ㅏ 쌍곡선 두 개의 무한한 활과 비슷한 두 개의 가지가 서로 대칭을 이루고 있는 평면의 부드러운 곡선입니다. 직원뿔과 평면이 원뿔의 양쪽 반쪽이 교차하는 각도로 교차하여 형성된 원뿔 단면입니다.

방정식, 공식, 속성, 그래프, 유도 등 쌍곡선에 대해 자세히 알아봅시다.

쌍곡선

내용의 테이블

• 쌍곡선이란 무엇입니까?
• 쌍곡선 정의
• 쌍곡선 방정식
• 쌍곡선의 일부
• 쌍곡선 이심률
• 쌍곡선의 표준 방정식
• 쌍곡선의 오른쪽
• 쌍곡선 방정식의 유도
• 쌍곡선 공식
• 쌍곡선 그래프
• 공액쌍곡선
• 쌍곡선의 속성
• 쌍곡선의 보조원
• 직사각형 쌍곡선
• 쌍곡선의 파라메트릭 표현
• 쌍곡선 클래스 11
• 쌍곡선에 대한 해결된 예
• 쌍곡선 연습 문제

쌍곡선이란 무엇입니까?

쌍곡선은 두 초점으로부터의 거리 차이가 고정된 값인 점의 자취입니다. 이 차이는 먼 초점의 거리에서 가까운 초점의 거리를 빼서 구합니다.

P(x, y)가 쌍곡선 위의 점이고 F, F'가 두 초점이면 쌍곡선의 궤적은 다음과 같습니다.

PF – PF' = 2a

메모: 이미지 파생에 추가된 다이어그램을 참조하세요.

쌍곡선 정의

분석 기하학에서 쌍곡선은 평면이 이중 직원뿔의 양쪽 절반을 각도로 절단할 때 생성되는 원추형 단면의 유형입니다. 이 교차점은 서로 거울상인 두 개의 별도의 무한한 곡선을 만들어 쌍곡선을 형성합니다.

쌍곡선 방정식

표준 형식의 쌍곡선 방정식은 방향과 중심이 원점에 있는지 아니면 다른 점에 있는지에 따라 달라집니다. 다음은 원점을 중심으로 하는 쌍곡선의 두 가지 기본 형태입니다. 하나는 수평으로 열리고 다른 하나는 수직으로 열립니다.

엑스 ² /ㅏ ² - 그리고 ² /비 ² = 1

이 방정식은 왼쪽과 오른쪽으로 열리는 쌍곡선을 나타냅니다. 점 (±a,0)은 x축에 위치한 쌍곡선의 꼭짓점입니다.

쌍곡선의 일부

쌍곡선은 평면이 원뿔의 양쪽 절반이 결합되는 각도로 이중 직원뿔을 절단할 때 발생하는 원뿔 단면입니다. 초점(foci), 방향선(directrix), 직장(latus rectum), 이심률(eccentricity)과 같은 개념을 사용하여 설명할 수 있습니다.

쌍곡선 이심률

쌍곡선의 이심률은 초점에서 점까지의 거리와 준선에서 수직 거리의 비율입니다. '라는 문자로 표시됩니다. 그것은 '.

• 쌍곡선의 이심률은 항상 1보다 큽니다. 즉, e>1입니다.
• 다음 공식으로 쌍곡선의 이심률을 쉽게 찾을 수 있습니다.

e = √[1 + (b ² /ㅏ ² )]

어디,

• ㅏ 장반경의 길이
• 비 반단축의 길이

더 읽어보기: 이심률

쌍곡선의 표준 방정식

쌍곡선의 표준 방정식은 다음과 같습니다.

old{frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}= 1}

또는

old{frac{y^{2}}{a^{2}}-frac{x^{2}}{b^{2}}= 1}

쌍곡선에는 두 개의 표준 방정식이 있습니다. 이러한 쌍곡선 방정식은 가로 축과 공액 축을 기반으로 합니다.

base64 자바스크립트 디코드

• 쌍곡선의 표준 방정식은 [(x²/ㅏ²) - (그리고²/비²)] = 1, 여기서 X축은 가로 축이고 Y축은 공액 축입니다.
• 게다가, 쌍곡선의 또 다른 표준 방정식은 [(y²/ㅏ²)-(엑스²/비²)] = 1, 여기서 Y축은 가로 축이고 X축은 공액 축입니다.
• 중심(h, k)과 X축을 가로축으로 하고 Y축을 켤레축으로 하는 쌍곡선의 표준방정식은 다음과 같습니다.

