4×4 행렬의 행렬식: 행렬식은 행렬에서 단일 스칼라 값을 도출하는 데 필수적인 선형 대수학의 기본 개념입니다. 4×4는 우리가 논의할 공식으로 행렬식을 찾을 수 있는 4개의 행과 4개의 열을 가진 정사각 행렬입니다.
이 기사에서는 살펴볼 것입니다. 4×4 행렬의 정의를 설명하고 4×4 행렬의 행렬식을 계산하는 단계별 과정을 안내합니다. 또한 이 수학적 연산의 실제 적용을 탐구합니다.
내용의 테이블
행렬식은 무엇입니까?
그만큼 행렬의 행렬식 는 요소로부터 계산할 수 있는 스칼라 값입니다. 정사각 행렬 . 이는 가역성 여부, 행렬로 표현되는 선형 변환의 배율 인수 등 행렬에 대한 중요한 정보를 제공합니다.
등의 다양한 방법 보조인자 행렬의 크기와 구조에 따라 확장 또는 행 축소를 사용하여 행렬식을 찾을 수 있습니다. 일단 계산되면 행렬식은 행렬을 둘러싸는 det 기호 또는 수직 막대로 표시됩니다.
4×4 행렬의 행렬식
4×4 행렬은 4개의 행과 4개의 열로 배열된 직사각형 숫자 배열입니다. 행렬의 각 요소는 행과 열 위치로 식별됩니다. 4×4 행렬의 일반적인 형태는 다음과 같습니다:
조인을 사용하여 SQL에서 업데이트
egin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} end{bmatrix}
어디서iji에 위치한 요소를 나타냅니다.일행과 j일행렬의 열입니다.
4×4 행렬은 컴퓨터 그래픽, 물리학, 공학, 수학 등 다양한 분야에서 흔히 접할 수 있습니다. 변환을 표현하고, 선형 방정식 시스템을 풀고, 선형 대수학 연산을 수행하는 데 사용됩니다.
4×4 매트릭스의 특성
다음은 단순화된 용어로 설명된 4×4 행렬의 몇 가지 속성입니다.
- 정사각형 매트릭스: 4×4 행렬은 행과 열의 수가 동일하므로 정사각형 행렬이 됩니다.
- 결정자: 4×4 행렬의 행렬식은 보조 인자 확장이나 행 축소와 같은 방법을 사용하여 계산할 수 있습니다. 선형 변환을 위한 행렬의 가역성 및 배율 인수에 대한 정보를 제공합니다.
- 역: 4×4 행렬은 뒤집을 수 있는 행렬식이 0이 아닌 경우. 4×4 행렬의 역행렬을 사용하면 선형 방정식 시스템을 풀고 행렬로 표현된 변환을 취소할 수 있습니다.
- 바꾸어 놓다: 4×4 행렬의 전치는 행과 열을 교환하여 얻습니다. 특정 계산 및 변환에 유용할 수 있습니다.
- 고유값과 고유벡터: 4×4 행렬을 분석하여 다음을 찾을 수 있습니다. 고유값과 고유벡터 , 이는 선형 변환에서 행렬의 속성을 나타냅니다.
- 대칭: 특정 행렬에 따라 대칭, 비대칭 대칭 또는 둘 다 아닌 등의 대칭 특성을 나타낼 수 있습니다.
- 매트릭스 연산: 특정 규칙과 속성에 따라 4×4 행렬에서 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 스칼라 곱셈과 같은 다양한 연산을 수행할 수 있습니다.
자세히 읽어보세요: 행렬식의 속성
4 × 4 행렬식의 행렬식
4 × 4 행렬의 행렬식, 즉,
그것(A) = a 열하나 · 그것(A 열하나 ) - ㅏ 12 · 그것(A 12 ) + 에 13 · 그것(A 13 ) - ㅏ 14 · 그것(A 14 )
어디에서iji를 삭제하여 부분행렬을 나타냅니다.일행과 j일열.
4 × 4 행렬의 행렬식은 어떻게 찾나요?
4×4 행렬의 행렬식을 구하려면 마이너 확장, 행 축소, 특정 속성 적용 등 다양한 방법을 사용할 수 있습니다.
일반적인 방법 중 하나는 각 요소에 보조 인자를 곱하고 결과를 합산하여 행이나 열을 따라 확장하는 보조 요소별 확장을 사용하는 것입니다. 이 프로세스는 행렬식을 직접 계산할 수 있는 2×2 부분행렬에 도달할 때까지 재귀적으로 계속됩니다. 4×4 행렬의 행렬식을 찾는 방법을 이해하려면 예를 고려하십시오.
egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 & 4 0 & -1 & 2 & 1 3 & 2 & 0 & 5 -1 & 3 & 2 & 1 end{bmatrix}
1단계: 첫 번째 행을 따라 확장합니다.
