3차 방정식 다항식의 최고 차수가 3인 대수 방정식입니다. 삼차 방정식의 일부 예는 5x입니다.삼+3배2+x+1 = 0, 2x삼+8 = x ⇒ 2x삼-x+8 = 0 등
삼차방정식의 일반적인 형태는,
도끼 삼 + BX 2 +cx +d = 0, a ≠ 0
어디,
- 에, 비, 그리고 씨 변수의 계수와 지수는 다음과 같습니다. 디 는 상수이고,
- 에이, 비, 씨 그리고 디 실수입니다.
삼차 방정식을 푸는 방법?
삼차 방정식은 3차 방정식입니다. 세 가지 솔루션이 있으며 아래 추가된 단계에 따라 쉽게 해결할 수 있습니다.
1 단계: Hit and Try 방법으로 삼차방정식에 대한 하나의 해를 구합니다. 삼차 방정식 P(x)가 있다고 가정하고 x = 0, ±1, ±2, ±3, … 등을 취하여 임의의 x = a, P(a) = 0을 찾습니다.
2 단계: P(a) = 0이 되면 P(x)의 인수 (x – a)를 찾습니다.
3단계: 다항식 나눗셈을 사용하여 P(x)를 (x – a)로 나누어 Q(x)라는 2차 방정식을 얻습니다.
4단계: 2차 방정식 Q(x)를 팩터화하여 인수를 (x – b) 및 (x – c)로 얻습니다.
5단계: (x – a), (x – b) 및 (x – c)는 P(x)의 인수이고 각 인수를 풀면 방정식의 근은 a, b 및 c로 얻습니다.
자세히 알아보기 다항식 나누기
삼차 방정식 풀기
ㅏ 3차 방정식 두 가지 방법으로 해결 가능
- 이를 이차 방정식으로 줄인 다음 인수분해 또는 이차 공식을 사용하여 해결합니다.
- 그래픽 방법별
ㅏ 3차 방정식 뿌리가 3개 있다. 이 뿌리는 실제일 수도 있고 상상일 수도 있습니다. 또한, 별개의 뿌리가 있을 수도 있고, 두 개의 동일한 뿌리와 하나의 다른 뿌리 및 세 개의 동일한 뿌리가 있을 수도 있습니다.
다음을 포함한 모든 방정식에 대해 주목해야 할 점은 삼차 방정식 , 방정식을 풀기 전에 먼저 방정식을 표준 형식으로 정렬해야 합니다.
예를 들어, 주어진 방정식이 2x라면2-5 = x + 4/x, 그러면 이것을 표준 형식, 즉 2x로 다시 배열해야 합니다.삼-엑스2-5x-4 = 0. 이제 적절한 방법을 사용하여 방정식을 풀 수 있습니다.
인수를 사용하여 3차 방정식 풀기
인자정리를 이용한 삼차방정식의 해법은 아래에 추가된 예를 사용하여 설명합니다.
예: 방정식 f(x) = 3x의 근 찾기 삼 -16x 2 + 23x − 6 = 0.
해결책:
주어진 표현식: f(x) = 3x삼-16x2+ 23x − 6 = 0
먼저 다항식을 인수분해하여 근을 얻습니다.
상수가 -6이므로 가능한 인수는 1, 2, 3, 6입니다.
f(1) = 3 – 16 + 23 – 6 ≠ 0
f(2) = 24 – 64 + 46 – 6 = 0
f(3) = 81 – 144 + 69 – 6 = 0
f(6) = 648 – 576 + 138 – 6 ≠ 0
우리는 그것을 알고 있습니다. 인자 정리 f(a) = 0이면 (x-a)는 f(x)의 인수입니다.
따라서 (x – 2)와 (x – 3)은 f(x)의 인수입니다. 따라서 (x – 2)와 (x – 3)의 곱도 f(x)의 인수가 됩니다. 이제 나머지 요소를 찾으려면 긴 나눗셈 방법을 사용하고 f(x)를 (x – 2)와 (x – 3)의 곱으로 나눕니다.
따라서 제수 = (x – 2)(x – 3) = (x2– 5x + 6) 및 배당금 = 3x삼-16x2+ 23x − 6. 이제 아래와 같이 나눕니다.
나눗셈 후에 우리는 (3x-1)을 몫으로 얻고 나머지는 0이 됩니다. 이제 다음과 같습니다. 분할 알고리즘 우리는 그것을 알고 배당금 = 제수×몫+나머지.
⇒ f(x) = (3x삼-16x2+ 23x − 6) = (x2– 5x + 6)(3x-1)
f(x) = 0이므로
⇒ (x2– 5x + 6)(3x-1) = 0
⇒ x2– 5x + 6 = 0 또는 3x-1 = 0
이제 x로부터 두 개의 근을 이미 알고 있으므로 3x-1 = 0 ⇒ x = 1/3을 취하겠습니다.2– 2와 3인 5x + 6
그래서,
주어진 것의 뿌리 3차 방정식 1/3, 2, 3입니다.
