삼각 치환(Trigonometric Substitution)은 주어진 적분의 함수나 표현식을 sin, cos, tan 등과 같은 삼각 함수로 대체하는 적분의 치환 방법 중 하나입니다. 치환에 의한 적분은 가장 쉬운 치환 방법입니다.

이는 주어진 적분 함수에 이미 포함된 미분 함수를 대체할 때 사용됩니다. 이로써 함수가 단순화되고, 쉽게 통합할 수 있는 간단한 적분 함수가 얻어집니다. 이는 u-대체 또는 역연쇄 법칙이라고도 합니다. 즉, 이 방법을 사용하면 적분과 역도함수를 쉽게 평가할 수 있습니다.

삼각법 치환

삼각법 대체란 무엇입니까?

삼각 치환은 삼각 함수를 다른 표현식으로 치환하는 과정입니다. 적분을 평가하는 데 사용되거나 이차식의 제곱근이나 유리수 형태의 거듭제곱을 포함하는 함수의 역도함수를 찾는 방법입니다.frac{p}{2} (여기서 p는 정수) 2차 표현식. 그러한 표현의 예는 다음과 같습니다.

({x^2+4})^frac{3}{2} 또는sqrt{25-x^2} 또는 등등.

삼각법 대체 방법은 보다 일반적이고 사용하기 쉬운 다른 통합 방법이 실패할 때 호출될 수 있습니다. 삼각법 대체에서는 사용자가 표준 삼각법 항등식, 미분 표기법 사용, u-치환을 사용한 적분 및 삼각 함수의 적분에 익숙하다고 가정합니다.

x = f(θ)

⇒ dx = f'(θ)dθ

여기서는 적분해야 하는 함수에 따라 몇 가지 중요한 공식에 대해 논의할 것입니다. 적분을 단순화하기 위해 다음 삼각 표현식 중 하나를 대체합니다.

∫cosx dx = sinx + C

아날로그 통신

∫sinx dx = −cosx + C

∫초²x dx = tanx + C

∫cosec²xdx = −cotx + C

∫secx tanx dx = secx + C

∫cosecx cotx dx = −cosecx + C

∫tanx dx = ln|secx| + C

∫cotx dx = ln|sinx| + C

∫secx dx = ln|secx + tanx| + C

∫cosecx dx = ln|cosecx − cotx| + C

자세히 읽어보세요: 수학에서의 미적분학

언제 삼각법 대체를 사용합니까?

다음과 같은 경우에는 삼각법 치환을 사용합니다.

삼각 치환 방법을 적용하는 방법은 무엇입니까?

아래에서 설명하는 삼각법 대체 방법을 적용할 수 있습니다.

와 일체형²– 엑스²

다음과 관련된 적분의 예를 고려해 보겠습니다.²– 엑스².

예: int frac{1}{sqrt{a^2-x^2}}hspace{0.1cm}dx

메소드 java와 같음

x = a sinθ라고 합시다.

⇒ dx = cosθ dθ

따라서 나는 =int frac{ahspace{0.1cm}cos heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2-(ahspace{0.1cm}sin heta)^2)}}

⇒ 나 =int frac{ahspace{0.1cm}cos heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2cos^2 heta)}}

⇒ 나 =int 1. d heta

⇒ 나는 = θ + c

마찬가지로, x = 죄θ

⇒ θ =sin^{-1}(frac{x}{a})

⇒ 나 =sin^{-1}(frac{x}{a}) + c

x와 적분 ² + 에 ²

x와 관련된 적분의 예를 생각해 봅시다.²+ 에².

예: 적분 찾기 old{int frac{1}{x^2+a^2}hspace{0.1cm}dx}

해결책:

x = tanθ라고 합시다.

⇒ dx = a sec2θ dθ, 우리는 다음을 얻습니다.