old{frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}= 1}

• 또한, 중심(h, k)과 Y축을 가로축으로 하고 X축을 켤레축으로 하는 쌍곡선의 또 다른 표준방정식은 다음과 같습니다.

old{frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}= 1 }

쌍곡선의 오른쪽

쌍곡선의 래투스 직장은 쌍곡선의 초점 중 하나를 통과하고 쌍곡선의 가로축에 수직인 선입니다. 직장의 끝점은 쌍곡선 위에 있고 길이는 2b입니다.²/ㅏ.

쌍곡선 방정식의 유도

좌표가 (x, y)인 쌍곡선 위의 점 P를 생각해 보겠습니다. 쌍곡선의 정의로부터 우리는 두 초점 F와 F'에서 점 P까지의 거리 차이가 2a라는 것을 알 수 있습니다. 즉, PF'-PF = 2a입니다.

초점의 좌표를 F(c, o) 및 F'(-c, 0)로 설정합니다.

이제 좌표 거리 공식을 사용하여 점 P(x, y)에서 초점 F(c, 0) 및 F'(-c, 0)까지의 거리를 찾을 수 있습니다.

√[(x + c)²+ (및 – 0)²] – √[(x – c)²+ (및 – 0)²] = 2a

⇒ √[(x + c)²+ 및²] = 2a + √[(x – c)²+ 및²]

이제 양변을 제곱하면 다음을 얻습니다.

(x + c)²+ 및²= 4a²+ (x – c)²+ 및²+ 4a√[(x – c)²+ 및²]

⇒ 4cx – 4a²= 4a√[(x – c)²+ 및²]

⇒ cx – a²= a√[(x – c)²+ 및²]

이제 양변을 제곱하고 단순화하면 다음을 얻습니다.

[(엑스²/ㅏ²) - (그리고²/(씨²- ㅏ²))] = 1

우리는 c²=a²+ 비², 이를 위의 방정식에 대입하면 다음을 얻습니다.

엑스²/ㅏ²- 그리고²/비²= 1

따라서 쌍곡선의 표준 방정식이 도출됩니다.

마찬가지로, 다른 쌍곡선의 표준 방정식을 유도할 수 있습니다. 즉, [y²/ㅏ²– 엑스²/비²] = 1

쌍곡선 공식

다음 쌍곡선 공식은 쌍곡선 방정식, 장축과 단축, 이심률, 점근선, 꼭지점, 초점 및 반위 직장을 포함하는 쌍곡선의 다양한 매개변수를 찾는 데 널리 사용됩니다.

어디,

• ( x₀​, 그리고₀​)가 중심점이다
• ㅏ 준장축
• 비 세미 마이너 축입니다.

쌍곡선 그래프

쌍곡선은 서로 거울상인 두 개의 무한 곡선을 갖는 곡선입니다. 쌍곡선 그래프는 2차원 평면의 곡선을 보여줍니다. 아래 주어진 표준 방정식에 대한 쌍곡선 그래프에서 쌍곡선의 다양한 부분을 관찰할 수 있습니다.

쌍곡선의 방정식	쌍곡선 그래프	쌍곡선의 매개변수
frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}= 1		중심 좌표: (0, 0) 정점의 좌표: (a, 0) 및 (-a, 0) 초점 좌표: (c, 0) 및 (-c, 0) 가로축의 길이 = 2a 켤레축의 길이 = 2b latus 직장의 길이 = 2b2/ㅏ 점근선 방정식: y = (b/a) x 및 y = -(b/a) x 이심률(e) = √[1 + (b2/ㅏ2)]
frac{y^{2}}{a^{2}}-frac{x^{2}}{b^{2}}= 1		중심 좌표: (0, 0) 정점의 좌표: (0, a) 및 (0, -a) 초점 좌표: (0, c) 및 (0, -c) 가로축의 길이 = 2b 켤레축의 길이 = 2a latus 직장의 길이 = 2b2/ㅏ 점근선 방정식: y = (a/b) x 및 y = -(a/b) x 이심률(e) = √[1 + (b2/ㅏ2)]

공액쌍곡선

켤레 쌍곡선은 한 쌍곡선의 가로 축과 켤레 축이 각각 다른 쌍곡선의 켤레 축과 켤레 축이 되는 2개의 쌍곡선입니다.