그것(A) = 2 · 그것(A 열하나 ) – 1 · 그것(A 12 ) + 3 · 그것(A 13 ) – 4 · 그것(A 14 )
어디에서ij는 i번째 행과 j번째 열을 삭제하여 얻은 부분행렬을 나타낸다.
2단계: 각 3×3 부분행렬의 행렬식을 계산합니다.
A의 경우열하나
⇒ |A열하나| = (-1)[(0)(1)-(5)(2)] – 2[(2)(1)-(5)(3)] + 1[(2)(2)-(0) (삼)]
⇒ |A열하나| = (-1)[(-10)] – 2[(2)-(15)] + 1[(4)-(0)]
⇒ |A열하나| = 10 – 2(-13) + 4
⇒ |A열하나| = 10 + 26 + 4= 40
A의 경우12
⇒ |A12| = (0)[(0)(1)-(5)(2)] – 2[(3)(1)-(5)(-1)] + 1[(3)(2)-(0) (-1)]
⇒ |A12| = (0)[(-10)] – 2[(3)+(5)] + 1[(6)-(0)]
⇒ |A12| = 0 - 2(8) + 6
⇒ |A12| = 0 – 16+ 6= 10
A의 경우13
⇒ |A13| = (0)[(2)(1)-(3)(5)] – (-1)[(3)(1)-(5)(-1)] + 2[(3)(3)- (2)(-1)]
⇒ |A13| = (0)[(2)-(15)] – (-1)[(3)+(5)] + 2[(9)-(-2)]
⇒ |A13| = 0 – (-1)(8) + 2(11)
⇒ |A13| = 8 + 22= 30
A의 경우14
⇒ |A14| = (0)[(2)(2)-(3)(0)] – (-1)[(3)(2)-(0)(-1)] + 2[(3)(3)- (2)(-1)]
⇒ |A14| = (0)[(4)-(0)] – (-1)[(6)-(0)] + 2[(9)-(-2)]
⇒ |A14| = 0 – (-1)(6) + 2(11)
⇒ |A14| = 6 + 22 = 28
3단계: 3×3 부분행렬의 행렬식을 확장 공식에 대체합니다.
(A) = 2·40 – 1·10 + 3·30 – 4·28
Java의 하위 문자열 예
4단계: 최종 행렬식 계산:
그것(A) = 80 – 10 + 90 – 112
그것(A) = 48
따라서 주어진 4×4 행렬의 행렬식은 48입니다.
또한 확인하세요
- 2×2 행렬의 행렬식
- 3×3 행렬의 행렬식
4×4 행렬 예제의 행렬식
예시 1: A =
해결책:
먼저 첫 번째 행을 따라 확장합니다.
ext{det}(A) = 2 cdot ext{det}(A_{11}) – 1 cdot ext{det}(A_{12}) + 0 cdot ext{det}(A_{13}) – 3 cdot ext{det}(A_{14}) 이제 각 3×3 부분행렬의 행렬식을 계산합니다.