따라서 나는 =int frac{1}{(ahspace{0.1cm}tan heta)^2+a^2}hspace{0.1cm}(ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta)

⇒ 나 =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{a^2(sec^2 heta)}

⇒ 나 =frac{1}{a}int 1.d heta

⇒ 나 =frac{1}{a} heta + ㄷ

마찬가지로, x = tanθ

⇒ θ =tan^{-1}(frac{x}{a})

⇒ 나 =frac{1}{a}tan^{-1}(frac{x}{a}) + ㄷ

와 일체형 ² + 엑스 ² .

다음과 관련된 적분의 예를 고려해 보겠습니다.²+ 엑스².

예: 적분 구하기 old{int frac{1}{sqrt{a^2+x^2}}hspace{0.1cm}dx}

해결책:

x = tanθ라고 합시다.

⇒ dx = 초²θdθ

따라서 나는 =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2+(ahspace{0.1cm}tan heta)^2)}}

⇒ 나 =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2hspace{0.1cm}sec^2 heta)}}

⇒ 나 =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{ahspace{0.1cm}sec heta}

⇒ 나 =int sechspace{0.1cm} heta d heta

⇒ 나 =log|sechspace{0.1cm} heta+tanhspace{0.1cm} heta| + c

⇒ 나 =log|tanhspace{0.1cm} heta+sqrt{1+tan^2hspace{0.1cm} heta}| + c

⇒ 나 =log|frac{x}{a}+sqrt{1+frac{x^2}{a^2}}|+ c

⇒ 나 =log|frac{x}{a}+sqrt{frac{a^2+x^2}{a^2}}|+ c

⇒ 나 =log|frac{x}{a}+frac{1}{{a}}sqrt{a^2+x^2}|+ c

⇒ 나 =log|x+sqrt{a^2+x^2}|-loghspace{0.1cm}a+ c

⇒ 나 =log|x+sqrt{a^2+x^2}|+ c_1

x와 적분 ² - ㅏ ² .

x와 관련된 적분의 예를 생각해 봅시다.²- ㅏ².

예: 적분 구하기 old{int frac{1}{sqrt{x^2-a^2}}hspace{0.1cm}dx}

x = 1초θ라고 합시다.

HTML 목록 상자

⇒ dx = a secθ tanθ dθ

따라서 나는 =int frac{ahspace{0.1cm}sec heta hspace{0.1cm}tan hetahspace{0.1cm}d heta}{sqrt{((ahspace{0.1cm}sec heta)^2-a^2)}}

⇒ 나 =int frac{ahspace{0.1cm}sec heta hspace{0.1cm}tan hetahspace{0.1cm}d heta}{(ahspace{0.1cm}tan heta)}

⇒ 나 =int sec hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ 나 =log|sechspace{0.1cm} heta+tanhspace{0.1cm} heta| + c

⇒ 나 =log|sechspace{0.1cm} heta+sqrt{sec^2hspace{0.1cm} heta-1}| + c

⇒ 나 =log|frac{x}{a}+sqrt{frac{x^2}{a^2}-1}|+ c

⇒ 나 =log|frac{x}{a}+sqrt{frac{x^2-a^2}{a^2}}|+ c

⇒ 나 =log|frac{x}{a}+frac{1}{{a}}sqrt{x^2-a^2}|+ c

⇒ 나 = log|x+sqrt{x^2-a^2}|-loghspace{0.1cm}a+ c

⇒ 나 =log|x+sqrt{x^2-a^2}|+ c_1

더 읽어보기,

• 통합 공식
• 대체에 의한 적분
• 부품별 통합

삼각함수 치환에 관한 샘플 문제

문제 1: 적분을 구하세요. old{int frac{1}{sqrt{9-25x^2}} hspace{0.1cm}dx}

해결책:

분모에 5개의 공통점을 취하면,

⇒ 나 =frac{1}{5}int frac{1}{sqrt{frac{9}{25}-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

⇒ 나 =frac{1}{5}int frac{1}{sqrt{(frac{3}{5})^2-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

정리 1에 따르면, a =frac{3}{5}

⇒ 나 =frac{1}{5} sin^{-1}(frac{x}{frac{3}{5}}) + ㄷ

⇒ 나 =frac{1}{5} sin^{-1}(frac{5x}{3}) + ㄷ

문제 2: 적분을 구하세요. old{int frac{1}{sqrt{8-2x^2}} hspace{0.1cm}dx}

해결책:

분모에 √2 공통을 취하면,

⇒ 나 = frac{1}{sqrt{2}}int frac{1}{sqrt{frac{8}{2}-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

⇒ 나 =frac{1}{sqrt{2}}int frac{1}{sqrt{(2)^2-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

정리 1에 따르면, a = 2

⇒ 나 =frac{1}{sqrt{2}} sin^{-1}(frac{x}{2}) +c

⇒ 나 =frac{1}{sqrt{2}} sin^{-1}(frac{x}{2}) +c

문제 3: 적분을 구하세요. old{int x^3sqrt{9-x^2}hspace{0.1cm}dx}

해결책:

다시 정리하면,

int x^3sqrt{3^2-x^2}hspace{0.1cm}dx

여기에서 a = 3 및 x = 3 sinθ를 취합니다.

⇒ dx = 3 cos θ dθ

이 값을 대체하면,

나 =int (3 sinθ)^3sqrt{(3^2-(3 sin heta)^2)}hspace{0.1cm}3 hspace{0.1cm}cos hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ 나 =int 27 sin^3 heta hspace{0.1cm}3sqrt{(1-sin^2 heta)}hspace{0.1cm}3 hspace{0.1cm}cos hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ 나 =int 243 hspace{0.1cm}sin^3 heta cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ 나 = 243inthspace{0.1cm}sin^2 heta hspace{0.1cm}sin hetahspace{0.1cm}cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ 나 = 243inthspace{0.1cm}(1-cos^2 heta) hspace{0.1cm}sin hetahspace{0.1cm}cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

해 보자,

스피커가 뭐야?

당신 = cos θ

⇒ du = -sin θ dθ

이 값을 대체하면 다음을 얻습니다.

⇒ 나 = 243inthspace{0.1cm}(1-u^2) hspace{0.1cm}u^2hspace{0.1cm}(-du)

⇒ 나 = -243inthspace{0.1cm}(u^2-u^4) hspace{0.1cm}du

⇒ 나 = -243inthspace{0.1cm}u^2 hspace{0.1cm}du – inthspace{0.1cm}u^4 hspace{0.1cm}du

⇒ 나 = -243[frac{u^3}{3} – frac{u^5}{5}]

As, u = cos θ 및 x = 3 sinθ

⇒ cos θ =sqrt{1-sin^2 heta}

⇒ 에서 =sqrt{1-(frac{x}{3})^2}

⇒ 에 =(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}}

따라서 I = -243[frac{({(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}})}^3}{3}-frac{({(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}})}^5}{5}]

⇒ 나 = -243 [frac{(1-frac{x^2}{9})^{frac{3}{2}}}{3}-frac{(1-frac{x^2}{9})^{frac{5}{2}}}{5}] + ㄷ

문제 4: 적분을 구하세요. old{int frac{1}{4+9x^2} hspace{0.1cm}dx}

해결책:

분모에 9개의 공통점을 취하면,

나 =frac{1}{9}int frac{1}{frac{4}{9}+x^2} hspace{0.1 cm} dx

⇒ 나 =frac{1}{9}int frac{1}{(frac{2}{3})^2+x^2} hspace{0.1 cm} dx

정리 2에 따르면, a =frac{2}{3}

⇒ 나 =frac{1}{9} imes frac{1}{frac{2}{3}}tan^{-1} frac{x}{(frac{2}{3})}

⇒ 나 =frac{1}{6}tan^{-1} (frac{3x}{2})+ c

문제 5: 적분을 구하세요. old{int frac{1}{sqrt{16x^2+25}}hspace{0.1cm}dx}

해결책:

분모에 4개의 공통점을 취하면,

나 =frac{1}{4}intfrac{1}{sqrt{x^2+frac{25}{16}}}

⇒ 나 =frac{1}{4}intfrac{1}{sqrt{x^2+(frac{5}{4})^2}}

정리 3에 따르면, a =frac{5}{4}

⇒ 나 =frac{1}{4} imes log|x+sqrt{(frac{5}{4})^2+x^2}|+ c

⇒ 나 =frac{1}{4} imes log|frac{4x+sqrt{25+16x^2}}{4}|+ c

⇒ 나 =frac{1}{4}log|4x+sqrt{25+16x^2}|-frac{1}{4}log4+ c

⇒ 나 =frac{1}{4}log|4x+sqrt{25+16x^2}|+ c_1

문제 6: 적분을 구하세요. old{int frac{1}{sqrt{4x^2-9}}hspace{0.1cm}dx} .