(x의 켤레 쌍곡선²/ ㅏ²) - (그리고²/비²) = 1은,

(엑스 ² / ㅏ ² ) - (그리고 ² /b ² ) = 1

어디,

• ㅏ 반장축
• 비 반단축
• 그것은 포물선의 이심률
• ㅏ ² =b ² (그것은 ² - 1)

쌍곡선의 속성

• 쌍곡선과 그 공액의 이심률이 e인 경우₁, 그리고 전자₂그 다음에,

(1 및 ₁ ² ) + (1 / 전자 ₂ ² ) = 1

• 쌍곡선의 초점과 그 공액은 동환이고 정사각형의 꼭짓점을 형성합니다.
• 쌍곡선은 동일한 Latus Rectum을 가지면 동일합니다.

쌍곡선의 보조원

보조원(Auxiliary Circle)은 중심 C와 지름을 쌍곡선의 가로축으로 하여 그려진 원입니다. 쌍곡선 방정식의 보조 원은 다음과 같습니다.

엑스 ² + 및 ² =a ²

직사각형 쌍곡선

가로축이 2a 단위이고 공액축이 2b 단위인 동일한 길이의 쌍곡선을 직사각형 쌍곡선이라고 합니다. 즉, 직사각형 쌍곡선에서,

2a = 2b

⇒ a = b

직사각형 쌍곡선의 방정식은 다음과 같습니다:

엑스 ² - 그리고 ² =a ²

메모: 직사각형 쌍곡선의 이심률은 √2입니다.

쌍곡선의 파라메트릭 표현

쌍곡선의 보조 원에 대한 파라메트릭 표현은 다음과 같습니다.

x = a초θ, y = btanθ

다른 사람이 읽은 항목

• 원추 단면
• 포물선
• 원
• 타원

쌍곡선 클래스 11

11학년 수학에서 쌍곡선에 대한 연구는 해석 기하학의 원뿔 단면의 일부를 형성합니다. 이 수준에서 쌍곡선을 이해하려면 쌍곡선의 정의, 표준 방정식, 속성 및 이와 관련된 다양한 요소를 탐색해야 합니다.

11학년 커리큘럼에는 일반적으로 이러한 방정식과 속성 도출, 주어진 방정식을 기반으로 쌍곡선 스케치, 쌍곡선의 요소 및 위치와 관련된 문제 해결이 포함됩니다. 이러한 개념을 숙지하면 분석 분야의 강력한 기초가 제공됩니다. 기하학 , 수학 및 관련 분야의 추가 연구를 위해 학생들을 준비시킵니다.

요약 – 쌍곡선

쌍곡선은 두 개의 별도 곡선이 생성되는 각도로 평면이 원뿔과 교차할 때 형성되는 일종의 원뿔 단면입니다. 거울 대칭이 특징인 쌍곡선은 두 개의 연결이 끊긴 가지로 구성되며, 각각은 서로 멀어집니다. 방향(수평 또는 수직)과 중심이 원점에 있는지 아니면 다른 지점에 있는지에 따라 달라지는 표준 방정식을 사용하여 좌표 평면에서 수학적으로 정의할 수 있습니다.

표준 양식은 다음과 같습니다. 엑스 ² /ㅏ ² - 그리고 ² /비 ² = 1 수평으로 열리는 쌍곡선의 경우 그리고 ² /ㅏ ² – 엑스 ² /비 ² = 1 (h,k)로 이동된 중심을 수용하기 위해 변형된 수직 개구부의 경우. 쌍곡선의 주요 특징에는 각 가지의 중심에 가장 가까운 점인 정점이 포함됩니다. 초점(foci), 쌍곡선의 어떤 점까지의 거리가 일정한 차이를 갖는 점; 점근선, 가지가 접근하지만 결코 닿지 않는 선.

쌍곡선의 속성은 천문학, 물리학, 공학을 포함한 다양한 분야에서 쌍곡선 궤적과 동작을 모델링하고 분석하는 데 중요합니다.

쌍곡선에 대한 해결된 예

질문 1: 쌍곡선 x의 이심률을 결정합니다. ² /64 – 그리고 ² /36 = 1.