(에이 열하나 ):
A_{11} = egin{bmatrix} -1 & 2 & 0 2 & 1 & 5 0 & -2 & 3 end{bmatrix}
ext{det}(A_{11}) = (-1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 1 & 5 -2 & 3 end{bmatrix} ight) – 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 0 & 3 end{bmatrix} ight) + 0 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 1 0 & -2 end{bmatrix} ight) = (-1)((1)(3)-(5)(-2)) – 2((2)(3)-(5)(0)) + 0((2)(-2)-( 1)(0))
= (-1)((3)+(10)) – 2((6)-(0)) + 0((-4)-(0))
= (-1)(13) – 2(6) + 0(-4)
= -13 – 12
SQL 날짜별 주문= -25
(에이 12 ):
A_{12} = egin{bmatrix} 2 & 0 & 3 -3 & 1 & 5 1 & 2 & 3 end{bmatrix}
ext{det}(A_{12}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 1 & 5 2 & 3 end{bmatrix} ight) – (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 5 1 & 3 end{bmatrix} ight) + (3) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 1 1 & 2 end{bmatrix} ight) = (2)((1)(3)-(5)(2)) – (0)((-3)(3)-(5)(1)) + (3)(-3)(2 ) -(1)(1))
= (2)((3)-(10)) – (0)((-9)-(5)) + (3)((-6)-(1))
= (2)(-7) – (0)(-14) + (3)(-7)
= -14 – 0 – 21
= -35
(에이 13 ):
A_{13} = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 -3 & 2 & 5 1 & 0 & 3 end{bmatrix}
ext{det}(A_{13}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 0 & 3 end{bmatrix} ight) – (1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 5 1 & 3 end{bmatrix} ight) + (3) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 2 1 & 0 end{bmatrix} ight) = (2)((2)(3)-(5)(0)) – (1)((-3)(3)-(5)(1)) + (3)((-3)(0 ) )-(2)(1))
= (2)((6)-(0)) – (1)((-9)-(5)) + (3)((0)-(2))
= (2)(6) – (1)(-14) + (3)(-2)
= 12 + 14 – 6
= 20
(에이 14 ):
A_{14} = egin{bmatrix} 2 & 1 & 0 -3 & 2 & 1 1 & 0 & -2 end{bmatrix}
ext{det}(A_{14}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 1 0 & -2 end{bmatrix} ight) – (1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 1 1 & -2 end{bmatrix} ight) + (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 2 1 & 0 end{bmatrix} ight) = (2)((2)(-2)-(1)(0)) – (1)((-3)(-2)-(1)(1)) + (0)((-3) (0)-(2)(1))
= (2)((-4)-(0)) – (1)((6)-(1)) + (0)((0)-(2))
= (2)(-4) – (1)(5) + (0)(-2)
= -8 – 5 + 0
= -13
이제 3×3 부분행렬의 행렬식을 확장 공식으로 대체합니다.
det(A) = 2 cdot (-25) – 1 cdot (-35) + 0 – 3 cdot (-13)
= -50 + 35 + 0 + 39
= -50 + 35 + 39
= 24
따라서 행렬 (A)의 행렬식은 24입니다.
예시 2: 행렬의 행렬식 계산
해결책:
행렬식(A)을 찾기 위해 첫 번째 행을 따라 마이너 확장 방법을 사용합니다.
ext{det}(A) = 2 cdot egin{vmatrix} 0 & 2 & 5 2 & 1 & 0 -2 & 3 & 1 end{vmatrix} – 1 cdot egin{vmatrix} -1 & 2 & 5 3 & 1 & 0 4 & 3 & 1 end{vmatrix} – 3 cdot egin{vmatrix} -1 & 0 & 5 3 & 2 & 0 4 & -2 & 3 end{vmatrix} + 4 cdot egin{vmatrix} -1 & 0 & 2 3 & 2 & 1 4 & -2 & 3 end{vmatrix} 이제 3×3 부분행렬의 행렬식을 계산해 보겠습니다.
ext{det}left( egin{vmatrix} 0 & 2 & 5 2 & 1 & 0 -2 & 3 & 1 end{vmatrix} ight) = 2 cdot (0 cdot (1 cdot 1 – 0 cdot 3) – 2 cdot (2 cdot 1 – 0 cdot (-2)) + 5 cdot (2 cdot 3 – 2 cdot (-2))) = 2 · (0 – 4 + 30) = 52
ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 2 & 5 3 & 1 & 0 4 & 3 & 1 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((1 cdot 1 – 0 cdot 3) – 2 cdot (3 cdot 1 – 0 cdot 4) + 5 cdot (3 cdot 3 – 1 cdot 4)) = -1 · (1 – 6 + 45) = 60
ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 0 & 5 3 & 2 & 0 4 & -2 & 3 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((2 cdot 3 – 0 cdot (-2)) – 0 cdot (3 cdot 5 – 0 cdot 4) + 5 cdot (3 cdot (-2) – 2 cdot 4)) = -1 · (6 – 0 – 50) = 44
ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 0 & 2 3 & 2 & 1 4 & -2 & 3 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((2 cdot 3 – 1 cdot (-2)) – 0 cdot (2 cdot 3 – 1 cdot 4) + 2 cdot (3 cdot (-2) – 2 cdot 4)) = -1 · (8 – 0 + 0) = -8
이제 이러한 행렬식을 다시 확장 공식으로 대체합니다.
it(A) = 2 · 52 - 1 · 60 - 3 · 44 + 4 · (-8) = 104 - 60 - 132 - 32 = -120
벡터의 크기 C++따라서 행렬( A )의 행렬식은 det(A) = -120입니다.