그래픽 방법을 사용하여 3차 방정식 풀기
다른 기술을 사용하여 주어진 방정식을 풀 수 없는 경우 삼차 방정식을 그래픽으로 풀 수 있습니다. 따라서 주어진 삼차방정식을 정확하게 그려야 합니다. 방정식의 근은 방정식이 x의 항에 있는 경우 그래프가 X축과 교차하는 지점이고, 방정식이 y의 항에 있는 경우 방정식의 근은 그래프가 X축과 교차하는 지점입니다. Y축을 자릅니다.
삼차 방정식의 실수 해의 수는 삼차 방정식의 그래프가 X축을 교차하는 횟수와 같습니다.
예: 방정식 f(x) = x의 근 찾기 삼 – 4배 2 − 9x + 36 = 0, 그래픽 방법 사용.
해결책:
주어진 표현식: f(x) = x삼– 4배2− 9x + 36 = 0.
이제 주어진 함수에 대한 그래프의 x를 임의의 값으로 대체하면 됩니다.
엑스
-4
-삼
자바 목록을 배열로-2
-1
0
1
2
삼
4
5
에프엑스(f(x))
-56
0
19
40
36
24
10
0
0
16
그래프가 X축을 3개 지점에서 절단한 것을 볼 수 있으므로 실제 솔루션은 3개입니다.
그래프에서 해는 x = -3, x = 3, x = 4입니다.
따라서 주어진 방정식의 근은 -3, 3, 4입니다.
더 읽어보기,
- 일차 방정식
- 이차 방정식 풀기
- 다항식 인수분해
삼차 방정식 풀이에 기초한 문제
문제 1: f(x) = x의 근을 구합니다. 삼 – 4배 2 -3x + 6 = 0.
해결책:
주어진 표현식: f(x) = x삼– 4배2-3x + 6 = 0.
먼저 다항식을 인수분해하여 근을 구합니다.
상수가 +6이므로 가능한 인수는 1, 2, 3, 6입니다.
f(1) = 1 – 4 – 3 + 6 = 7 – 7 = 0
f(2) = 8 – 16 – 6 + 6 ≠ 0
f(3) = 27 – 36 – 9 + 6 ≠ 0
f(6) = 216 – 144 -18 + 6 = -48 ≠ 0
그래서 따르면 인자 정리 (x – 1)은 주어진 방정식의 인수입니다. 이제 나머지 요소를 찾으려면 긴 나눗셈 방법을 사용하십시오.
1에서 10 사이의 임의의 숫자
에 따르면 분할 알고리즘 우리는 쓸 수있다,
따라서 f(x) = x삼– 4배2-3x + 6 = (x – 1) (x2– 3x – 6) = 0
⇒ (x – 1) = 0 또는 (x2– 3x – 6) = 0
우리는 이차방정식 도끼의 근이2+ bx + c = 0 은,
x = [-b ± √(b2-4ac)]/2a
따라서 (x에 대해2– 3x – 6) = 0
x = [3 ± √(32– 4(1)(-6)]/2(1)
x = (3 ± √33)/2
따라서 주어진 삼차 방정식의 근은 1, (3+√33)/2, (3–√33)/2입니다.
문제 2: 방정식 f(x) = 4x의 근을 구합니다. 삼 – 10배 2 + 4x = 0.
해결책:
주어진 표현식: f(x) = 4x삼– 10배2+ 4x = 0
⇒ x (4x2– 10x + 4) = 0
⇒ x (4x2– 8x – 2x + 4) = 0
⇒ x(4x(x – 2) – 2(x – 2)) = 0
⇒ x (4x – 2) (x – 2) = 0
⇒ x = 0 또는 4x – 2 = 0, x – 2 = 0
⇒ x = 0 또는 x = 1/2 또는 x = 2
따라서 주어진 방정식의 근은 0, 1/2 및 2입니다.
문제 3: 방정식 f(x) = x의 근을 구합니다. 삼 + 3배 2 + x + 3 = 0.
해결책:
주어진 표현식: f(x) = x삼+ 3배2+ x + 3 = 0.
⇒ x2(x + 3) + 1(x + 3) = 0
⇒ (x + 3) (x2+1) = 0
⇒ x + 3 = 0 또는 x2+1 = 0
⇒ x = -3, ±i
따라서 주어진 방정식은 실수근, 즉 -3과 두 개의 허수근, 즉 ±i를 갖습니다.
문제 4: 방정식 f(x) = x의 근을 구합니다. 삼 – 7배 2 – x + 7 = 0.
해결책:
주어진 표현은,
에프(엑스) = 엑스삼– 3배2– 5x + 7 = 0
먼저 방정식 f(x): x를 인수분해합니다.삼– 3배2– 5x + 7= 0
(x-7)(x+1)(x-1) = 0으로 인수분해할 수 있습니다.