해결책:

쌍곡선의 방정식은 x입니다.²/64 – 그리고²/36 = 0

주어진 방정식을 쌍곡선 x의 표준 방정식과 비교함으로써²/ㅏ²- 그리고²/비²= 1, 우리는 얻는다

ㅏ²= 64,b²= 36

⇒ a = 8, b = 6

우리는

쌍곡선의 이심률 (e) = √(1 + b²/ㅏ²)

⇒ e = √(1 + 6²/8²)

⇒ e = √(1 + 36/64)

⇒ e = √(64 + 36)/64) = √(100/64)

⇒ e = 10/8 = 1.25

따라서 주어진 쌍곡선의 이심률은 1.25입니다.

질문 2: 쌍곡선의 방정식이 [(x-4) ² /25] – [(y-3) ² /9] = 1, 장경, 단축, 직장의 길이를 구합니다.

해결책:

쌍곡선의 방정식은 [(x-4)²/25] – [(y-3)²/9] = 1

주어진 방정식을 쌍곡선의 표준 방정식과 비교하면 (x – h)²/ㅏ²– (및 – k)²/비²= 1

여기서 x = 4는 장축이고 y = 3은 단축입니다.

ㅏ²= 25a = 5

비²= 9비 = 3

장축의 길이 = 2a = 2 × (5) = 10 단위

단축 길이 = 2b = 2 × (3) = 6 단위

직장의 길이 = 2b²/a = 2(3)²/5 = 18/5 = 3.6 단위

질문 3: 쌍곡선 방정식이 [(x-6)인 경우 꼭짓점, 점근선, 장축, 단축 및 준선을 구하세요. ² /7 ² ]-[(y-2) ² /4 ² ] = 1.

해결책:

쌍곡선의 방정식은 [(x-6)²/7²] – [(y-2)²/4²] = 1

주어진 방정식을 쌍곡선의 표준 방정식과 비교하면 (x – h)²/ㅏ²– (및 – k)²/비²= 1

h = 6, k = 2, a = 7, b = 4

쌍곡선의 꼭지점: (h + a, k) 및 (h – a, k) = (13, 2) 및 (-1, 2)

쌍곡선의 장축은 x = h x = 6입니다.

쌍곡선의 단축은 y = k y = 2입니다.

쌍곡선의 점근선 방정식은 다음과 같습니다.

y = k − (b / a)x + (b / a)h 및 y = k+ (b / a)x – (b / a)h

⇒ y = 2 – (4/7)x + (4/7)6 및 y = 2 + (4/7)x – (4/7)6

⇒ y = 2 – 0.57x + 3.43 및 y = 2 + 0.57x – 3.43

⇒ y = 5.43 – 0.57x 및 y = -1.43 + 0.57x

쌍곡선의 준선 방정식은 x = ± a입니다.²/√(a²+ 비²)

⇒ x = ± 7²/√(7²+ 4²)

⇒ x= ± 49/√65

⇒ x = ± 6.077

질문 4: 수평직근이 켤레축의 절반인 쌍곡선의 이심률을 구하십시오.

해결책:

직장의 길이는 공액축의 절반입니다.

하자, 쌍곡선의 방정식은 [(x²/ ㅏ²) - (그리고²/b²)] = 1

공액축 = 2b

Latus 직장의 길이 = (2b²/ ㅏ)

주어진 데이터로부터 (2b²/a) = (1/2) × 2b

2b=아

우리는

쌍곡선의 이심률 (e) = √[1 + (b²/ㅏ²)]

이제 이심률 공식에 a = 2b를 대입합니다.

⇒ e = √[1 + (b²/(2b)²]

⇒ e = √[1 + (b²/4b²)] = √(5/4)

⇒ e = √5/2

따라서 필요한 이심률은 √5/2입니다.

쌍곡선 연습 문제

P1. 정점이 (-3, 2)와 (1, 2)이고 초점 거리가 5인 쌍곡선의 표준형 방정식을 구합니다.

P2. 방정식 9x를 사용하여 쌍곡선의 중심, 꼭지점 및 초점을 결정합니다. ² – 4세 ² = 36.

P3. 방정식 (x – 2)의 쌍곡선이 주어지면 ² /16 – (및 + 1) ² /9 = 1, 중심, 꼭지점 및 초점의 좌표를 찾습니다.