예시 3: 행렬 B =의 행렬식 찾기
해결책:
행렬식(B)을 찾기 위해 첫 번째 행을 따라 마이너 확장 방법을 사용합니다.
ext{det}(B) = -2 cdot egin{vmatrix} 1 & -3 & 2 -1 & 2 & 5 2 & 0 & -4 end{vmatrix} + 3 cdot egin{vmatrix} 4 & -3 & 2 0 & 2 & 5 3 & 0 & -4 end{vmatrix} – 1 cdot egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & -4 end{vmatrix} + 0 cdot egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & 1 end{vmatrix} 이제 3×3 부분행렬의 행렬식을 계산해 보겠습니다.
ext{det}left( egin{vmatrix} 1 & -3 & 2 -1 & 2 & 5 2 & 0 & -4 end{vmatrix} ight) = -2 cdot (1 cdot (2 cdot (-4) – 5 cdot 0) – (-3) cdot (-1 cdot (-4) – 5 cdot 2) + 2 cdot (-1 cdot 0 – 2 cdot 2)) = -2 ⋅ (1 ⋅ (-8) – (-3) ⋅ (4 – 10) + 2 ⋅ (-4))
= -2 ⋅ (-8 + 18 – 8) = -2 ⋅ 2 = -4
ext{det}left( egin{vmatrix} 4 & -3 & 2 0 & 2 & 5 3 & 0 & -4 end{vmatrix} ight) = 3 cdot (4 cdot (2 cdot (-4) – 5 cdot 0) – (-3) cdot (0 cdot (-4) – 5 cdot 3) + 2 cdot (0 cdot 0 – 2 cdot 3)) = 3 ⋅ (4 ⋅ (-8) – (-3) ⋅ (0 – 15) + 2 ⋅ (0 – 6))
= 3 ⋅ (-32 + 45 – 12) = 3 ⋅ 1 = 3
ext{det}left( egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & -4 end{vmatrix} ight) = -1 cdot (4 cdot (-4) – 2 cdot 4) – 1 cdot (0 cdot (-4) – 2 cdot 3) + 2 cdot (0 cdot 4 – (-1) cdot 3) = -1 ⋅ (-16 – 8) – 1 ⋅ (0 – 6) + 2 ⋅ (0 + 3)
= -1 ⋅ (-24) – 1 ⋅ (-6) + 2 ⋅ 3
= 24 + 6 + 6
= 36
이제 이러한 행렬식을 다시 확장 공식으로 대체합니다.
det(B) = -2 ⋅ (-4) + 3 ⋅ 3 – 1 ⋅ 36 + 0 ⋅ 무엇이든
= 8 + 9 - 36 + 0
= -19
따라서 행렬(B)의 행렬식은 det(B) = -19입니다.
4×4 행렬 연습 문제의 행렬식
Q1: 다음 4×4 행렬의 행렬식을 계산합니다.
Q2: 행렬의 행렬식을 구합니다:
Q3: 다음 4×4 행렬의 행렬식을 계산합니다.
Q4: 행렬의 행렬식을 결정합니다.
프레디 머큐리 탄생
Q5: 행렬의 행렬식을 구합니다:
4×4 행렬의 행렬식에 대한 FAQ
4×4 행렬의 행렬식은 어떻게 찾나요?
4×4 행렬의 행렬식을 찾으려면 보조 인자 확장이나 행 축소 기술과 같은 다양한 방법을 사용할 수 있습니다.
4×4 단위 행렬의 행렬식은 무엇입니까?
4×4 단위 행렬의 행렬식은 모든 대각선 요소가 1이고 나머지는 0인 특별한 경우이므로 1입니다.
보조 인자 확장을 사용하여 4×4 행렬의 행렬식을 찾는 방법은 무엇입니까?
보조인자 확장을 사용하여 4×4 행렬의 행렬식을 결정하려면 행렬을 더 작은 3×3 행렬로 나누고, 보조인자 공식을 적용하고, 곱을 합산해야 합니다.
행렬식의 공식은 무엇입니까?
행렬식의 공식에는 부호를 고려하여 각 행이나 열의 요소와 보조 인자의 곱을 합산하는 작업이 포함됩니다.
행렬식은 음수가 될 수 있나요?
예, 행렬식은 특정 행렬과 해당 속성에 따라 음수, 양수 또는 0이 될 수 있습니다.
4×4 행렬이 역행렬을 가질 수 있나요?
4×4 행렬은 행렬식이 0이 아닌 경우 역행렬을 가질 수 있습니다. 그렇지 않으면 단수이고 역수가 부족합니다.
4×4 행렬이 가역적이라는 것을 어떻게 보여주나요?
4×4 행렬이 가역임을 나타내려면 행렬식이 0이 아니므로 역행렬이 있음을 확인하고 행 축소와 같은 추가 기준을 사용하여 가역성을 확인하십시오.