다항식을 인수분해한 후 각 인수를 0으로 동일시하여 근을 찾을 수 있습니다. 예를 들어:
- x – 7 = 0이므로 x = 7
- x + 1 = 0이므로 x = -1
- x – 1 = 0이므로 x = 1
따라서 방정식 f(x)의 근은 다음과 같습니다. x삼– 3배2– 5x + 7 = 0은
- 엑스 = 7
- x = -1
- 엑스 = 1
문제 5: 방정식 f(x) = x의 근을 구합니다. 삼 - 6배 2 + 11x − 6 = 0, 그래픽 방법 사용.
해결책:
주어진 표현식: f(x) = x삼- 6배2+ 11x − 6 = 0.
이제 주어진 함수에 대한 그래프의 x를 임의의 값으로 대체하면 됩니다.
엑스
1
2
삼
4
5
에프엑스(f(x))
0
0
0
6
24
그래프가 X축을 3개 지점에서 절단한 것을 볼 수 있으므로 실제 솔루션은 3개입니다.
그래프에서 해는 x = 1, x = 2, x = 3입니다.
따라서 주어진 방정식의 근은 1, 2, 3입니다.
삼차 방정식 풀기 연습 문제
삼차방정식과 관련된 다양한 연습문제를 아래에 추가합니다. 삼차 방정식을 푸는 방법의 개념을 완전히 이해하려면 이러한 문제를 해결하십시오.
P1. 3차 방정식 풀기, 3x삼+ 2배2– 11x + 7 = 0.
P2. 삼차 방정식의 근 찾기, 4x삼– 12배2+ 17 = 0.
P3. 삼차방정식 x를 푼다삼+ 4배2– 그래픽 방법을 사용하면 x + 3 = 0입니다.
P4. -9x를 만족하는 숫자를 찾으세요.삼+ 11배2– 8x + 2 = 0.
삼차 방정식 풀기에 대한 FAQ
1. 삼차 방정식이란 무엇입니까?
3차 방정식은 변수의 최대 거듭제곱이 3인 대수 방정식입니다.
2. 3차 방정식을 어떻게 인수분해합니까?
우리는 두 가지 방법으로 삼차 방정식을 인수분해할 수 있습니다. 먼저 주어진 삼차방정식에서 공통적인 1차식을 취하면 1차식과 2차식의 곱을 갖게 됩니다. 이 이차 방정식은 모든 인수를 얻기 위해 추가로 인수분해될 수 있습니다. 두 번째 방법은 임의의 값을 넣어 주어진 삼차방정식의 영점을 찾는 것이다. 방정식의 값을 0으로 만드는 값은 주어진 삼차 방정식의 0 중 하나가 됩니다. 이제 인자 정리를 사용하여 선형 표현식을 x-a라고 가정하고 주어진 삼차 방정식을 이 표현식으로 나누어 몫으로 이차 방정식을 제공합니다. 이렇게 얻은 이차 방정식은 모든 인수를 얻기 위해 추가로 인수분해될 수 있습니다.
3. 3차 방정식을 그래픽으로 어떻게 풀 수 있나요?
3차 방정식을 풀려면 주어진 3차 방정식에 x에 대한 임의의 값을 그래픽적으로 입력하고 풀면 y 값을 얻게 됩니다. 얻은 값을 그래프에 플롯합니다. 그래프가 x축과 교차하는 좌표를 찾습니다. 이 좌표는 3차 방정식의 해입니다.
4. 모든 삼차방정식을 정확하게 풀 수 있나요?
홀수 거듭제곱을 갖는 방정식은 하나의 실수근을 가져야 합니다. 따라서 판별식이 0보다 작을 때 두 근이 모두 허수가 될 수 있는 2차 방정식과 달리 삼차 방정식은 적어도 하나의 실수근을 가져야 합니다.
5. 3차 방정식에 여러 해가 있을 수 있나요?
예, 삼차 방정식은 최대 3개의 서로 다른 실근을 가질 수 있으므로 삼차 방정식은 여러 해를 가질 수 있습니다.
6. 방정식의 차수란 무엇을 의미합니까?
방정식에서 변수가 갖는 최대 검정력을 다항식의 차수라고 합니다.
7. 다항식과 방정식의 차이점은 무엇입니까?
다항식은 단순히 변수의 거듭제곱이 음이 아닌 정수인 대수 방정식입니다. 이 다항식을 숫자 값이나 다른 다항식과 동일시(=)하면 방정식이라고 합니다.
8. 삼차 방정식의 인자 정리는 무엇입니까?
인수 정리에서는 r이 삼차 방정식 ax의 근(해)인 경우 다음과 같이 명시합니다.삼+ BX2+ cx + d = 0이면 x – r은 방정식의 인수입니다.
9. 수식을 사용해 정확한 답을 찾을 수 없으면 어떻게 하나요?
정확한 해를 찾는 것이 불가능해 보인다면 반복 방법(예: 뉴턴 방법)과 같은 수치 방법을 사용하여 방정식의 근을 근사화할 수 있습니다.
자세히 알아보기 뉴턴 랩슨의 방법 .