P4. 수평 장축, 중심이 (0, 0), 꼭지점이 (5, 0), 초점이 (3, 0)인 쌍곡선 방정식을 작성합니다.

쌍곡선 – FAQ

수학에서 쌍곡선이란 무엇입니까?

평면 위의 한 점의 자취로서 고정점으로부터의 거리와 고정된 직선으로부터의 거리의 비가 1보다 큰 상수를 쌍곡선이라고 합니다.

쌍곡선의 표준 방정식은 무엇입니까?

쌍곡선의 표준 방정식은 다음과 같습니다.

(엑스 ² /ㅏ ² ) - (그리고 ² /비 ² ) = 1

쌍곡선의 이심률이란 무엇입니까?

쌍곡선의 이심률은 초점에서 점까지의 거리와 준선에서 수직 거리의 비율입니다. 쌍곡선의 경우 이심률은 항상 1보다 큽니다.

쌍곡선의 이심률 공식은 무엇입니까?

쌍곡선의 이심률 공식은 다음과 같습니다. e = √(1 + (b ² /ㅏ ² ))

무엇인가 초점 하이퍼볼라?

쌍곡선에는 두 개의 초점이 있습니다. 쌍곡선의 경우 (x²/ㅏ²) - (그리고²/비²) = 1, 초점은 (ae, 0) 및 (-ae, 0)으로 제공됩니다.

쌍곡선의 횡축이란 무엇입니까?

쌍곡선의 경우 (x²/ㅏ²) - (그리고²/비²) = 1, 가로 축은 x 축을 따릅니다. 길이는 2a로 주어진다. 쌍곡선의 중심과 초점을 지나는 선을 쌍곡선의 가로축이라고 합니다.

쌍곡선 점근선은 무엇입니까?

무한대에서 쌍곡선과 만나는 쌍곡선에 평행한 선을 쌍곡선의 점근선이라고 합니다.

쌍곡선에는 몇 개의 점근선이 있습니까?

쌍곡선에는 2개의 점근선이 있습니다. 점근선은 무한대에서 쌍곡선과 만나는 쌍곡선에 접하는 선입니다.

쌍곡선은 무엇에 사용되나요?

쌍곡선은 천문학, 물리학, 공학, 경제학 등 다양한 분야에서 응용됩니다. 이는 위성 궤적, 무선 전송 패턴, 포병 표적화, 재무 모델링, 천체 역학 등의 분야에서 사용됩니다.

그렇지 않으면 배쉬

표준 형식의 포물선과 쌍곡선의 차이점은 무엇입니까?

표준 형식에서 포물선의 방정식에는 1과 2의 거듭제곱으로 이루어진 항이 포함되는 반면, 쌍곡선의 방정식에는 2와 -2의 거듭제곱으로 이루어진 항이 포함됩니다. 또한 포물선은 초점이 하나인 반면 쌍곡선은 초점이 두 개입니다.

쌍곡선 그래프의 기본 방정식은 무엇입니까?

쌍곡선 그래프의 기본 방정식은 다음과 같습니다.

(x – h)²/ ㅏ²– (및 – k)²/b²= 1

또는

(및 – k)²/b²– (x -h)²/ ㅏ²= 1

쌍곡선의 유형은 무엇입니까?

쌍곡선은 방향에 따라 수평, 수직, 경사 쌍곡선의 세 가지 유형으로 분류될 수 있습니다.

쌍곡선 방정식을 어떻게 식별합니까?

쌍곡선 방정식은 일반적으로 다음과 같은 항을 포함합니다. 엑스 그리고 그리고 제곱의 차이가 있는 변수 엑스 그리고 그리고 계수이며, 이들 항의 계수는 각각 양수 및 음수입니다.

쌍곡선에서 B의 공식은 무엇입니까?

쌍곡선 방정식의 표준 형식에서, 비 는 공액축의 길이를 나타내며, 그 공식은 다음과 같다. 비 = 2 비 , 어디 비 켤레 축을 따라 중심에서 꼭지점까지의 거리입니다.

쌍곡선을 그리는 방법?

쌍곡선을 그리려면 일반적으로 중심점을 그리는 것으로 시작한 다음 주어진 방정식이나 속성을 기반으로 정점, 초점, 점근선 및 기타 주요 지점을 표시합니다. 마지막으로, 이 점들을 가이드로 사용하여 쌍곡선의 곡선을 스케치합니다.