해결책:

분모에 2개의 공통점을 취하면,

나 =frac{1}{2}int frac{1}{sqrt{x^2-frac{9}{4}}} hspace{0.1cm}dx

나 =frac{1}{2}int frac{1}{sqrt{x^2-(frac{3}{2})^2}} hspace{0.1cm}dx

정리 4에 따르면, a =frac{3}{2}

나 =frac{1}{2} imes log|x+sqrt{x^2-(frac{3}{2})^2}|+c

나 =frac{1}{2}log|x+sqrt{x^2-frac{9}{4}}|+c

나 =frac{1}{2}log|frac{2x+sqrt{x^2-9}}{2}|+c

나 =frac{1}{2}log|2x+sqrt{x^2-9}|-frac{1}{2}log2+c

나 =frac{1}{2}log|2x+sqrt{x^2-9}|+c_1

문제 7: 적분을 구하라 old{int frac{1}{x^2-x+1}hspace{0.1cm}dx} .

해결책:

다시 정리한 후, 우리는

나 =int frac{1}{x^2-x+frac{1}{4}-frac{1}{4}+1}hspace{0.1cm}dx

나 =int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+frac{3}{4})}hspace{0.1cm}dx

단어 줄바꿈 CSS

나 =int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+(sqrt{frac{3}{4}})^2})hspace{0.1cm}dx

나 =int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+(frac{sqrt{3}}{2})^2})hspace{0.1cm}dx

정리 2에 따르면, 우리는

x = x-frac{1}{2} 그리고 =frac{sqrt{3}}{2}

나 =frac{1}{frac{sqrt{3}}{2}} tan^{ -1} frac{(x-frac{1}{2})}{frac{sqrt{3}}{2}}

나 =frac{2}{sqrt{3}} tan^{ -1} frac{(2x-1)}{sqrt{3}} + c

삼각법 치환 – FAQ

삼각 치환이란 무엇입니까?

삼각법 치환은 √(x와 같은 근호 및 제곱근이 포함된 표현식과 관련된 적분을 푸는 데 사용되는 적분 기술입니다.²+ 에²), √(a²+ 엑스²) 및 √(x²- ㅏ²).

언제 삼각법 대체를 사용해야 합니까?

삼각법 치환은 근호 표현식을 포함하는 적분이 있을 때, 특히 근호 표현식에 2차 항이 포함되어 있을 때 유용합니다.

적분에서 일반적으로 사용되는 세 가지 삼각법 대체는 무엇입니까?

일반적으로 사용되는 세 가지 삼각법 대체는 다음과 같습니다.

• 근호 표현에 a 형식의 항이 포함된 경우 x = a sin θ를 대체합니다.²– 엑스².
• 근호 표현에 x 형식의 항이 포함된 경우 x = a tan θ를 대체합니다.²- ㅏ².
• 근호 표현에 x 형식의 항이 포함된 경우 x = a sec θ를 대체합니다.²+ 에².

사용할 삼각법 대체 방법을 어떻게 선택합니까?

근수식의 형태에 따라 삼각함수 치환을 선택해야 합니다. 근호 표현에 a^2 – x^2 형식의 항이 포함되어 있으면 x = a sin θ를 사용하세요. 근호 표현식에 x^2 – a^2 형식의 항이 포함되어 있으면 x = a tan θ를 사용하세요. 근호 표현에 x^2 + a^2 형식의 항이 포함되어 있으면 x = a sec θ를 사용하세요.